1. KESEBANGUNAN PADA SEGITIGA

Rumus-rumus kesebangunan :

Planimetri

BD BA = BE BC = DE AC


Planimetri

Dua buah garis sejajar dihubungkan dengan garis yang

bersilangan, berlaku : α a = β b = γ c  


Planimetri

l = xa + yb x + y atau l = pa + qb p + q


Sebagai contoh :

1.

Planimetri

Pada gambar di atas, tentukan nilai x dan y ?  

Lihat Penyelesaian

2.

Planimetri

Tentukannilaidari x dan y pada gambar di atas ?

Lihat Penyelesaian

3.

Tentukan nilai x pada gambar di bawah ini ?

  1. Planimetri

  2. Planimetri

Lihat Penyelesaian

4.

Planimetri

Pada gambar di atas ,tunjukkan bahwa t 2 = xy

Lihat Penyelesaian

5.

Planimetri

Pada gambar di atas, tentukan nilai x dan y ?

Lihat Penyelesaian

6.

Pada gambar di bawah ini, , AD = 4 y , BD = 2 x , BC = 3 x - 2 y , DE = 5 , dan AE = 10 . Jika ∡AED = ∡CBD , maka Tentukan nilai y ?  

Planimetri

Lihat Penyelesaian

7.

Pada gambar dibawah ini, ketiga garis yang berwarna merah sejajar, dengan panjangnya berturut-turut 10 , x , dan 15 . Tentukan nilai ?

Planimetri

Lihat Penyelesaian

8.

Pada gambar di bawah ini, tentukan nilai x dan y ?

Planimetri

Lihat Penyelesaian

9.

Pada gambar dibawah ini segiempat ABCD , dengan ∡DAE = ∡CBE = θ , dan titik E adalah perpotongan kedua diagonalnya. Jika DE = 5 , AE = 10 , CE = 9 , CD = 10 , BE = x , dan AB = y maka tentukan nilai x dan y ?

Planimetri

Lihat Penyelesaian

10.

Pada gambar persegi panjang di bawah ini, tentukan perbandingan dari

  1. x ÷ y

  2. p ÷ q

Planimetri

Lihat Penyelesaian


  1. LUAS SEGITIGA

Rumus luas segitiga :

  1. L ABC = 1 2 at

  2. L ABC = s s - a s - b ( s - c )

    Dimana s = 1 2 a + b + c

Planimetri

  1. Beberapa segitiga mempunyai alas yang sama dan titik puncak yang sama, maka perbandingan luasnya sama dengan perbandingan alas-alasnya.

    Planimetri

    L ABC ÷ L ABC ÷ L ABC = L I ÷ L II ÷ L III

    = x ÷ y ÷ z


Sebagai contoh :

1.

Buktikan luas segitiga ABC dengan panjang sisi ABC adalah a , b , dan c adalah

L = s s - a s - b ( s - c ) (rumus Heron)

dengan s adalah setengah keliling segitiga.

Lihat Penyelesaian

2.

Tentukan luas segitiga sama kaki ABC , dengan AB = AC = 10 , dan BC = 8 dengan menggunakan

  1. Rumus luas biasa

  2. Rumus Heron

Lihat Penyelesaian

3.

Tentukan luas segitiga ABC dengan panjang sisinya berturut-turut AB = 12 , AC = 4 5 , dan BC = 8 2 ?

Lihat Penyelesaian

4.

Jika Luas segitiga pertama pada gambar di bawah ini diketahui, maka tentukan luas segitiga yg lain

  1. Planimetri

  2. Planimetri

Lihat Penyelesaian

5.

Diketahui ABC siku-siku di A , AB = 5 , AP = 5 , dan AC = 12 Jika luas APQ dua kali dari luas ACQ , maka tentukan panjang PQ ?

Planimetri

Lihat Penyelesaian

6.

Pada gambar dibawah ini, gari AC , DE , dan BF sejajar. Jika AD = 18 , DE = 12 , BF = 16 , serta luas BEF = 84 , maka tentukan

  1. Panjang DB

  2. Tentukan AE EF dan BE EC

  3. Luas ketiga segitiga yang lain

Planimetri

Lihat Penyelesaian

7.

Diketahui setitiga ABC dengan luasnya 30 satuan. Titik P , Q , dan R berturut-turut terletak pada sinar garis BA , CB , dan AC . Jika AC = CR , CB = 2 BQ , dan BA = AP maka tentukan luas segitiga PQR ?

Planimetri

Lihat Penyelesaian

8.

Gambar persegi di bawah ini dengan panjang sisinya 12 satuan terbagi menjadi empat bagian, tentukan luas masing-masing bagiannya !

Planimetri

Lihat Penyelesaian

9.

Tentukan luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini ?

Planimetri

Lihat Penyelesaian

10.

Segitiga di bawah ini, daerahnya dibagi menjadi 4 bagian, dengan luas masing-masing : 4, 5, 6, dan x satuan luas, maka nilai x yang memenuhi adalah :

Planimetri

Lihat Penyelesaian


  1. PENGERTIAN PLANIMETRI DAN GARIS ISTIMEWA SEGITIGA

Planimetri adalah ilmu ukur geometri dari bangun datar yang terletak pada bidang datar.

Pada bab planimetri ini akan dipelajari garis-garis istimewa yang ada pada segitiga (seperti garis tinggi, garis berat, garis bagi, dan garis sumbu) dan beberapa dalil yang berlaku pada segitiga (seperti dalil proyeksi, dalil stewart, dan teorema minelaus-ceva) .

Pengertian garis-garis istimewa pada segitiga :

  • Garis tinggi : adalah garis yang ditarik dari salah satu titik sudut dan memotong tegak lurus garis di depannya.

    Planimetri

    Keterangan : t C artinya garis tinggi yang ditarik dari titik C

  • Garis berat : adalah garis yang ditarik dari salah satu titik sudut dan memotong sisi di depannya menjadi dua bagian sama panjang

    Planimetri

    Keterangan : w B artinya garis berat yang ditarik dari titik B

  • Garis bagi : adalah garis yang ditarik dari salah satu titik sudut membagi dua sudutnya sama besar

    Planimetri

    Keterangan : z a artinya garis bagi yang ditarik dari titik A

  • Garis bagi luar: adalah garis yang ditarik dari salah satu titik sudut membagi dua sudut luarnya sama besar.

    Misalnya menggambar garis bagi luar sudut A, caranya perpanjang salah satu sisi yang lebih panjang seperti gambar di bawah ini.

    Planimetri

    Keterangan : k a artinya garis bagi luar yang ditarik dari titik A

  • Garis sumbu : adalah garis yang tegak lurus dan membagi dua sama panjang dari salah satu sisi segitiga.

    Planimetri

    Keterangan : h AB artinya garis sumbu sisi AB


Sebagai contoh :

1.

Pada gambar segitiga di bawah ini, gambarkan

Planimetri

  1. garis bagi dari titik B

  2. garis berat dari titik A

  3. garis tinggi dari titik C

  4. garis sumbu dari sisi AB

Lihat Penyelesaian

2.

Pada gambar segitiga di bawah, gambarkan

Planimetri

  1. Garis berat, garis tinggi, dan garis bagi melalui titik A , serta garis sumbu sisi BC

  2. Garis berat, garis tinggi, dan garis bagi melalui titik B , serta garis sumbu sisi AC

Lihat Penyelesaian

3.

Pada segitiga samakaki ABC , dengan AB = AC , buktikan bahwa garis tinggi, garis berat, garis bagi yang ditarik dari titik A adalah sama ?

Lihat Penyelesaian

4.

Gambarkan garis bagi luar pada segitiga sama sisi, dan berikan kesimpulan dari gambar yang diperoleh ?

Lihat Penyelesaian

5.

Buktikan bahwa ketiga garis berat segitiga berpotongan di satu titik !

Lihat Penyelesaian

  1. DALIL PROYEKSI

Proyeksi titik A pada garis l adalah A' dimana

  • A' terletak pada garis l

  • dan AA' tegak lurus garis l

Planimetri

Proyeksi ruas garis AB pada garis l adalah A'B' , dimana A' dan B' masing-masing adalah proyeksi titik A dan B pada garis l .

Planimetri

Planimetri

Planimetri

Rumus panjang proyeksi pada segitiga

Planimetri

Proyeksi AC pada AB adalah AD.    

AD = AC 2 + AB 2 - BC 2 2 AB atau x=b2+c2-a22c

Bukti : gunakan rumus Pythagoras untuk mencari h

ADC h 2 = b 2 - x 2 BDC h 2 = a 2 - c - x 2 b 2 - x 2 = a 2 - c - x 2

b 2 - x 2 = a 2 - c 2 + 2 cx - x 2

b 2 = a 2 - c 2 + 2 cx

b 2 - a 2 + c 2 = 2 cx

x = b 2 + c 2 - a 2 2 c    terbukti.


Sebagai contoh :

1.

Planimetri

Pada gambar di atas, buktikan :

AD = AC 2 + AB 2 - BC 2 2 AB

Lihat Penyelesaian

2.

Pada gambar di bawah ini, gambar dan tentukan panjang proyeksi BC pada AB ?

  1. Planimetri

  2. Planimetri

Lihat Penyelesaian

3.

Segitiga ABC adalah segitiga sama kaki dengan panjang AB = BC = 6 , dan AB = 4 . Gambar dan tentukan panjang dari

  1. Proyeksi AC pada BC

  2. Proyeksi AB pada BC

Lihat Penyelesaian

4.

Pada gambar di samping tentukan nilai x dengan

  1. Dalil proyeksi

  2. Dengan rumus Pythagoras biasa

Planimetri

Lihat Penyelesaian

5.

Pada gambar di samping tentukan nilai x dengan

  1. Dalil proyeksi

  2. Dengan rumus Pythagoras biasa

Planimetri

Lihat Penyelesaian

6.

Pada jajaran genjang di bawah ini, jika panjang proyeksi AB pada AD sama dengan panjang proyeksi AD pada AB , maka tentukan luas jajaran genjang ABCD ?

Planimetri

Lihat Penyelesaian


  1. DALIL STEWART

Pada sebuah segitiga, dari salah satu titik sudut ditarik sebuah garis dan memotong sisi didepannya, maka panjang ruas garis yang terbentuk bisa dihitung dengan menggunakan dalil Stewart.

Planimetri

Rumus dalil Stewart :

l 2 c = a 2 c 1 + b 2 c 2 - c 1 c 2 c

Keterangan : panjang sisi yang ditulis dengan warna merah yaitu b , l , dan a pada rumus semua dikuadratkan.

Bukti :

Planimetri

Pada ADC : Proyeksi DC pada DA adalah DE

DE = DA 2 + DC 2 - AC 2 2 DA

x = c 1 2 + l 2 - b 2 2 c 1 ...(1)

Pada BDC : Proyeksi BC pada BD adalah BE

BE = BD 2 + BC 2 - CD 2 2 BD

c 2 + x = c 2 2 + a 2 - l 2 2 c 2 ...(2)

Substitusikan persamaan (1) ke persamaan (2) :

c 2 + c 1 2 + l 2 - b 2 2 c 1 = c 2 2 + a 2 - l 2 2 c 2    kedua ruas dikalikan 2 c 1 c 2

2 c 1 c 2 2 + c 1 2 c 2 + l 2 c 2 - b 2 c 2 = c 1 c 2 2 + a 2 c 1 - l 2 c 1

l 2 c 1 + l 2 c 2 = c 1 c 2 2 + a 2 c 1 - 2 c 1 c 2 2 - c 1 2 c 2 + b 2 c 2

l 2 c 1 + c 2 = a 2 c 1 + b 2 c 2 - c 1 2 c 2 - c 1 c 2 2

l 2 c 1 + c 2 = a 2 c 1 + b 2 c 2 - c 1 c 2 c 1 + c 2    substitusikan c = c 1 + c 2

l 2 c = a 2 c 1 + b 2 c 2 - c 1 c 2 c terbukti


Sebagai contoh :

1.

Tentukan nilai l pada gambar di bawah ini !

  1. Planimetri

  2. Planimetri

  3. Planimetri

Lihat Penyelesaian

2.

Tentukan nilai x pada gambar di bawah ini ?

  1. Planimetri

  2. Planimetri

  3. Planimetri

Lihat Penyelesaian

3.

Tentukan nilai x pada gambar di bawah ini

Planimetri

Lihat Penyelesaian

4.

Pada jajaran genjang di bawah ini, diketahui panjang sisinya 10 dan 6 satuan. Jika panjang diagonal yang panjang adalah 6 6 , maka tentukan panjang diagonal yang pendek ?

Planimetri

Lihat Penyelesaian

5.

Planimetri

Gambar di atas adalah trapesium dengan panjang sisi berturut-turut 8 , 12 , 10 , dan 21 satuan panjang. Tentukan panjang kedua diagonalnya ?

Lihat Penyelesaian

6.

Planimetri

Pada gambar di atas, AB / / DC , Jika AB = 20 , DC = 12 , AC = 16 , dan BD = 24 , maka tentukan panjang BC ?

Lihat Penyelesaian

7.

Pada gambar di bawah ini tentukan perbandingan antara luas ABD dan luas CBD ?

Planimetri

Lihat Penyelesaian

8.

Pada gambar di bawah ini, AB adalah diameter lingkaran L 4 dan keempat lingkaran di saling bersinggungan. Jika jari-jari L 2 adalah 4 dan jari-jari L 3 adalah 8 , maka tentukan jari-jari lingkaran L 1 ?

Planimetri

Lihat Penyelesaian


  1. GARIS TINGGI

Planimetri

Karena luas segitiga : L=12a×tA maka :

t A = 2 L a , t B = 2 L b , t C = 2 L c

Rumus Heron untuk luas segitiga :

L = s s - a s - b ( s - c )

s = 1 2 a + b + c

Dengan rumus Heron :

Pada segitiga ABC dengan panjang rusuk a , b , dan c , dan kelilingnnya 2 s , maka :

  • Panjang garis tinggi dari titik A adalah t A = 2 a s s - a s - b ( s - c )

  • Panjang garis tinggi dari titik B adalah t B = 2 b s s - a s - b ( s - c )

  • Panjang garis tinggi dari titik C adalah t A = 2 c s s - a s - b ( s - c )


Sebagai contoh :

1.

Tentukan panjang garis tinggi dari titik B pada segitiga di bawah ini ?

Planimetri

Lihat Penyelesaian

2.

Tentukan panjang garis tinggi dari titik 1 pada segitiga di bawah ini ?

Planimetri

Lihat Penyelesaian

3.

Diketahui segitiga ABC dengan panjang rusuk a = 5 , b = 6 , c = 7 . Tentukan panjang garis tinggi dari titik A dengan

  1. Rumus Heron

  2. Cara biasa

Lihat Penyelesaian

4.

Tentukan panjang semua garis tinggi pada segitiga di bawah ini

  1. Planimetri

  2. Planimetri

  3. Planimetri

Lihat Penyelesaian

5.

Ketiga garis tinggi sebuah segitiga berbanding 2 : 3 : 4 , Jika Keliling segitiga tersebut adalah 234 cm 2 maka tentukan luasnya ?

Lihat Penyelesaian

6.

Gambar di bawah ini adalah sebuah trapesium dengan panjang rusuknya berturut-turut 17 , 37 , 39 , dan 81 satuan panjang. Tentukan tinggi jajaran genjang dan luasnya ?

Planimetri

Lihat Penyelesaian


  1. GARIS BERAT

Planimetri

Rumus garis berat :

w a 2 = 1 2 b 2 + 1 2 c 2 - 1 4 a 2

w b 2 = 1 2 a 2 + 1 2 c 2 - 1 4 b 2

w c 2 = 1 2 a 2 + 1 2 b 2 - 1 4 c 2

Bukti

Perhatikan gambar di samping :

Dengan dalil Stewart

w a 2 a = b 2 12a + c 2 12a - 12a 12a a

Kedua ruas dibagi a

w a 2 = 1 2 b 2 + 1 2 c 2 - 1 4 a 2 terbukti.

Planimetri


Sebagai contoh :

1.

Tentukan nilai x pada gambar di bawah ini

  1. Planimetri

  2. Planimetri

  3. Planimetri

Lihat Penyelesaian

2.

Tentukan nilai y pada gambar di bawah ini

  1. Planimetri

  2. Planimetri

Lihat Penyelesaian

3.

Pada segitiga ABC, dengan a = 8 , b = 9 , dan c = 10 . Tentukan panjang ketiga garis berat, berikut gambarnya !

Lihat Penyelesaian

4.

Pada gambar di bawah ini, jika panjang AD = 9 , dan panjang CE = 12 , maka tentukan panjang AC ?

Planimetri

Lihat Penyelesaian

5.

Pada gambar di bawah ini, CE adalah garis berat ADC , AD adalah garis berat ABC . Jika CDE sama sisi, dan panjang AC = 10 , maka tentukan keliling ABC ?

Planimetri

Lihat Penyelesaian


  1. GARIS BAGI DALAM

Planimetri

a 1 a 2 = b c , a 1 = ab b + c , a 2 = ac b + c

z a 2 = bc - a 1 a 2


Planimetri

b 1 b 2 = c a , b 1 = bc a + c , b 2 = ab a + c

z b 2 = ac - b 1 b 2


Planimetri

c 1 c 2 = b a , c 1 = bc a + b , c 2 = ac a + b

z c 2 = ab - c 1 c 2


Sebagai contoh :

1.

Pada segitiga ABC, buktikan rumus garis bagi dalamnya z a 2 = bc - a 1 a 2 !

Planimetri

Lihat Penyelesaian

2.

Tentukan nilai x pada gambar di bawah ini !

Planimetri

Lihat Penyelesaian

3.

Tentukan nilai x pada gambar di bawah ini !

Planimetri

Lihat Penyelesaian

4.

Tentukan nilai x pada gambar di bawah ini

Planimetri

Lihat Penyelesaian

5.

Segitiga ABC dengan panjang rusuk a = 5 , b = 6 , dan c = 7 , tentukan ketiga garis baginy !

Lihat Penyelesaian

6.

Diketahui segitiga ABC dengan AB = 6 , dan AC = 8 . Jika panjang garis bagi yang ditarik dari titik A adalah 6 satuan, maka tentukan panjang garis bagi yang ditarik dari titik !

Lihat Penyelesaian

7.

Gambar di bawah ini adalah persegi panjang ABCD dengan AB = 16 dan BC = 12 . Tentukan panjang dari

  1. CT

  2. TE

Planimetri

Lihat Penyelesaian

8.

Diketahui jajaran genjang ABCD dengan AB = 10 dan BC = 20 , dari titik A ditarik garis dan memotong sisi BC di titik E . Jika DAE = ∡BAE , dan AE = 12 , serta garis AE berpotongan dengan BD di T , maka tentukan panjang BT dan TD !

Lihat Penyelesaian

9.

Pada gambar di bawah, tentukan panjang

  1. AF dan FB

  2. CF

  3. AD

  4. AE dan ED

  5. CE

Planimetri

Lihat Penyelesaian


  1. GARIS BAGI LUAR

Planimetri
Planimetri

Pada gambar di atas : k a 2 = a 1 a 2 - bc

Dimana a 1 a 2 = b c , a 1 = ab c - b , dan a 2 = ac c - b


Sebagai contoh :

1.

Pada segitiga ABC, buktikan rumus garis bagi luarnya k a 2 = a 1 a 2 - bc ?

Planimetri

Lihat Penyelesaian

2.

Tentukan nilai x pada gambar di bawah ini !

Planimetri

Lihat Penyelesaian

3.

Tentukan nilai x pada gambar di bawah ini !

Planimetri

Lihat Penyelesaian

4.

Pada gambar di bawah ini, CD dan CE masing-masing garis bagi luar segitiga ABC . Jika panjang AC = 12 , BC = 6 , dan CD = 40 , maka

  1. Tentukan panjang AB

  2. Tentukan panjang DE

  3. Tentukan panjang CE

  4. Dengan menggunakan tripel Pythagoras tunjukkan CDE siku-siku.

Planimetri

Lihat Penyelesaian


  1. TEOREMA MENELAUS (dalil menelaus)

Planimetri

AD DB × BE EC × CF FA = - 1

Planimetri

CD DB × BF FE × EA AC = - 1

Karena kita pakai teorema menelaus pada geometri, maka bilangan 1 dalam pengerjaan soal bisa kita ganti dengan 1 .



Keterangan :

Pada gambar ABC di atas, perhatikan arah panah yang putus-putus, pangkal dan ujung panahnya terletak pada titik yang memuat dan tidak memuat lingkaran. Dan arah panahnya kembali ke tempat semula, misalnya dari titik A, akhirnya kembali ke titik A lagi.

Dalam penggunaan pada geometri bilangan -1 bisa kita ganti 1, karena panjang sisi selalu positif. bilangan -1 dipakai pada vector.


Sebagai contoh :

1.

Buktikan teorema Menelaus untuk garis transversalnya memotong segitiga !

Planimetri

Lihat Penyelesaian

2.

Buktikan teorema Menelaus untuk garis transversalnya ada didalam segitiga !

Planimetri

Lihat Penyelesaian

3.

Pada gambar di bawah ini, tentukan perbandingan

  1. AF FD dan BF FE

    Planimetri

  2. CF F E dan BF FD

    Planimetri

Lihat Penyelesaian

4.

Pada gambar di bawah ini tentukan perbandingan dari

  1. AB BD

  2. DE EF

Planimetri

Lihat Penyelesaian

5.

Jika luas seluruh segitiga di bawah ini adalah 88 satuan, maka tentukan luas keempat daerah yang ada pada segitiga di bawah ini !

Lihat Penyelesaian

6.

Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi berturut-turut a = 6 , b = 7 , dan c = 8 . Jika garis berat dari titik A dan garis bagi dari titik B berpotongan di titik P , maka tentukan keliling segitiga ABP !

Lihat Penyelesaian

7.

Pada gambar di bawah ini, AF dan AD adalah garis tinggi, serta AC = 3 AE . Jika luas ABC = 60 , maka tentukan selisih luas daerah yang diarsir !

Planimetri

Lihat Penyelesaian