1. MATRIK TRANSFORMASI

Penggunaan matriks sangatlah membantu dalam menyelesaikan beberapa masalah geometri transformasi.

Cara mengubah penulisan transformasi dengan cara biasa ke dalam bentuk matriks :

Misalkan T adalah transformasi yang memetakan titik x ,   y ke titik 2 x - y , x + 3 y

Maka dengan cara biasa penulisannya : x , y  Transformasi T 2x-y, x+3y 

Dengan menggunakan matriks : x ' y ' = 2 x - y x + 3 y

x ' y ' = 2 - 1 1 3 x y

Contoh : Rotasi sebesar α dengan pusat titik asal adalah R α

x ,   y        Rα            xcos α-ysinα, xsinα+ycos α

Penulisan dengan matriksnya adalah

x ' y ' = cos α - sin α   sin α cos α x y

matriks transformasinya cos α - sin α   sin α cos α

Contoh : Mencari bayangan titik A 2 ,   3 , B - 1 ,   6 , dan C 3 ,   4 oleh 1 ,   9 ,   - 3

Dengan cara biasa (tidak dengan matriks) prosesnya agak lama.

x, y        a, b, k      kx-a+a, ky-b+b

Dengan matriks x ' - a y ' - b = k 0 0 k x - a y - b

Untuk soal di atas

x ' - 1 y ' - 9 = - 3 0 0 - 3 2 - 1 3 - 9 A - 1 - 1 6 - 9 B 3 - 1 4 - 9 C

= - 3 0 0 - 3 1 - 6 - 2 - 3 2 - 5

= - 3 6 - 6 18 9 15

x ' y ' = - 3 6 - 6 18 9 15 + 1 1 1 9 9 9

= - 2 7 - 5 27 18 24

Jadi bayangannya adalah A ' - 2 ,   27 , B ' 7 ,   18 dan C ' - 5 ,   24

BEBERAPA MATRIKS TRANSFORMASI

Jenis transformasi

Penulisan dengan menggunakan matriks

Matriks transformasi

M x

x ' y ' = 1 0 0 - 1 x y

1 0 0 - 1

M y

x ' y ' = - 1 0 0 1 x y

- 1 0 0 1

M x = y

x ' y ' = 0 1 1 0 x y

0 1 1 0

M x = - y

x ' y ' = 0 - 1 - 1 0 x y

0 - 1 - 1 0

M x = a

x ' y ' = - 1 0 0 1 x y + 2 a 0

- 1 0 0 1

M y = b

x ' y ' = 1 0 0 - 1 x y + 0 2 b

1 0 0 - 1

M y = m x + c tan α = m

x ' y ' = cos 2 α sin 2 α sin 2 α - cos 2 α x y + c m cos 2 α - 1 sin 2 α

cos 2 α sin 2 α sin 2 α - cos 2 α

R α

x ' y ' = cos α - sin α sin α cos α x y

cos α - sin α sin α cos α

R 90 °

x ' y ' = 0 - 1 1 0 x y

0 - 1 1 0

R 180 °

x ' y ' = - 1 0 0 - 1 x y

- 1 0 0 - 1

R 270 °

x ' y ' = 0 1 - 1 0 x y

0 1 - 1 0

R a ,   b ,   α

x ' - a y ' - b = cos α - sin α sin α cos α x - a y - b

cos α - sin α sin α cos α

0 ,   0 ,   k

x ' y ' = k 0 0 k x y

k 0 0 k

a ,   b ,   k

x ' - a y ' - b = k 0 0 k x - a y - b

k 0 0 k

Di samping ini ada matriks transformasi yang mempunyai nama khusus yaitu:

  1. Regangan

    Matriks transformasi:

    regangan searah sumbu X dengan factor skala k adalah k 0 0 1

    regangan searah sumbu Y dengan factor skala k adalah 1 0 0 k

  1. Gusuran

    Matriks transformasi :

    gusuran searah sumbu X dengan factor skala k adalah 1 k 0 1

    gusuran searah sumbu Y dengan factor skala k adalah 1 0 k 1

Luas bayangan dari sebuah kurva adalah hasil kali determinan matriks transformasi dikalikan dengan luas kurva.

Jadi : L b a y a n g a n = a b c d × l u a s   k u r v a

Contoh :

Diketahui A B C dengan A ( 2 ,   3 ) , B 4 ,   0 , dan C 5 ,   5 . Tentukan luas segitiga A B C dan luas bayangan segitiga A B C oleh transformasi matriks 1 - 1 2 1 !

Jawab :

Secara aljabar :

Matriks Transformasi

Secara geometri

Matriks Transformasi

Luas A B C = l u a s   t o t a l - l u a s   k u n i n g

= 15 - 3 + 3 + 5 2

= 13 2

Luas bayangan = determinan matriks transformasi dikalikan luas kurva awal

L A ' B ' C ' = 1 - 1 2 1 × L A B C      1 - 1 2 1 = 1 × 1 - - 1 × 2

= 3 × L A B C

= 3 13 2

= 39 2



Sebagai contoh :

1.

Tentukan matriks transformasi untuk transformasi-transformasi di bawah ini!

  1. Transformasi T 1 memetakkan titik x ,   y ke titik 2 x - y ,     3 y

  2. Transformasi T 2 memetakkan titik x ,   y ke titik 4 x + y ,     y - 2 x

  3. x , y         T         3x, 2x-5y

Lihat Penyelesaian

2.

Misalkan T adalah transformasi yang memetakan titik x ,   y ke titik 3 x + 2 y ,   5 x - y , maka tentukan bayangan titik-titik A ( 2 ,   1 ) , B ( 5 ,   2 ) , C ( 6 ,   - 3 ) , dan D ( 1 ,   8 ) oleh transformasi T !

Lihat Penyelesaian

3.

Tentukan bayangan kurva y = x 2 + 2 x oleh transformasi T , dimana T memetakkan x ,   y ke 3 x + y ,   x - 2 y !

Lihat Penyelesaian

4.

Tentukan bayangan titik A 2 ,   4 , B 7 ,   5 , dan C 1 ,   - 5 oleh

  1. Pencerminan terhadap garis y = - x

  2. Pencerminan terhadap garis x = 2

Lihat Penyelesaian

5.

Dengan transformasi dengan matrik a b c d , bayangan dari titik-titik A 17 ,   11 , B 31 ,   27 , dan C - 2 ,   4 adalah A ' 45 ,   95 , B ' 89 ,   201 , dan C ' m ,   n . Maka tentukan nilai dari m + n !

Lihat Penyelesaian

6.

Oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks a b c d , bayangan dari titik A 3 ,   - 1 , B 2 ,   5 , dan C 4 ,   4 adalah berturut-turut A ' - 1 ,   9 , B ' 22 ,   - 11 , dan C ' m ,   n . Tentukan nilai dari m + 5 n !

Lihat Penyelesaian

7.

Oleh transformasi dengan matrik a b c d , garis 3 x + 2 y = 11 dipetakan ke garis 3 x - 4 y = 11 . Tentukan matriks transformasi a b c d !

Lihat Penyelesaian

8.

Tentukan bayangan titik A ( 8 ,   8 ) , B 3 ,     13 , C - 2 ,   3 , dan D 13 ,   - 7 oleh

  1. Rotasi sebesar α dengan pusat titik asal dan tan α = 0,75 , α sudut lancip !

  2. Rotasi sebesar β dengan pusat titik 3 ,   - 2 dan sin β = 0,8 , β sudut tumpul !

Lihat Penyelesaian

9.

Tentukan bayangan titik A ( 6 ,   - 3 ) , B 9 ,   - 11 , dan C 13 ,   2 oleh

  1. Dilatasi dengan factor skala 5 dan dengan pusat titik asal

  2. Dilatasi dengan factor skala - 2 dan dengan pusat titik 2 ,   - 7

Lihat Penyelesaian

10.

Tentukan bayangan garis 3 x + 2 y = 6 oleh

  1. Rotasi sebesar α dengan pusat titik asal dan tan α = 2,4 , α sudut lancip !

  2. Rotasi sebesar β dengan pusat titik 1 ,   2 dan cos β = - 0,96 , β sudut tumpul !

Lihat Penyelesaian

11.

Tentukan bayangan kurva y = x 2 oleh

  1. Dilatasi dengan factor skala 7 2 dan dengan pusat titik asal

  2. Dilatasi dengan factor skala - 3 dan dengan pusat titik 4 ,     1

Lihat Penyelesaian

12.

Diketahui A B C dengan A 2 ,   3 , B - 1 ,   4 , dan C 6 ,   6 . Jika T   adalah transformasi yang bersesuaian dengan matriks 4 2 - 3 1 maka tentukan

  1. Luas segitiga A B C

  2. Luas A ' B ' C '  

  3. Bayangan A B C oleh transformasi T

Lihat Penyelesaian

13.

Diketahui lingkaran L x 2 + y 2 + 4 x - 6 y = 36 , tentukan

  1. Luas lingkaran L

  2. Bayangan lingkaran L oleh transformasi matriks 2 0 0 5

  3. Tentukan luas bayangan L

Lihat Penyelesaian

14.

Tentukan bayangan kurva y = x 2 oleh transformasi

  1. Regangan searah sumbu Y dengan factor skala 2

  2. Gusuran searah sumbu X dengan factor skala 3

Lihat Penyelesaian

15.

Pada gambar di bawah ini adalah lingkaran dan ellips, tentukan luas ellips dengan analisa transformasi !

Matriks Transformasi

Lihat Penyelesaian