1. KOMPOSISI TRANSFORMASI DENGAN MATRIKS

Komposisi transformasi adalah gabungan dua transformasi atau lebih.

Penulisan komposisi dua transformasi T 1 dan T 2 adalah T 2 o   T 1 yang artinya transformasi T 1 dilanjutkan dengan transformasi T 2

Jadi T 2 o T 1 x ,   y sama artinya dengan x ,   y             T 1             x ' ,   y '             T 2             x ' ' ,   y ' '

Misalkan T 1 = a 1 b 1 c 1 d 1 dan T 2 = a 2 b 2 c 2 d 2

maka T 2 o T 1 = a 2 b 2 c 2 d 2 T 2 a 1 b 1 c 1 d 1 T 1

Perhatikan contoh berikut ini

  1. Diketahui x ,   y             T 1             3 x - y ,   x + 2 y dan x ,   y             T 2             x + 2 y ,   - x + 5 y maka tentukan matrik transformasi yang bersesuaian dengan T 2 o T 1 !

    Jawab :

    x ,   y             T 1             3 x - y ,   x + 2 y

    x ' y ' = 3 - 1 1 2 x y      maka matriks transformasi T 1 = 3 - 1 1 2

    x ,   y             T 2             x + 2 y ,   - x + 5 y

    x ' y ' = 1 2 - 1 5 x y     maka matriks transformasi T 2 = 1 2 - 1 5

    T 2 o T 1 = 1 2 - 1 5 T 2 3 - 1 1 2 T 1

    = 3 + 2 - 1 + 4 - 3 + 5 1 + 10

    = 5 3 2 1 1

    T 2 o T 1 artinya transformasi T 1 dilanjutkan T 2


  1. Tentukan bayangan kurva y = 4 x oleh pencerminan terhadap sumbu X , dilanjutkan dengan rotasi sebesar 90 ° terhadap pusat titik asal !

    Jawab :

    pencerminan terhadap sumbu X M x = 1 0 0 - 1

    rotasi sebesar 90 ° terhadap pusat titik asal R 90 ° = 0 - 1 1 0

    x ' y ' = 0 - 1 1 0 R 90 ° 1 0 0 - 1 M x x y

    x ' y ' = 0 1 1 0 x y

    = y x

    Jadi x ' = y dan y ' = x atau x = y ' dan y = x '

    Bayangan dari y = 4 x oleh M x dilanjutkan R 90 ° adalah :

    x ' = 4 y '     hilangkan tanda aksennya

    x = 4 y

    y = log x 4

  1. Diketahui T 1 = 2 1 - 3 4 , T 2 = 1 0 3 1 , dan M x = - y adalah pencerminan terhadap garis x = - y . Tentukan bayangan garis 2 x + 5 y = 7 oleh

    1. T 1 o M x = y o T 2

    2. Pencerminan terhadap garis x = - y dilanjutkan transformasi T 1 dilanjutkan lagi transformasi T 2

    Jawab :

  1. bayangan garis 2 x + 5 y = 7 oleh T 1   o   M x = y   o   T 2

    T 1 = 2 1 - 3 4 dan T 2 = 1 0 3 1

    pencerminan terhadap garis x = - y M x = - y = 0 - 1 - 1 0

    x ' y ' = 2 1 - 3 4 T 1 0 - 1 - 1 0 M x = - y 1 0 3 1 T 2 x y

    x ' y ' = 2 1 - 3 4 T 1 - 3 - 1 - 1 0 x y

    x ' y ' = - 7 - 2 5 3 x y

    x y = - 7 - 2 5 3 - 1 x ' y '

    = - 1 11 3 2 - 5 - 7 x ' y '

    = - 1 11 3 x ' + 2 y ' - 5 x ' - 7 y '

    Jadi diperoleh x = - 3 x ' - 2 y ' 11 y = 5 x '   +   7 y ' 11

    bayangan garis 2 x + 5 y = 7 oleh T 1   o   M x = - y   o   T 2 adalah :

    2 - 3 x ' - 2 y ' 11 + 5 5 x '   +   7 y ' 11 = 7 hilangkan tanda aksennya

    2 - 3 x - 2 y 11 + 5 5 x   +   7 y 11 = 7 kedua ruas dikalikan 11

    - 6 x - 4 y + 2 5 x + 35 y = 77

    19 x + 31 y = 77

  1. Pencerminan terhadap garis x = - y dilanjutkan transformasi T 1 dilanjutkan lagi transformasi T 2

    Komposisi transformasinya adalah : T 2 o T 1 o M x = - y

    x ' y ' = 1 0 3 1 T 2 2 1 - 3 4 T 1 0 - 1 - 1 0 M x = - y x y

    x ' y ' = 1 0 3 1 T 2 - 1 - 2 - 4 3 x y

    x ' y ' = - 1 - 2 - 7 - 3 x y

    x y = - 1 - 2 - 7 - 3 - 1 x ' y '

    = - 1 11 - 3 2 7 - 1 x ' y '

    = - 1 11 - 3 x ' + 2 y ' 7 x ' - y '

    Jadi diperoleh x = 3 x ' - 2 y ' 11 y = - 7 x '   +   y ' 11

    bayangan garis 2 x + 5 y = 7 oleh T 2 o T 1 o M x = - y adalah :

    2 3 x ' - 2 y ' 11 + 5 - 7 x ' +   y ' 11 = 7 hilangkan tanda aksennya

    2 3 x - 2 y 11 + 5 - 7 x   +   y 11 = 7 kedua ruas dikalikan 11

    6 x - 4 y - 35 x + 5 y = 77

    - 29 x + y = 77

    29 x - y + 77 = 0



Sebagai contoh :

1.

Diketahui M x adalah pencerminan terhadap sumbu X , R π 2 adalah rotasi sebesar π 2 dengan pusat titik asal, dan T adalah transformasi yang bersesuaian dengan matriks transformasi 2 3 4 2 , maka tentukan matriks transformasi tunggal yang mewakili

  1. Transformasi M x o   R π 2 dan R π 2   o   M x

  2. R π 2   o   T   o   M x    

  3. Rotasi R π 2 dilanjutkan dengan pencerminan M x , dilanjutkan lagi transformasi T

Lihat Penyelesaian

2.

Diketahui transformasi T 1 , T 2 , dan T 3 didefinisikan :

x ,   y             T 1             2 x + 5 y ,   x - 2 y , x ,   y             T 2             2 x - 3 y ,   - 2 y

dan x ,   y             T 3             y - 2 x ,     x + 3 y

Tentukan matriks transformasi tunggal dari

  1. T 1 o   T 2   o   T 3

  2.   T 1 dilanjutkan T 2 dan dilanjutkan lagi T 3

Lihat Penyelesaian

3.

Tentukan transformasi tunggal yang mewakili

  1. Pencerminan terhadap sumbu X dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y = x adalah rotasi sebesar 90 ° terhadap titik asal

  2. Pencerminan terhadap garis y = - x dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu Y adalah rotasi sebesar - 90 ° terhadap titik asal

Lihat Penyelesaian

4.

Tentukan bayangan dari jajaran genjang A B C D , dengan A 4 ,   - 2 , B 5 ,   5 , dan C 1 ,   - 3 oleh pencerminan terhadap garis y = - x dilanjutkan dengan rotasi sebesar 60 ° !

Lihat Penyelesaian

5.

Tentukan bayangan kurva y = 2 x + 3 oleh

  1. Translasi 3 - 1 dilanjutkan dengan translasi 3 - 2

  2. Rotasi sebesar 90 ° terhadap titik asal, dilanjutkan dengan dilatasi dengan factor skala 2 dengan pusat titik asal

  3. Transformasi dengan matriks transformasi T 1 = 2 1 3 2 dilanjutkan dengan transformasi dengan matriks T 2 = 6 - 3 - 9 6

Lihat Penyelesaian

6.

Tentukan bayangan garis 3 x - y = 10 oleh

  1. Pencerminan terhadap sumbu Y , dan dilanjutkan oleh rotasi sebesar 90 ° terhadap titik asal

  2. Rotasi sebesar 90 ° searah jarum jam terhadap titik asal, dan dilanjutkan transformasi yang bersesuaian dengan matriks 1 - 2 4 3

Lihat Penyelesaian

7.

Tentukan bayangan dari kurva y = x 2 + 2 x + 5 oleh

  1. Rotasi R 44 ° dilanjutkan dengan R 136 °

  2. Rotasi R 2 ,   1 , 75 ° dilanjutkan dengan R 2 ,   1 , 15 °  

Lihat Penyelesaian

8.

Diketahui A = 1 2 3 - 1 1 3 , maka tentukan

  1. Rotasi sebesar α dengan pusat titik asal dan A 2 dan A 3

  2. Transformasi yang bersesuain dengan matriks transformasi A

  3. Tentukan A 2016

Lihat Penyelesaian

9.

Tentukan bayangan kurva y = 2 x oleh transformasi

  1. Regangan searah sumbu Y dengan factor skala 4 kemudian dilanjutkan rotasi 90 ° dengan pusat titik asal

  2. Gusuran searah sumbu X dengan factor skala 2 kemudian pencerminan terhadap garis x = y

Lihat Penyelesaian

10.

Tentukan bayangan kurva x 2 + y 2 + 12 x - 8 y = 12 oleh

  1. Rotasi sebesar 180 ° terhadap titik asal dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu Y

  2. Pencerminan terhadap garis x = - y dilanjutkan dengan dilatasi dengan pusat 1 ,   - 2 dengan factor skala 3

Lihat Penyelesaian