1. ROTASI (PERPUTARAN)

Transformasi Rotasi

Rotasi atau perputaran adalah transformasi yang memetakkan setiap titik pada bidang geometri ke titik lainnya dengan cara memutar pada pusat titik tertentu .

Lambang dari rotasi adalah R a ,   b ,   α yang artinya adalah rotasi dengan pusat a ,   b   dan sebesar α . Jika pusat rotasinya titik asal 0 ,   0 maka cukup ditulis R α .

Arah rotasi jika berlawanan arah dengan jarum jam, maka rotasinya bernilai positif , jika searah dengan jarum jam rotasinya bernilai negatif .

Jika tidak ada keterangan maka untuk sudut nya positif karena dianggap berlawanan arah dengan jarum jam.

Bayangan titik x ,   y oleh rotasi dengan pusat 0 ,   0   sebesar α adalah x ' ,   y '

Dengan x ' = x cos α - y sin α y ' = x sin α + y cos α

x ,   y        Rα            xcos α-ysinαx', xsinα+ycos αy'

Bayangan titik x ,   y oleh rotasi dengan pusat a ,   b   sebesar α adalah x ' ,   y '

Dengan x ' - a = x - a cos α - y - b sin α y ' - b = x - a sin α + y - b cos α

Untuk komposisi rotasi dengan pusat yang sama , maka besar sudutnya ditambahkan

Jadi : R a ,   b , α       o       R a ,   b , β = R a ,   b , α + β  

Perhatikan contoh di bawah ini :

  1. Tentukan bayangan dari titik A 4 ,   2 oleh

    a . rotasi sebesar 60 ° terhadap titik asal R 60 °

    b . rotasi sebesar 270 ° dengan pusat rotasi P 1 ,   5 R 1 ,   5 ,   270 °


    Jawab :

  1. Bayangan A 4 ,   2 oleh rotasi sebesar 60 ° terhadap titik asal

    A 4 ,   2      R60°      A'x', y'

    x ' = x cos α - y sin α y ' = x sin α + y cos α

    x ' = 4 cos 60 ° - 2 sin 60 ° y ' = 4 sin 60 ° + 2 cos 60 °      sin 60 ° = 1 2 3 dan cos 60 ° = 1 2

    x ' = 2 - 3 y ' = 2 3 + 1

    Jadi bayangan A 4 ,   2 oleh R 60 ° adalah A ' 2 - 3 ,   2 3 + 1

  1. Bayangan A 4 ,   2 oleh rotasi sebesar 270 ° dengan pusat rotasi P 1 ,   5

    A 4 ,   2      R1, 5,270°      A'x', y'

    x ' - a = x - a cos α - y - b sin α y ' - b = x - a sin α + y - b cos α

    x ' - 1 = 4 - 1 cos 270 ° - 2 - 5 sin 270 ° y ' - 5 = 4 - 1 sin 270 ° + 2 - 5 cos 270 °

    x ' - 1 = 3 0 + 3 - 1 y ' - 5 = 3 - 1 - 3 0        sin 270 ° = - 1 dan cos 270 ° = 0

    x ' - 1 = - 3 y ' - 5 = - 3

    x ' = - 2 y ' = 2

    Jadi bayangan A 4 ,   2 oleh R 1 ,   5 , 270 ° adalah A ' - 2 ,   2


  1. Tentukan bayangan garis 4 x + 6 y = 9 oleh rotasi sebesar 90 ° dengan pusat 1 ,   - 2 !

    Jawab :

    x ' - 1 = x - 1 cos 90 ° - y + 2 sin 90 ° y ' + 2 = x - 1 sin 90 ° + y + 2 cos 90 ° sin 90 ° = 1 cos 90 ° = 0

    x ' - 1 = - y - 2 y ' + 2 = x - 1

    y = - x ' - 1 x = y ' + 3      

    Bayangan garis 4 x + 6 y = 9 adalah 4 y ' + 3 + 6 - x ' - 1 = 9

    4 y ' + 12 - 6 x ' - 6 = 9

    Hilangkan tanda aksen 4 y - 6 x - 3 = 0

    Jadi bayangannya adalah : 4 y - 6 x - 3 = 0



Sebagai contoh :

1.

Buktikan bahwa Bayangan titik x ,   y oleh rotasi dengan pusat 0 ,   0   sebesar θ adalah x ' ,   y ' , dengan x ' = x cos θ - y sin θ y ' = x sin θ + y cos θ !

Lihat Penyelesaian

2.

Tentukan bayangan titik A - 1 ,   3 oleh

  1. Rotasi sebesar 90 ° berlawanan arah dengan jarum jam

  2. Rotasi sebesar 90 °   s e arah dengan jarum jam

Lihat Penyelesaian

3.

Tentukan bayangan dari

  1. titik A 2 ,   - 5 oleh rotasi sebesar 120 ° dengan pusat 3 ,   3

  2. titik A 7 ,   3 oleh rotasi sebesar α dengan pusat P - 3 ,   8 dan dengan sin α = 3 5 untuk α sudut lancip

Lihat Penyelesaian

4.

Tentukan koordinat A ' , B ' , dan C ' pada rotasi-rotasi di bawah ini

  1. A 4 ,   - 2        R270            A'x', y'

  2. B 2 ,     10        R-150°            A'x', y'

  3. C - 1 ,   7        R6, 1,90°             A'x', y'

Lihat Penyelesaian

5.

Tentukan hasil-hasil rotasi di bawah ini

  1. R 45 °   o   R 65 °   o     R 160 ° A - 2 ,   5

  2. R 1 ,   3 , 25 °   o   R 1 ,   3 ,   110 ° B 5 ,   1

Lihat Penyelesaian

6.

Diketahui sin α = 3 5 dengan α sudut lancip, tentukan hasil dari

  1. R 2,3 , α A - 3 ,   13

  2. R 2,3 , 245 ° o R 2,3 , α o R 2,3 , 115 ° A - 3 ,   13

Lihat Penyelesaian

7.

Tentukan bayangan garis 3 x + 5 y = 15 oleh rotasi

  1. sebesar 90 ° searah jarum jam

  2. sebesar 90 ° berlawanan arah jarum jam

Lihat Penyelesaian

8.

Tentukan bayangan y = - x 2 2 oleh rotasi sebesar 135 ° dengan pusat 1 ,   - 2 !

Lihat Penyelesaian

9.

Tentukan bayangan kurva y = 13 x - 3 oleh rotasi sebesar θ , dengan cot θ = - 2,4 dan θ sudut tumpul !

Lihat Penyelesaian

10.

Oleh rotasi dengan pusat m ,   n sebesar β dengan tan β = 4 3 dan β sudut lancip , bayangan dari titik A 27 ,   72 adalah A ' - 35 ,   66 , maka tentukan

  1. Nilai dari m + n

  2. Bayangan titik B 12 ,   122 oleh transformasi yang sama

Lihat Penyelesaian