1. PENGERTIAN TRANSFORMASI

Pada bab transformasi geometri ini akan dipelajari transformasi geometri pada bidang datar .

Transformasi pada bidang bisa diartikan sebagai perubahan letak dari sebuah titik atau perubahan letak/bentuk dari sebuah bangun datar .

Transformasi

Penulisan transformasi secara umum adalah :

A      T    A' artinya titik A oleh transformasi T , bayangannya adalah A '

A disebut prapeta dan A ' disebut peta (bayangan)

y = f x       T    y'=f(x') artinya kurva y = f ( x ) oleh transformasi T , bayangannya adalah y ' = f ( x ' )

Transformasi adalah fungsi yang bijektif ( satu-satu kepada ) , artinya

  • Setiap prapeta A mempunyai peta A ' atau sebaliknya

  • A B A ' B '

Transformasi yang sering kita lihat dalam kehidupan sehari-hari adalah

  • Pergeseran ( translasi ) lambang transformasinya adalah x y

  • pencerminan ( refleksi ) lambang transformasinya adalah M l i n e

  • Perputaran ( rotasi ) lambang transformasinya adalah R a , b , θ

  • Perbesaran ( Rotasi ) lambang transformasinya adalah a , b , k

Selain itu juga akan dipelajari transformasi-transformasi lain yaitu

  • Transformasi yang berkaitan dengan matriks transformasi

  • Regangan dan gusuran

Isometri adalah transformasi yang mempertahankan jarak , akibatnya sebuah bangun datar ditransformasikan dengan transformasi yang bersifat isometri , maka bangun datar tersebut tidak akan berubah bentuk .

Titik Invarian adalah titik yang tidak berpindah oleh sebuah transformasi , sedangkan titik yang berpindah disebut varian .

Komposisi transformasi T 1 dilanjutkan dengan T 2 ditulis dengan T 2 o T 1

Jadi T 2 o T 1 A = T 2 T 1 A   identik dengan A      T1    A'      T2    A''

= T 2 A '

= A ' '

Misalkan T adalah transformasi yang memetakkan titik x ,   y menjadi 3 x - 1 ,   2 y maka :

  1. Bayangan A 2 ,   4 oleh transformasi T

    x ,   y       T      3 x - 1 ,   2 y

    adalah A ' 3 × 2 - 1 ,   2 × 4 atau A ' 5 ,   8

  1. Untuk mencari bayangan kurva y = x 2 caranya adalah

    x ,   y       T      3 x - 1 ,   2 y

    artinya x ' = 3 x - 1 y ' = 2 y atau x = x ' + 1 3 y = 1 2 y '

    Substitusikan x = x ' + 1 3 dan y = 1 2 y ' ke persamaan y = x 2

    Jadi bayangan kurva y = x 2 adalah 1 2 y ' = x ' + 1 3 2

    Atau 1 2 y = 1 9 x 2 + 2 x + 1

    9 y = 2 x 2 + 4 x + 2



Sebagai contoh :

1.

Transformasi T memetakan titik x ,   y menjadi 3 x ,   y + 1 , maka tentukan

  1. Bayangan titik A 2 ,   - 3 oleh transformasi T

  2. Prapeta dari titik B ' 12 ,   7

Lihat Penyelesaian

2.

Tentukan bayangan garis 8 x + 9 y = 89 oleh transformasi T , dimana T membawa titik x ,   y ke titik 2 x - 3 ,     3 y + 5 ?

Lihat Penyelesaian

3.

Transformasi T memetakan titik x ,   y menjadi 2 x - 6 ,     3 y + 15 , maka tentukan

  1. Bayangan dari titik A - 3 ,     10   oleh transformasi T

  2. Titik invarian dari transformasi T

Lihat Penyelesaian

4.

Jika x ,   y       T1      2 x ,   5 y dan x ,   y       T2      2 - x ,   y + 3 , maka tunjukkan bahwa T 1 bukan isometri , sedangkan T 2 merupakan isometri !

Lihat Penyelesaian

5.

Tentukan nilai dari a , b , c , dan d jika x ,   y       T      1 - 2 x ,     5 - 3 y

P a ,   b       T      P'7, -19 , dan c ,   d       T        a , b

Lihat Penyelesaian

6.

Transformasi T memetakan titik x ,   y menjadi 2 x + y ,   1 - x , maka tentukan

  1. Bayangan titik 2 ,   - 3 oleh transformasi T

  2. Bayangan kurva y = 2 x + 3 oleh transformasi T

Lihat Penyelesaian

7.

Transformasi T memetakan titik x ,   y menjadi 2 x ,   x + y , maka tentukan

  1. Prapeta dari titik 8 ,   - 3 oleh transformasi T

  2. Prapeta dari y = x 2 + 2 x + 3

Lihat Penyelesaian

8.

Transformasi T memetakan titik x ,   y menjadi 2 x + 3 y ,   3 x + 4 y , maka tentukan bayangan kurva y = x + x + y oleh transformasi T !

Lihat Penyelesaian

9.

Jika x ,   y       T1      x + 2 ,   y - 2 dan x ,   y       T2      3 x ,   2 y , tentukan

  1. Transformasi tunggal yang mewakili T 2 o T 1

  2. Transformasi tunggal yang mewakili T 1 o T 2

Lihat Penyelesaian

10.

Jika x ,   y       T1      x + y ,   x - y dan x ,   y       T2      1 - x ,   y + 4 , maka tentukan

  1. T 2 o T 1 A 5 ,   - 1

  2. T 1 o T 2 A 5 ,   - 1

  3. T 2 o T 1 2 x + 3 y = 12

Lihat Penyelesaian

  1. TRANSLASI (PERGESERAN)

Translasi

Translasi adalah perpindahan atau pergeseran setiap titik dalam arah dan jarak yang sama.

Translasi a b artinya pergeseran titik sepanjang a satuan searah sumbu X dan sepanjang b satuan searah sumbu Y

Secara aljabar : A x , y              ab           A'(x+a, y+b)

Contoh : A 2 ,   3              78           A'(2+7, 3+8) atau A ' ( 9 ,   11 )

B - 1 ,   7              44           B'(-1+4, 7+4) atau B ' ( 3 ,     11 )

C 10 ,   - 3              -145           C'(10-14, -3+5) atau C ' ( - 4 ,   2 )

Translasi

Translasi adalah transformasi yang bersifat isometri , akibatnya bayangan sebuah kurva akan kongkruen dengan aslinya .

Bayangan sebuah kurva oleh translasi a b adalah :

y = f x              ab           y-b=fx-a

Bukti :

A x , y              ab           A'(x', y') dengan x ' ,   y ' = ( x + a ,   y + b )

x ' = x + a y ' = y + b x = x ' - a y = y ' - b

Bayangan dari y = f ( x ) adalah y ' - b = f ( x ' - a )

y - b = f ( x - a ) ( terbukti )

Contoh : (i) Translasi titik

A x ,   y              13           A'(x+1, y+3)

  1. Translasi kurva

y = x 2              13           y-3=x-12

Perhatikan perbedaan untuk translasi titik dan kurva, untuk titik maka titiknya ditambah dengan skala translasinya, untuk kurva dikurangi dengan skala translasinya.

Perhatikan contoh di bawah ini :

  1. Tentukan bayangan titik A 3 ,   5 oleh perge seran 2 satuan searah sumbu X dan 6 satuan ke searah sumbu !

    Jawab :

    pergeseran 2 satuan searah sumbu X dan 6 satuan ke searah sumbu Y

    A x ,   y              26           A'(x+2, y+6)

    A 3 ,   5              26           A'3+2, 5+6= A ' 5 ,   11

    Jadi bayangan titik A 3 ,   5 oleh translasi 2 6 adalah A ' 5 ,   11

  1. Tentukan bayangan garis 3 x - 8 y = 38 oleh translasi 7 - 3 !

    Jawab :

    y = f x              ab           y-b=fx-a

    Bayangan garis 3 x - 8 y = 38 oleh translasi 7 - 3 adalah :

    3 x - 8 y = 38             7-3           3x-7-8y--3=38

    3 x - 21 - 8 y - 24 = 38

    3 x - 8 y = 83



Sebagai contoh :

1.

Tentukan bayangan dari titik A ( 2 ,   1 ) , B ( 1 ,   5 ) , dan C ( - 3 ,   10 ) oleh translasi 3 - 2 !

Lihat Penyelesaian

2.

Tentukan prapeta dari A ' ( 2 ,   10 ) oleh translasi 3 - 5 !

Lihat Penyelesaian

3.

Bayangan titik A ( m ,   n ) dan B ( 1 ,   7 ) oleh translasi a b adalah A ' ( 5 ,   - 3 ) , dan B ' ( - n ,   3 m ) , maka tentukan nilai dari a + m !

Lihat Penyelesaian

4.

Tentukan bayangan-bayangan dari

  1. garis x + 2 y + 3 = 0 oleh translasi 1 1

  2. kurva y = x 2 oleh translasi 2 - 1

  3. kurva x 2 + y 2 - 2 x - 10 y - 10 = 0 oleh translasi - 2 3

Lihat Penyelesaian

5.

Tentukan prapeta dari kurva y = x 2 - 2 x oleh translasi - 1 4 !

Lihat Penyelesaian

6.

Tentukan translasi yang memetakan kurva x 2 + y 2 + 4 x - 2 y - 31 = 0 menjadi x 2 + y 2 - 12 x = 0 !

Lihat Penyelesaian

7.

Jika bayangan garis a x + b y + c = 0 oleh translasi 2 - 3 adalah 2 x - y = 10 , maka tentukan nilai dari a - b + c !

Lihat Penyelesaian

8.

Bayangan kurva y = x 2 - 2 x + 3 oleh translasi a b adalah y = x 2 + 4 x + 1 , maka tentukan bayangan kurva x 2 + y 2 + 2 x - 10 y = 74 oleh translasi yang sama !

Lihat Penyelesaian

9.

Bayangan kurva x 2 + y 2 + 6 x = 0 oleh translasi m n adalah x 2 + y 2 - 2 x - 2 y = 7 , maka tentukan bayangan dari titik A ( 7 ,   1 ) oleh translasi m n !

Lihat Penyelesaian

10.

Tentukan persamaan kurva yang belum diketahui persamaannya pada gambar di bawah ini

  1. Translasi

  2. Translasi

Lihat Penyelesaian

  1. REFLEKSI (PENCERMINAN)

Transformasi Refleksi

Refleksi atau pecerminan adalah transformasi yang memetakan suatu titik pada bangun geometri dengan menggunaan sifat benda dan bayangan pada cermin datar .

Akibatnya bentuk dari bayangan sebuah bangun akan sama dengan bentuk bangun semula .


Beberapa rumus pencerminan :

No

Nama Transformasi

Lambang

Rumus transformasi

1

Pencerminan terhadap sumbu X

M x

x ,   y          Mx         x, -y

2

Pencerminan terhadap sumbu Y

M y

x ,   y          My         -x, y

3

Pencerminan terhadap garis x = y

M x = y

x ,   y          Mx=y         y, x

4

Pencerminan terhadap sumbu x = - y

M x = - y

x ,   y          Mx=-y         -y, -x

5

Pencerminan terhadap garis x = a

M x = a

x ,   y          Mx=a         2a-x, y

6

Pencerminan terhadap sumbu y = b

M y = b

x ,   y          My=b         x,2b- y

7

Pencerminan terhadap titik a ,   b

M a ,   b

x ,   y          Ma,b         2a-x,2b- y

8

Pencerminan terhadap titik a ,   b

M a ,   b

x ,   y          Ma,b         2a-x,2b- y

9

pencerminan terhadap garis y = m x + c lambangya M y = m x + c

x ,   y          My=mx+c         1-m2x+2my-cm2+1, 2mx-1-m2y+2cm2+1 

 

 

Contoh :

  1. Tentukan bayangan dari titik

    1. A 4 ,   2 oleh pencerminan terhadap sumbu X

    2. B - 1 ,   8 oleh pencerminan terhadap garis x = y

    3. C 3 ,   5 oleh pencerminan terhadap garis x = 6

Jawab :

  1. A 4 ,   2 oleh pencerminan terhadap sumbu X

    x ,   y          Mx         x, -y

    maka A 4 ,   2          Mx         A ' 4 ,   - 2

  1. B - 1 ,   8 oleh pencerminan terhadap garis x = y

    x ,   y          Mx=y         y, x

    maka B - 1 ,   8          Mx=y         B ' 8 ,   - 1

  1. C 3 ,   5 oleh pencerminan terhadap garis x = 6

    x ,   y          Mx=a         2a-x, y

    maka C 3 ,   5          Mx=6        C'26-3, 5= C ' 9 ,   5

    Secara geometri :

    A 4 ,   2        Mx       A ' 4 ,   - 2 dan B - 1 ,   8       Mx=y       B ' 8 ,   - 1 ,

    C 3 ,   5          Mx=6         C ' 9 ,   5

Transformasi Refleksi

  1. Tentukan bayangan dari kurva y = x 2 oleh refleki terhadap

    1. Garis x + y = 0

    2. garis y = 2

Jawab :

  1. Bayangan kurva y = x 2 oleh refleksi terhadap garis x + y = 0  

    x ,   y          Mx+y=0         -y, -x     M x + y = 0 M x = - y M y = - x

    x ' = - y y ' = - x atau y = - x ' x = - y '

    Kita substitusikan y = - x ' dan x = - y ' ke kurva y = x 2

    Bayangan dari kurva y = x 2

    adalah - x ' = - y ' 2     hilangkan tanda aksennya

    - x = y 2

    x = - y 2

  1. Bayangan kurva y = x 2 oleh refleksi terhadap garis y = 2

    x ,   y          My=b         x,  2b-y x ,   y          My=2         x,  4-y

    x ' = x y ' = 4 - y atau x = x ' y = 4 - y '

    Kita substitusikan x = x ' dan y = 4 - y ' ke kurva y = x 2

    Bayangan dari kurva y = x 2

      adalah 4 - y ' = - x ' 2     hilangkan tanda aksennya

    - y = x 2 - 4

    y = - x 2 + 4

    Secara geometri :

    Transformasi Refleksi

    Transformasi Refleksi


  1. Tentukan hasil dari

    1.   M y   o   M x A 1 ,   4

    2. M x = - y   o   M x = 2 y = x 3

      Jawab :

  1. M y   o   M x A 1 ,   4 = M y   A ' 1 ,   - 4

    = A ' ' - 1 , - 4    

    Keterangan :

    M x   x ,   y adalah pencerminan titik x ,   y terhadap sumbu X

    jadi M x   x ,   y = x ,   - y

    identik dengan x ,   y        Mx       x,-y


    M y   x ,   y adalah pencerminan titik x ,   y terhadap sumbu Y

    jadi M y   x ,   y = - x ,   y

    identik dengan x ,   y        My       -x,y


  1. M x = - y   o   M x = 2 y = x 3

    M x = - y   x ,   y = - y ,   - x identik dengan x ,   y        Mx=-y       -y,-x

    M x = a   x ,   y = 2 a - x ,     y identik dengan x ,   y        Mx=a       2a-x, y

    Untuk mentransformasikan kurva seperti M x = - y   o   M x = 2 y = x 3 kita harus mentransformasikan titik x ,   y terlebih dahulu :

    M x = - y   o   M x = 2 x ,   y = M x = - y   4 - x ,   y

    = - y ,   - 4 + x

    Jadi x ' = - y y ' = - 4 + x atau y = - x ' x = y ' + 4

    Kita substitusikan y = - x ' dan x = y ' + 4 ke persamaan kurvanya :

    Bayangan dari y = x 3 adalah :

    - x ' = y ' + 4 3     hilangkan aksennya

    - x = y + 4 3

    x = - y + 4 3



Sebagai contoh :

1.

Tentukan pencerminan-penecerminan yang memetakkan masing-masing titik pada gambar di bawah ini !

Transformasi Refleksi

Lihat Penyelesaian

2.

Diketahui A B C dengan A 5 ,   1 , B 2 ,   4 , dan C 3 ,   3 , tentukan bayangan titik-titik A , B , dan C oleh

  1. pencerminan terhadap garis x = - 2

  2. pencerminan terhadap garis y = - 1

Lihat Penyelesaian

3.

Tentukan nilai a dan b untuk masing-masing transformasi di bawah ini !

  1. P 1 ,   5          Mx=6         P'a, b 

  2. Q - 1 ,   3          My=2         Q'x', y'         Mx=-y         Q''a, b 

Lihat Penyelesaian

4.

Tentukan bayangan dari masing-masing transformasi di bawah ini

  1. M x A 2 ,   - 1

  2. M y o M x = y B - 2,3

  3. M x = 7 o M y = - 7 C 4 ,   1

  4. M y = 0 o   M x = 0   o   M x + y = 0 D - 3 ,   8

Lihat Penyelesaian

5.

Pada gambar di bawah ini, kurva y = x 2 (kurva yang berwarna hitam) jika dicerminkan terhadap sumbu X hasilnya adalah kurva yang berwarna biru, dan jika dicerminkan terhadap garis y = x hasilnya adalah kurva yang berwarna merah, tentukan persamaan kedua kurva bayangannya !

Lihat Penyelesaian

6.

Tentukan bayangan titik A ( 3 ,   - 4 ) oleh pencerminan terhadap garis y = 2 x + 10 dengan

  1. Menggunakan rumus pencerminan terhadap garis y = m x + c

  2. Menggunakan cara geometri

Lihat Penyelesaian

7.

Tentukan bayangan lingkaran x 2 + y 2 = 25 oleh pencerminan terhadap

  1. Garis x = 3

  2. Garis y = - 2

Lihat Penyelesaian

8.

Tentukan bayangan kurva y = 3 x + 2 oleh pencerminan terhadap garis x = 5 dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y = - 1 !

Lihat Penyelesaian

9.

Tentukan bayangan garis 3 x + 4 y = 12 oleh pencerminan terhadap ga ris x + y = 0 dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu Y !

Lihat Penyelesaian

10.

Bayangan garis oleh sebuah refleksi adalah garis juga . Tentukan bayangan garis 2 x + 5 y = 10 oleh pencerminan terhadap garis x = - 3 dengan cara

  1. Transformasi kurva

  2. Transformasi titik

Lihat Penyelesaian

  1. ROTASI (PERPUTARAN)

Transformasi Rotasi

Rotasi atau perputaran adalah transformasi yang memetakkan setiap titik pada bidang geometri ke titik lainnya dengan cara memutar pada pusat titik tertentu .

Lambang dari rotasi adalah R a ,   b ,   α yang artinya adalah rotasi dengan pusat a ,   b   dan sebesar α . Jika pusat rotasinya titik asal 0 ,   0 maka cukup ditulis R α .

Arah rotasi jika berlawanan arah dengan jarum jam, maka rotasinya bernilai positif , jika searah dengan jarum jam rotasinya bernilai negatif .

Jika tidak ada keterangan maka untuk sudut nya positif karena dianggap berlawanan arah dengan jarum jam.

Bayangan titik x ,   y oleh rotasi dengan pusat 0 ,   0   sebesar α adalah x ' ,   y '

Dengan x ' = x cos α - y sin α y ' = x sin α + y cos α

x ,   y        Rα            xcos α-ysinαx', xsinα+ycos αy'

Bayangan titik x ,   y oleh rotasi dengan pusat a ,   b   sebesar α adalah x ' ,   y '

Dengan x ' - a = x - a cos α - y - b sin α y ' - b = x - a sin α + y - b cos α

Untuk komposisi rotasi dengan pusat yang sama , maka besar sudutnya ditambahkan

Jadi : R a ,   b , α       o       R a ,   b , β = R a ,   b , α + β  

Perhatikan contoh di bawah ini :

  1. Tentukan bayangan dari titik A 4 ,   2 oleh

    a . rotasi sebesar 60 ° terhadap titik asal R 60 °

    b . rotasi sebesar 270 ° dengan pusat rotasi P 1 ,   5 R 1 ,   5 ,   270 °


    Jawab :

  1. Bayangan A 4 ,   2 oleh rotasi sebesar 60 ° terhadap titik asal

    A 4 ,   2      R60°      A'x', y'

    x ' = x cos α - y sin α y ' = x sin α + y cos α

    x ' = 4 cos 60 ° - 2 sin 60 ° y ' = 4 sin 60 ° + 2 cos 60 °      sin 60 ° = 1 2 3 dan cos 60 ° = 1 2

    x ' = 2 - 3 y ' = 2 3 + 1

    Jadi bayangan A 4 ,   2 oleh R 60 ° adalah A ' 2 - 3 ,   2 3 + 1

  1. Bayangan A 4 ,   2 oleh rotasi sebesar 270 ° dengan pusat rotasi P 1 ,   5

    A 4 ,   2      R1, 5,270°      A'x', y'

    x ' - a = x - a cos α - y - b sin α y ' - b = x - a sin α + y - b cos α

    x ' - 1 = 4 - 1 cos 270 ° - 2 - 5 sin 270 ° y ' - 5 = 4 - 1 sin 270 ° + 2 - 5 cos 270 °

    x ' - 1 = 3 0 + 3 - 1 y ' - 5 = 3 - 1 - 3 0        sin 270 ° = - 1 dan cos 270 ° = 0

    x ' - 1 = - 3 y ' - 5 = - 3

    x ' = - 2 y ' = 2

    Jadi bayangan A 4 ,   2 oleh R 1 ,   5 , 270 ° adalah A ' - 2 ,   2


  1. Tentukan bayangan garis 4 x + 6 y = 9 oleh rotasi sebesar 90 ° dengan pusat 1 ,   - 2 !

    Jawab :

    x ' - 1 = x - 1 cos 90 ° - y + 2 sin 90 ° y ' + 2 = x - 1 sin 90 ° + y + 2 cos 90 ° sin 90 ° = 1 cos 90 ° = 0

    x ' - 1 = - y - 2 y ' + 2 = x - 1

    y = - x ' - 1 x = y ' + 3      

    Bayangan garis 4 x + 6 y = 9 adalah 4 y ' + 3 + 6 - x ' - 1 = 9

    4 y ' + 12 - 6 x ' - 6 = 9

    Hilangkan tanda aksen 4 y - 6 x - 3 = 0

    Jadi bayangannya adalah : 4 y - 6 x - 3 = 0



Sebagai contoh :

1.

Buktikan bahwa Bayangan titik x ,   y oleh rotasi dengan pusat 0 ,   0   sebesar θ adalah x ' ,   y ' , dengan x ' = x cos θ - y sin θ y ' = x sin θ + y cos θ !

Lihat Penyelesaian

2.

Tentukan bayangan titik A - 1 ,   3 oleh

  1. Rotasi sebesar 90 ° berlawanan arah dengan jarum jam

  2. Rotasi sebesar 90 °   s e arah dengan jarum jam

Lihat Penyelesaian

3.

Tentukan bayangan dari

  1. titik A 2 ,   - 5 oleh rotasi sebesar 120 ° dengan pusat 3 ,   3

  2. titik A 7 ,   3 oleh rotasi sebesar α dengan pusat P - 3 ,   8 dan dengan sin α = 3 5 untuk α sudut lancip

Lihat Penyelesaian

4.

Tentukan koordinat A ' , B ' , dan C ' pada rotasi-rotasi di bawah ini

  1. A 4 ,   - 2        R270            A'x', y'

  2. B 2 ,     10        R-150°            A'x', y'

  3. C - 1 ,   7        R6, 1,90°             A'x', y'

Lihat Penyelesaian

5.

Tentukan hasil-hasil rotasi di bawah ini

  1. R 45 °   o   R 65 °   o     R 160 ° A - 2 ,   5

  2. R 1 ,   3 , 25 °   o   R 1 ,   3 ,   110 ° B 5 ,   1

Lihat Penyelesaian

6.

Diketahui sin α = 3 5 dengan α sudut lancip, tentukan hasil dari

  1. R 2,3 , α A - 3 ,   13

  2. R 2,3 , 245 ° o R 2,3 , α o R 2,3 , 115 ° A - 3 ,   13

Lihat Penyelesaian

7.

Tentukan bayangan garis 3 x + 5 y = 15 oleh rotasi

  1. sebesar 90 ° searah jarum jam

  2. sebesar 90 ° berlawanan arah jarum jam

Lihat Penyelesaian

8.

Tentukan bayangan y = - x 2 2 oleh rotasi sebesar 135 ° dengan pusat 1 ,   - 2 !

Lihat Penyelesaian

9.

Tentukan bayangan kurva y = 13 x - 3 oleh rotasi sebesar θ , dengan cot θ = - 2,4 dan θ sudut tumpul !

Lihat Penyelesaian

10.

Oleh rotasi dengan pusat m ,   n sebesar β dengan tan β = 4 3 dan β sudut lancip , bayangan dari titik A 27 ,   72 adalah A ' - 35 ,   66 , maka tentukan

  1. Nilai dari m + n

  2. Bayangan titik B 12 ,   122 oleh transformasi yang sama

Lihat Penyelesaian

  1. DILATASI (PERBESARAN)

Transformasi Dilatasi( Perbesaran )

Dilatasi adalah transformasi yang mengubah ukuran atau skala bangun geometri tetapi tidak mengubah bentuk bangun tersebut .

Dilatasi dengan pusat P a ,   b dengan factor skala k ditulis P ,   k atau a ,   b ,   k

Bayangan titik x ,   y oleh dilatasi dengan pusat 0 ,   0 dan factor skala k

adalah x ' ,   y ' dengan x ' = k x y ' = k y

atau bisa ditulis x, y        O, k      kx, ky

Bayangan titik x ,   y oleh dilatasi dengan pusat a ,   b dan factor skala k

adalah x ' ,   y ' dengan x ' - a = k x - a y ' - b = k y - b atau x ' = k x - a + a y ' = k y - b + b

atau bisa ditulis x, y        a, b, k      kx-a+ax', ky-b+by'

Contoh :

  1. Menentukan bayangan A 2 ,   - 3 oleh dilatasi 1 ,   1 ,   3 adalah :

    A2, -3        1, 1, 3      A'32-1+1, 3-3-1+1

    A ' 4 ,   - 11

    secara geometri :

    Gambar tidak berskala dan tidak sesuai kaidah kartesius

    Transformasi Dilatasi( Perbesaran )

    keterangan :

    dari titik P ke A dihitung satu langkah, karena factor skala dilatasi adalah 3 maka dari P ke A ' ada tiga langkah, karena setiap langkah x = 1 dan y = - 4 maka mudah untuk menentukan koordinat A '

  1. Menentukan bayangan lingkaran x 2 + y 2 = 25 oleh dilatasi dengan pusat 2 ,   - 1 dan dengan factor skala 5 :

    Bayangan x ,   y oleh dilatasi 2 ,   - 1 ,   5 adalah x ' - 2 = 5 x - 2 y ' + 1 = 5 y + 1

    x ' - 2 = 5 x - 10 y ' + 1 = 5 y + 5 x = x ' + 8 5 y = y ' - 4 5

    Substitusikan x = x ' + 8 5 dan y = y ' - 4 5 ke lingkaran x 2 + y 2 = 25

    Jadi bayangan dari x 2 + y 2 = 25 adalah :

    x ' + 8 5 2 + y ' - 4 5 2 = 25 hilangkan tanda aksennya

    x + 8 2 25 + y - 4 2 25 = 25

    x + 8 2 + y - 4 2 = 625



Sebagai contoh :

1.

Tentukan bayangan dari titik-titik di bawah ini secara aljabar dan geometri

  1. A 3 ,   - 2 oleh dilatasi dengan factor skala - 5

  2. B 1 ,   4 oleh dilatasi dengan pusat 5 ,   5 factor skala 2

Lihat Penyelesaian

2.

Pada gambar di bawah ini , tentukan dilatasi yang memetakkan titik A , B , C , dan D , jika P adalah pusat dilatasinya !

Transformasi Dilatasi( Perbesaran )

Lihat Penyelesaian

3.

Bayangan titik A 3 ,   - 2 oleh dilatasi dengan pusat Q 5 ,   1 dan factor skala - 3 adalah A ' . Bayangan titik B 4 ,   1 oleh dilatasi dengan pusat P - 3 ,   0 dan factor skala 3 2 adalah B ' .

Tentukan koordinat A ' dan B ' dengan menggunakan rumus dilatasi dan secara geometri

Transformasi Dilatasi( Perbesaran )

Lihat Penyelesaian

4.

Tentukan hasil transfomasi-transformasi di bawah ini !

  1. 1 ,   3 ,     5 A 2 , -   6

  2. - 2 ,   0 ,     5 o - 1 ,   - 1 ,     4 B 1 ,   4

Lihat Penyelesaian

5.

Tunjukkan bahwa bayangan lingkaran x 2 + y 2 + 2 x - 6 y + 6 = 0 oleh dilatasi dengan pusat P - 3 ,   2 dan dengan factor skala 5 adalah tetap lingkaran !

Lihat Penyelesaian

6.

Tunjukkan bahwa bayangan parabola y = x 2 + 4 x - 10 oleh dilatasi dengan pusat P 0 ,   2 dan dengan factor skala - 3 adalah tetap parabola!

Lihat Penyelesaian

7.

Tentukan bayangan garis x + 2 y = 4 oleh dilatasi dengan pusat P - 1 , - 1 dengan factor skala 2

  1. Rumus dilatasi

  2. Secara geometri

Lihat Penyelesaian

8.

Oleh dilatasi a ,   b ,   k , bayangan titik A 2 ,   7 , B - 6 ,   - 11 ,dan C - 2 ,   5 adalah A ' 1 ,   5 , B ' - 11 ,   - 22 ,dan C ' m ,   n , maka

  1. Tentukan pusat dilatasi a ,   b

  2. Tentukan factor skala k

  3. Tentukan nilai m + n

Lihat Penyelesaian

9.

Tunjukkan jika Ax,y        a, b, k      A'x',y' maka A 'x',y'        a, b, 1k      Ax,y . Kemudian carilah prapeta dari titik A ' 10 ,   10 dan B ' 14 ,   26 oleh dilatasi dengan pusat 2 ,   - 6 dengan factor skala 8 !

Lihat Penyelesaian

10.

Oleh dilatasi - 1 ,   3 ,   4 bayangan sebuah kurva adalah 4 x 2 + y 2 = 16 , tentukan prapetanya !

Lihat Penyelesaian

  1. MATRIK TRANSFORMASI

Penggunaan matriks sangatlah membantu dalam menyelesaikan beberapa masalah geometri transformasi.

Cara mengubah penulisan transformasi dengan cara biasa ke dalam bentuk matriks :

Misalkan T adalah transformasi yang memetakan titik x ,   y ke titik 2 x - y , x + 3 y

Maka dengan cara biasa penulisannya : x , y  Transformasi T 2x-y, x+3y 

Dengan menggunakan matriks : x ' y ' = 2 x - y x + 3 y

x ' y ' = 2 - 1 1 3 x y

Contoh : Rotasi sebesar α dengan pusat titik asal adalah R α

x ,   y        Rα            xcos α-ysinα, xsinα+ycos α

Penulisan dengan matriksnya adalah

x ' y ' = cos α - sin α   sin α cos α x y

matriks transformasinya cos α - sin α   sin α cos α

Contoh : Mencari bayangan titik A 2 ,   3 , B - 1 ,   6 , dan C 3 ,   4 oleh 1 ,   9 ,   - 3

Dengan cara biasa (tidak dengan matriks) prosesnya agak lama.

x, y        a, b, k      kx-a+a, ky-b+b

Dengan matriks x ' - a y ' - b = k 0 0 k x - a y - b

Untuk soal di atas

x ' - 1 y ' - 9 = - 3 0 0 - 3 2 - 1 3 - 9 A - 1 - 1 6 - 9 B 3 - 1 4 - 9 C

= - 3 0 0 - 3 1 - 6 - 2 - 3 2 - 5

= - 3 6 - 6 18 9 15

x ' y ' = - 3 6 - 6 18 9 15 + 1 1 1 9 9 9

= - 2 7 - 5 27 18 24

Jadi bayangannya adalah A ' - 2 ,   27 , B ' 7 ,   18 dan C ' - 5 ,   24

BEBERAPA MATRIKS TRANSFORMASI

Jenis transformasi

Penulisan dengan menggunakan matriks

Matriks transformasi

M x

x ' y ' = 1 0 0 - 1 x y

1 0 0 - 1

M y

x ' y ' = - 1 0 0 1 x y

- 1 0 0 1

M x = y

x ' y ' = 0 1 1 0 x y

0 1 1 0

M x = - y

x ' y ' = 0 - 1 - 1 0 x y

0 - 1 - 1 0

M x = a

x ' y ' = - 1 0 0 1 x y + 2 a 0

- 1 0 0 1

M y = b

x ' y ' = 1 0 0 - 1 x y + 0 2 b

1 0 0 - 1

M y = m x + c tan α = m

x ' y ' = cos 2 α sin 2 α sin 2 α - cos 2 α x y + c m cos 2 α - 1 sin 2 α

cos 2 α sin 2 α sin 2 α - cos 2 α

R α

x ' y ' = cos α - sin α sin α cos α x y

cos α - sin α sin α cos α

R 90 °

x ' y ' = 0 - 1 1 0 x y

0 - 1 1 0

R 180 °

x ' y ' = - 1 0 0 - 1 x y

- 1 0 0 - 1

R 270 °

x ' y ' = 0 1 - 1 0 x y

0 1 - 1 0

R a ,   b ,   α

x ' - a y ' - b = cos α - sin α sin α cos α x - a y - b

cos α - sin α sin α cos α

0 ,   0 ,   k

x ' y ' = k 0 0 k x y

k 0 0 k

a ,   b ,   k

x ' - a y ' - b = k 0 0 k x - a y - b

k 0 0 k

Di samping ini ada matriks transformasi yang mempunyai nama khusus yaitu:

  1. Regangan

    Matriks transformasi:

    regangan searah sumbu X dengan factor skala k adalah k 0 0 1

    regangan searah sumbu Y dengan factor skala k adalah 1 0 0 k

  1. Gusuran

    Matriks transformasi :

    gusuran searah sumbu X dengan factor skala k adalah 1 k 0 1

    gusuran searah sumbu Y dengan factor skala k adalah 1 0 k 1

Luas bayangan dari sebuah kurva adalah hasil kali determinan matriks transformasi dikalikan dengan luas kurva.

Jadi : L b a y a n g a n = a b c d × l u a s   k u r v a

Contoh :

Diketahui A B C dengan A ( 2 ,   3 ) , B 4 ,   0 , dan C 5 ,   5 . Tentukan luas segitiga A B C dan luas bayangan segitiga A B C oleh transformasi matriks 1 - 1 2 1 !

Jawab :

Secara aljabar :

Matriks Transformasi

Secara geometri

Matriks Transformasi

Luas A B C = l u a s   t o t a l - l u a s   k u n i n g

= 15 - 3 + 3 + 5 2

= 13 2

Luas bayangan = determinan matriks transformasi dikalikan luas kurva awal

L A ' B ' C ' = 1 - 1 2 1 × L A B C      1 - 1 2 1 = 1 × 1 - - 1 × 2

= 3 × L A B C

= 3 13 2

= 39 2



Sebagai contoh :

1.

Tentukan matriks transformasi untuk transformasi-transformasi di bawah ini!

  1. Transformasi T 1 memetakkan titik x ,   y ke titik 2 x - y ,     3 y

  2. Transformasi T 2 memetakkan titik x ,   y ke titik 4 x + y ,     y - 2 x

  3. x , y         T         3x, 2x-5y

Lihat Penyelesaian

2.

Misalkan T adalah transformasi yang memetakan titik x ,   y ke titik 3 x + 2 y ,   5 x - y , maka tentukan bayangan titik-titik A ( 2 ,   1 ) , B ( 5 ,   2 ) , C ( 6 ,   - 3 ) , dan D ( 1 ,   8 ) oleh transformasi T !

Lihat Penyelesaian

3.

Tentukan bayangan kurva y = x 2 + 2 x oleh transformasi T , dimana T memetakkan x ,   y ke 3 x + y ,   x - 2 y !

Lihat Penyelesaian

4.

Tentukan bayangan titik A 2 ,   4 , B 7 ,   5 , dan C 1 ,   - 5 oleh

  1. Pencerminan terhadap garis y = - x

  2. Pencerminan terhadap garis x = 2

Lihat Penyelesaian

5.

Dengan transformasi dengan matrik a b c d , bayangan dari titik-titik A 17 ,   11 , B 31 ,   27 , dan C - 2 ,   4 adalah A ' 45 ,   95 , B ' 89 ,   201 , dan C ' m ,   n . Maka tentukan nilai dari m + n !

Lihat Penyelesaian

6.

Oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks a b c d , bayangan dari titik A 3 ,   - 1 , B 2 ,   5 , dan C 4 ,   4 adalah berturut-turut A ' - 1 ,   9 , B ' 22 ,   - 11 , dan C ' m ,   n . Tentukan nilai dari m + 5 n !

Lihat Penyelesaian

7.

Oleh transformasi dengan matrik a b c d , garis 3 x + 2 y = 11 dipetakan ke garis 3 x - 4 y = 11 . Tentukan matriks transformasi a b c d !

Lihat Penyelesaian

8.

Tentukan bayangan titik A ( 8 ,   8 ) , B 3 ,     13 , C - 2 ,   3 , dan D 13 ,   - 7 oleh

  1. Rotasi sebesar α dengan pusat titik asal dan tan α = 0,75 , α sudut lancip !

  2. Rotasi sebesar β dengan pusat titik 3 ,   - 2 dan sin β = 0,8 , β sudut tumpul !

Lihat Penyelesaian

9.

Tentukan bayangan titik A ( 6 ,   - 3 ) , B 9 ,   - 11 , dan C 13 ,   2 oleh

  1. Dilatasi dengan factor skala 5 dan dengan pusat titik asal

  2. Dilatasi dengan factor skala - 2 dan dengan pusat titik 2 ,   - 7

Lihat Penyelesaian

10.

Tentukan bayangan garis 3 x + 2 y = 6 oleh

  1. Rotasi sebesar α dengan pusat titik asal dan tan α = 2,4 , α sudut lancip !

  2. Rotasi sebesar β dengan pusat titik 1 ,   2 dan cos β = - 0,96 , β sudut tumpul !

Lihat Penyelesaian

11.

Tentukan bayangan kurva y = x 2 oleh

  1. Dilatasi dengan factor skala 7 2 dan dengan pusat titik asal

  2. Dilatasi dengan factor skala - 3 dan dengan pusat titik 4 ,     1

Lihat Penyelesaian

12.

Diketahui A B C dengan A 2 ,   3 , B - 1 ,   4 , dan C 6 ,   6 . Jika T   adalah transformasi yang bersesuaian dengan matriks 4 2 - 3 1 maka tentukan

  1. Luas segitiga A B C

  2. Luas A ' B ' C '  

  3. Bayangan A B C oleh transformasi T

Lihat Penyelesaian

13.

Diketahui lingkaran L x 2 + y 2 + 4 x - 6 y = 36 , tentukan

  1. Luas lingkaran L

  2. Bayangan lingkaran L oleh transformasi matriks 2 0 0 5

  3. Tentukan luas bayangan L

Lihat Penyelesaian

14.

Tentukan bayangan kurva y = x 2 oleh transformasi

  1. Regangan searah sumbu Y dengan factor skala 2

  2. Gusuran searah sumbu X dengan factor skala 3

Lihat Penyelesaian

15.

Pada gambar di bawah ini adalah lingkaran dan ellips, tentukan luas ellips dengan analisa transformasi !

Matriks Transformasi

Lihat Penyelesaian


  1. KOMPOSISI TRANSFORMASI DENGAN MATRIKS

Komposisi transformasi adalah gabungan dua transformasi atau lebih.

Penulisan komposisi dua transformasi T 1 dan T 2 adalah T 2 o   T 1 yang artinya transformasi T 1 dilanjutkan dengan transformasi T 2

Jadi T 2 o T 1 x ,   y sama artinya dengan x ,   y             T 1             x ' ,   y '             T 2             x ' ' ,   y ' '

Misalkan T 1 = a 1 b 1 c 1 d 1 dan T 2 = a 2 b 2 c 2 d 2

maka T 2 o T 1 = a 2 b 2 c 2 d 2 T 2 a 1 b 1 c 1 d 1 T 1

Perhatikan contoh berikut ini

  1. Diketahui x ,   y             T 1             3 x - y ,   x + 2 y dan x ,   y             T 2             x + 2 y ,   - x + 5 y maka tentukan matrik transformasi yang bersesuaian dengan T 2 o T 1 !

    Jawab :

    x ,   y             T 1             3 x - y ,   x + 2 y

    x ' y ' = 3 - 1 1 2 x y      maka matriks transformasi T 1 = 3 - 1 1 2

    x ,   y             T 2             x + 2 y ,   - x + 5 y

    x ' y ' = 1 2 - 1 5 x y     maka matriks transformasi T 2 = 1 2 - 1 5

    T 2 o T 1 = 1 2 - 1 5 T 2 3 - 1 1 2 T 1

    = 3 + 2 - 1 + 4 - 3 + 5 1 + 10

    = 5 3 2 1 1

    T 2 o T 1 artinya transformasi T 1 dilanjutkan T 2


  1. Tentukan bayangan kurva y = 4 x oleh pencerminan terhadap sumbu X , dilanjutkan dengan rotasi sebesar 90 ° terhadap pusat titik asal !

    Jawab :

    pencerminan terhadap sumbu X M x = 1 0 0 - 1

    rotasi sebesar 90 ° terhadap pusat titik asal R 90 ° = 0 - 1 1 0

    x ' y ' = 0 - 1 1 0 R 90 ° 1 0 0 - 1 M x x y

    x ' y ' = 0 1 1 0 x y

    = y x

    Jadi x ' = y dan y ' = x atau x = y ' dan y = x '

    Bayangan dari y = 4 x oleh M x dilanjutkan R 90 ° adalah :

    x ' = 4 y '     hilangkan tanda aksennya

    x = 4 y

    y = log x 4

  1. Diketahui T 1 = 2 1 - 3 4 , T 2 = 1 0 3 1 , dan M x = - y adalah pencerminan terhadap garis x = - y . Tentukan bayangan garis 2 x + 5 y = 7 oleh

    1. T 1 o M x = y o T 2

    2. Pencerminan terhadap garis x = - y dilanjutkan transformasi T 1 dilanjutkan lagi transformasi T 2

    Jawab :

  1. bayangan garis 2 x + 5 y = 7 oleh T 1   o   M x = y   o   T 2

    T 1 = 2 1 - 3 4 dan T 2 = 1 0 3 1

    pencerminan terhadap garis x = - y M x = - y = 0 - 1 - 1 0

    x ' y ' = 2 1 - 3 4 T 1 0 - 1 - 1 0 M x = - y 1 0 3 1 T 2 x y

    x ' y ' = 2 1 - 3 4 T 1 - 3 - 1 - 1 0 x y

    x ' y ' = - 7 - 2 5 3 x y

    x y = - 7 - 2 5 3 - 1 x ' y '

    = - 1 11 3 2 - 5 - 7 x ' y '

    = - 1 11 3 x ' + 2 y ' - 5 x ' - 7 y '

    Jadi diperoleh x = - 3 x ' - 2 y ' 11 y = 5 x '   +   7 y ' 11

    bayangan garis 2 x + 5 y = 7 oleh T 1   o   M x = - y   o   T 2 adalah :

    2 - 3 x ' - 2 y ' 11 + 5 5 x '   +   7 y ' 11 = 7 hilangkan tanda aksennya

    2 - 3 x - 2 y 11 + 5 5 x   +   7 y 11 = 7 kedua ruas dikalikan 11

    - 6 x - 4 y + 2 5 x + 35 y = 77

    19 x + 31 y = 77

  1. Pencerminan terhadap garis x = - y dilanjutkan transformasi T 1 dilanjutkan lagi transformasi T 2

    Komposisi transformasinya adalah : T 2 o T 1 o M x = - y

    x ' y ' = 1 0 3 1 T 2 2 1 - 3 4 T 1 0 - 1 - 1 0 M x = - y x y

    x ' y ' = 1 0 3 1 T 2 - 1 - 2 - 4 3 x y

    x ' y ' = - 1 - 2 - 7 - 3 x y

    x y = - 1 - 2 - 7 - 3 - 1 x ' y '

    = - 1 11 - 3 2 7 - 1 x ' y '

    = - 1 11 - 3 x ' + 2 y ' 7 x ' - y '

    Jadi diperoleh x = 3 x ' - 2 y ' 11 y = - 7 x '   +   y ' 11

    bayangan garis 2 x + 5 y = 7 oleh T 2 o T 1 o M x = - y adalah :

    2 3 x ' - 2 y ' 11 + 5 - 7 x ' +   y ' 11 = 7 hilangkan tanda aksennya

    2 3 x - 2 y 11 + 5 - 7 x   +   y 11 = 7 kedua ruas dikalikan 11

    6 x - 4 y - 35 x + 5 y = 77

    - 29 x + y = 77

    29 x - y + 77 = 0



Sebagai contoh :

1.

Diketahui M x adalah pencerminan terhadap sumbu X , R π 2 adalah rotasi sebesar π 2 dengan pusat titik asal, dan T adalah transformasi yang bersesuaian dengan matriks transformasi 2 3 4 2 , maka tentukan matriks transformasi tunggal yang mewakili

  1. Transformasi M x o   R π 2 dan R π 2   o   M x

  2. R π 2   o   T   o   M x    

  3. Rotasi R π 2 dilanjutkan dengan pencerminan M x , dilanjutkan lagi transformasi T

Lihat Penyelesaian

2.

Diketahui transformasi T 1 , T 2 , dan T 3 didefinisikan :

x ,   y             T 1             2 x + 5 y ,   x - 2 y , x ,   y             T 2             2 x - 3 y ,   - 2 y

dan x ,   y             T 3             y - 2 x ,     x + 3 y

Tentukan matriks transformasi tunggal dari

  1. T 1 o   T 2   o   T 3

  2.   T 1 dilanjutkan T 2 dan dilanjutkan lagi T 3

Lihat Penyelesaian

3.

Tentukan transformasi tunggal yang mewakili

  1. Pencerminan terhadap sumbu X dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y = x adalah rotasi sebesar 90 ° terhadap titik asal

  2. Pencerminan terhadap garis y = - x dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu Y adalah rotasi sebesar - 90 ° terhadap titik asal

Lihat Penyelesaian

4.

Tentukan bayangan dari jajaran genjang A B C D , dengan A 4 ,   - 2 , B 5 ,   5 , dan C 1 ,   - 3 oleh pencerminan terhadap garis y = - x dilanjutkan dengan rotasi sebesar 60 ° !

Lihat Penyelesaian

5.

Tentukan bayangan kurva y = 2 x + 3 oleh

  1. Translasi 3 - 1 dilanjutkan dengan translasi 3 - 2

  2. Rotasi sebesar 90 ° terhadap titik asal, dilanjutkan dengan dilatasi dengan factor skala 2 dengan pusat titik asal

  3. Transformasi dengan matriks transformasi T 1 = 2 1 3 2 dilanjutkan dengan transformasi dengan matriks T 2 = 6 - 3 - 9 6

Lihat Penyelesaian

6.

Tentukan bayangan garis 3 x - y = 10 oleh

  1. Pencerminan terhadap sumbu Y , dan dilanjutkan oleh rotasi sebesar 90 ° terhadap titik asal

  2. Rotasi sebesar 90 ° searah jarum jam terhadap titik asal, dan dilanjutkan transformasi yang bersesuaian dengan matriks 1 - 2 4 3

Lihat Penyelesaian

7.

Tentukan bayangan dari kurva y = x 2 + 2 x + 5 oleh

  1. Rotasi R 44 ° dilanjutkan dengan R 136 °

  2. Rotasi R 2 ,   1 , 75 ° dilanjutkan dengan R 2 ,   1 , 15 °  

Lihat Penyelesaian

8.

Diketahui A = 1 2 3 - 1 1 3 , maka tentukan

  1. Rotasi sebesar α dengan pusat titik asal dan A 2 dan A 3

  2. Transformasi yang bersesuain dengan matriks transformasi A

  3. Tentukan A 2016

Lihat Penyelesaian

9.

Tentukan bayangan kurva y = 2 x oleh transformasi

  1. Regangan searah sumbu Y dengan factor skala 4 kemudian dilanjutkan rotasi 90 ° dengan pusat titik asal

  2. Gusuran searah sumbu X dengan factor skala 2 kemudian pencerminan terhadap garis x = y

Lihat Penyelesaian

10.

Tentukan bayangan kurva x 2 + y 2 + 12 x - 8 y = 12 oleh

  1. Rotasi sebesar 180 ° terhadap titik asal dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu Y

  2. Pencerminan terhadap garis x = - y dilanjutkan dengan dilatasi dengan pusat 1 ,   - 2 dengan factor skala 3

Lihat Penyelesaian