1. PENGERTIAN TRANSFORMASI

Pada bab transformasi geometri ini akan dipelajari transformasi geometri pada bidang datar .

Transformasi pada bidang bisa diartikan sebagai perubahan letak dari sebuah titik atau perubahan letak/bentuk dari sebuah bangun datar .

Transformasi

Penulisan transformasi secara umum adalah :

A      T    A' artinya titik A oleh transformasi T , bayangannya adalah A '

A disebut prapeta dan A ' disebut peta (bayangan)

y = f x       T    y'=f(x') artinya kurva y = f ( x ) oleh transformasi T , bayangannya adalah y ' = f ( x ' )

Transformasi adalah fungsi yang bijektif ( satu-satu kepada ) , artinya

  • Setiap prapeta A mempunyai peta A ' atau sebaliknya

  • A B A ' B '

Transformasi yang sering kita lihat dalam kehidupan sehari-hari adalah

  • Pergeseran ( translasi ) lambang transformasinya adalah x y

  • pencerminan ( refleksi ) lambang transformasinya adalah M l i n e

  • Perputaran ( rotasi ) lambang transformasinya adalah R a , b , θ

  • Perbesaran ( Rotasi ) lambang transformasinya adalah a , b , k

Selain itu juga akan dipelajari transformasi-transformasi lain yaitu

  • Transformasi yang berkaitan dengan matriks transformasi

  • Regangan dan gusuran

Isometri adalah transformasi yang mempertahankan jarak , akibatnya sebuah bangun datar ditransformasikan dengan transformasi yang bersifat isometri , maka bangun datar tersebut tidak akan berubah bentuk .

Titik Invarian adalah titik yang tidak berpindah oleh sebuah transformasi , sedangkan titik yang berpindah disebut varian .

Komposisi transformasi T 1 dilanjutkan dengan T 2 ditulis dengan T 2 o T 1

Jadi T 2 o T 1 A = T 2 T 1 A   identik dengan A      T1    A'      T2    A''

= T 2 A '

= A ' '

Misalkan T adalah transformasi yang memetakkan titik x ,   y menjadi 3 x - 1 ,   2 y maka :

  1. Bayangan A 2 ,   4 oleh transformasi T

    x ,   y       T      3 x - 1 ,   2 y

    adalah A ' 3 × 2 - 1 ,   2 × 4 atau A ' 5 ,   8

  1. Untuk mencari bayangan kurva y = x 2 caranya adalah

    x ,   y       T      3 x - 1 ,   2 y

    artinya x ' = 3 x - 1 y ' = 2 y atau x = x ' + 1 3 y = 1 2 y '

    Substitusikan x = x ' + 1 3 dan y = 1 2 y ' ke persamaan y = x 2

    Jadi bayangan kurva y = x 2 adalah 1 2 y ' = x ' + 1 3 2

    Atau 1 2 y = 1 9 x 2 + 2 x + 1

    9 y = 2 x 2 + 4 x + 2



Sebagai contoh :

1.

Transformasi T memetakan titik x ,   y menjadi 3 x ,   y + 1 , maka tentukan

  1. Bayangan titik A 2 ,   - 3 oleh transformasi T

  2. Prapeta dari titik B ' 12 ,   7

Lihat Penyelesaian

2.

Tentukan bayangan garis 8 x + 9 y = 89 oleh transformasi T , dimana T membawa titik x ,   y ke titik 2 x - 3 ,     3 y + 5 ?

Lihat Penyelesaian

3.

Transformasi T memetakan titik x ,   y menjadi 2 x - 6 ,     3 y + 15 , maka tentukan

  1. Bayangan dari titik A - 3 ,     10   oleh transformasi T

  2. Titik invarian dari transformasi T

Lihat Penyelesaian

4.

Jika x ,   y       T1      2 x ,   5 y dan x ,   y       T2      2 - x ,   y + 3 , maka tunjukkan bahwa T 1 bukan isometri , sedangkan T 2 merupakan isometri !

Lihat Penyelesaian

5.

Tentukan nilai dari a , b , c , dan d jika x ,   y       T      1 - 2 x ,     5 - 3 y

P a ,   b       T      P'7, -19 , dan c ,   d       T        a , b

Lihat Penyelesaian

6.

Transformasi T memetakan titik x ,   y menjadi 2 x + y ,   1 - x , maka tentukan

  1. Bayangan titik 2 ,   - 3 oleh transformasi T

  2. Bayangan kurva y = 2 x + 3 oleh transformasi T

Lihat Penyelesaian

7.

Transformasi T memetakan titik x ,   y menjadi 2 x ,   x + y , maka tentukan

  1. Prapeta dari titik 8 ,   - 3 oleh transformasi T

  2. Prapeta dari y = x 2 + 2 x + 3

Lihat Penyelesaian

8.

Transformasi T memetakan titik x ,   y menjadi 2 x + 3 y ,   3 x + 4 y , maka tentukan bayangan kurva y = x + x + y oleh transformasi T !

Lihat Penyelesaian

9.

Jika x ,   y       T1      x + 2 ,   y - 2 dan x ,   y       T2      3 x ,   2 y , tentukan

  1. Transformasi tunggal yang mewakili T 2 o T 1

  2. Transformasi tunggal yang mewakili T 1 o T 2

Lihat Penyelesaian

10.

Jika x ,   y       T1      x + y ,   x - y dan x ,   y       T2      1 - x ,   y + 4 , maka tentukan

  1. T 2 o T 1 A 5 ,   - 1

  2. T 1 o T 2 A 5 ,   - 1

  3. T 2 o T 1 2 x + 3 y = 12

Lihat Penyelesaian