A. PENGERTIAN DISTRIBUSI NORMAL DAN TABEL DISTRIBUSI NORMAL

Distribusi normal dikenal juga sebagai distribusi Gaussian, merupakan salah satu distribusi peluang kontinu dengan grafik berbentuk bel/genta. Distribusi normal paling banyak digunakan dalam berbagai analisis statistika. Banyak sekali kejadian ataupun fenomena baik dalam ilmu sosial maupun ilmu alam yang dapat dihitung melalui pendekatan dengan mengikuti distribusi normal. Distribusi normal banyak digunakan dalam berbagai distribusi dalam statistika, dan kebanyakan pengujian hipotesis mengasumsikan normalitas suatu data.

Variabel acak X berdistribusi normal dengan rata-rata μ dan varians σ 2 jika mempunyai fungsi kepadatan

f x = n x ; μ , σ = 1 σ 2 π e -12x-μσ2 , - < x <

Distribusi Normal

Sifat-sifat kurva normal :

  • Kurvanya mempunyai puncak yang tunggal

  • Modus terjadi pada x = μ (bisa juga dikatakan rata-rata μ tepat ditengah kurva tertinggi)

  • Kurva simetris terhadap x = μ

  • Kedua ujung kurva semakin mendekati sumbu mendatar bila nilai x bergerak menjauhi rata-rata μ (sumbu mendatar di sebut asimtot dari kurva normal)

  • Seluruh luas kurva normal di atas sumbu mendatar adalah 1 .

  • Simpangan baku σ menentukan bentuk kurva, semakin kecil σ akan semakin runcing juga kurvanya .

Distribusi Normal

Fungsi kepadatan peluangnya adalah f x = n x ; μ , σ = 1 σ 2 π e -12x-μσ2 , - < x <

Rumus fungsi kepadatan f ( x ) akan sulit diselesaikan integralnya :

Sebagai ilustrasinya , perhatikan contoh di bawah ini :

Dari hasil penelitian , kandungan garam pada air di muara sungai Kapuas didapatkan rata- ratanya adalah 215 mg/liter, dan simpangan bakunya 45 mg/liter. Jika diambil satu liter secara acak, tentukan peluang kad ar garamnya kurang dari 200 mg/liter

Jawab :

Fungsi kepadatan peluangnya adalah f x = n x ; μ , σ = 1 σ 2 π e -12x-μσ2 , - < x <

P x < 200 = - 200 1 45 2 π e -12x-215452 dx

Integral ini sulit di selesaikan

Sebenarnya yang kita cari luas daerah yang diarsir

Seperti pada gambar dibawah ini

Distribusi Normal

Untuk menyelesaikan persoalan dalam menyelesaikan integral fungsi kepadatan peluangnya , maka dapat diatasi dengan mentransformasikan variabel acak normal X menjadi variabel acak Z .

Dimana z = x - μ σ

Sehingga X~N μ , σ 2 sama artinya dengan Z~N 0 , 1

Keterangan : Z~N 0 , 1 dibaca Z terdistribusi normal dengan rata-rata 0 dan varians 1

Dan fungsi kepadatannya f z = 1 σ 2 π e -12z2 - < x <

dengan μ = 0 dan σ = 1

Nilai probabilitas Z seperti P z 1 < Z < z 2 dapat ditentukan dengan menggunakan table distribusi normal Z .

The Normal Distribution Function

If Z has a normal distribution with mean 0 and Variance 1 then, for each value of z , the table

Gives the value of ϕ z , where ϕ z = P Z z , For negative value of z use ϕ - z = 1 - ϕ z

Distribusi Normal

Distribusi Normal

Distribusi Normal

Distribusi Normal

Keterangan : table diatas hanya bisa mencari P Z < z



Sebagai contoh :

1.

Jika Z~N 0 , 1 , maka tentu kan P ( Z 0,23 )

Lihat Penyelesaian

2.

Jika Z~N 0 , 1 , maka tentukan P ( Z > 1,237 )

Lihat Penyelesaian

3.

Jika ~ N 0 , 1 , maka tentukan nilai peluang dari P ( Z < - 0,7 )

Lihat Penyelesaian

4.

Jika Z~N 0 , 1 , maka tentukan peluang dari P ( - 0,42 < Z < 1,271 ) !

Lihat Penyelesaian

5.

Jika Z~N 0 , 1 , maka tentukan peluang dari P ( - 1,2 < Z < - 0,5 )

Lihat Penyelesaian

6.

Diketahui Z~N 0 , 1 , tentukan nilai a jika P Z a = 0,67

Lihat Penyelesaian

7.

Diketahui Z~N 0 , 1 , tentukan nilai a jika P Z a = 0,2912

Lihat Penyelesaian

8.

Jika X~N 100 , 64 maka tentukan

  1. P ( X 90 )

  2. P ( 80 < X < 105 )

Lihat Penyelesaian

9.

Jika X~N 165 , 100 maka tentukan

  1. P ( X 170 )

  2. P ( 155 < X < 175 )

Lihat Penyelesaian

10.

Jika X~N 20 , 4 , maka tentukan nilai t jika P X t = 0,832

Lihat Penyelesaian

11.

Jika X~N 20 , 4 , maka tentukan nilai t jika P t < X < 22 = 0,532

Lihat Penyelesaian

12.

Jika X~N 100 , 25 , maka tentukan nilai t jika P X > t = 0,788

Lihat Penyelesaian

13.

Jika X teridstribusi normal dengan rata-rata 60 dan simpangan bakunya 12 , maka tentukan nilai t sehingga

  1. P X < t = 0,7422

  2. P 60 - t < X < 60 + t = 0,532

Lihat Penyelesaian

14.

Variabel acak X terdistribusi normal dengan mean μ dan simpangan baku σ . Jika σ 2 = 3 μ 2 , dan P X > 2 μ = 0,1016 , maka tentukan μ dan σ

Lihat Penyelesaian

15.

Jika Y~N 33 , 20 maka tentukan

  1. Nilai a sehingga P 33 - a < Y < 33 + a = 0,5

  2. Nilai b sehinggan P Y < 33 - b = 0,4

Lihat Penyelesaian

B. PENGGUNAAN DISTRIBUSI NORMAL

Seperti yang kita ketahui bahwa banyak sekali Kejadian, fenomena, karakteristik yang bisa didekati dengan distribusi normal, maka akan diberikan contoh-contoh soal yang berhubungan dengan distribusi normal.


Sebagai contoh :

1.

Diketahui nilai rata-rata hasil UN tahun 2015 adalah 73,25 dengan varians 42,25 , serta nilai UN terdistribusi secara normal . Jika dipilih siswa lulusan SMA yang ikut UAN, tentukan peluang siswa tersebut nilainya

  1. Kurang dari 80

  2. Antara 60 sampai 70

Lihat Penyelesaian

2.

Rata-rata tinggi orang dewasa Indonesia adalah 165 cm dengan standar deviasinya 6,25 cm . Jika dipilih seseorang dewasa secara acak , maka tentukan peluang tingginya

  1. Kurang dari 150 cm

  2. Lebih dari 160 cm

  3. Antara 160 cm sampai dengan 170 cm

  4. Lebih dari 175 cm

Lihat Penyelesaian

3.

Harapan hidup penduduk Indonesia terdistribusi secara normal dengan rata- ratanya adalah 65 tahun dengan simpangan bakunya 8 tahun,

  1. Tentukan peluang orang Indonesia dapat bertahan hidup antara 60 sampai 75 tahun

  2. Dari data usia kematian 3000 jiwa, maka perkirakan banyaknya penduduk yang meninggal di usia di atas 70 tahun

Lihat Penyelesaian

4.

Sebuah perusahaan memproduksi bola lampu yang mempunyai ketahanan berdistribusi normal dengan rata-rata 3000 jam dan dengan simpangan bakunya 120 jam.

  1. Berapa persen lampu yang mempunyai ketahanan kurang dari 2800 jam

  2. Berapa banyak lampu yang mempunyai ketahanan lebih dari 2940 jam, jika diproduksi sebanyak 10000 lampu

Lihat Penyelesaian

5.

Sebanyak 300 orang mengikuti ujian statistika di sebuah universitas memperoleh rata-rata 70 dan simpangan bakunya 10 . Jika distribusi nilai menyebar secara normal, maka berapa persen yang mendapat

  1. Nilai A , jika interval nilai A 85

  2. Nilai C , jika nilai C terletak pada interval 55 C 70

Lihat Penyelesaian

6.

Diketahui peluang seorang Indonesia menikah pada usia kurang dari 22 tahun adalah 0,44 . Jika usia pernikahan orang Indonesia terdistribusi normal dengan standar deviasinya adalah 5 tahun, maka tentukan

  1. Rata-rata usia pernikahan orang Indonesia

  2. peluang seseorang menikan di usia lebih dari 30 tahun

Lihat Penyelesaian

7.

Dari sebuah penelitian yang dilakukan di sebuah pusat perbelanjaan, rata-rata pengunjung membelanjakan Rp 320.000,00 dengan si mpangan bakunya adalah Rp 110.000,00 . Jika diasumsikan bahwa banyaknya uang yang dibelanjakan berdistribusi normal, maka

  1. Tentukan peluang seorang pengunjung akan membelanjakan sedikitnya Rp 400.000,00

  2. Dari 2000 pengunjung, maka berapa banyak yang akan membelanjakan antara RP 300.000 , - sampai dengan Rp 500.000 , -

Lihat Penyelesaian

8.

Dalam sebuah ujian Matematika, didapatkan rata-rata 80 dengan simpangan bakunya 8 , dan nilai ujian matematika berdistribusi normal,

  1. Jika peluang mendapatkan nilai kurang dari k adalah 25 % , maka tentukan nilai k

  2. Dari 1000 orang yang mengikuti ujian matematika, maka berapa banyak yang mendapat nilai lebih dari 9 0 ?

Lihat Penyelesaian

9.

Sebuah perusahaan minuman mineral mengemas minuman jenis gelas dalam volume 250 ml . Volume sesungguhnya minuman di dalam gelas tersebut mendekati distribusi normal dengan standar deviasi 2 ml . Untuk meyakinkan bahwa minimal 90 % gelas memuat lebih dari 250 ml , maka tentukan volume rata-rata yang harus disediakan perusahaan tersebut dalam setiap gelas!

Lihat Penyelesaian

10.

Dari hasil ujian pelajaran matematika, 15 % peserta mendapat nilai lebih dari 65 , dan 10 % peserta mendapat nilai kurang dari 35 .Jika nilai peserta dapat didekati dengan distribusi normal, maka tentukan

  1. Rata-rata dan variansnya

  2. Nilai peserta lebih dari 75

Lihat Penyelesaian

11.

bawah ini adalah data tinggi badan dari 800 SMA Negeri 1 Ambarawa.

Tinggi (cm)

Frekuensi

135 – 142

143 – 150

151 – 158

159 – 166

167 – 174

60

220

311

189

20

Jika distribusi dari tinggi badan di sekolah ini mendakati distribusi normal, maka tentukan

  1. Mean dan variansnya

  2. Peluang tinggi siswa kurang dari 150 cm

  3. Peluang tinggi badan 145 cm sampai 165 cm

Lihat Penyelesaian

12.

Diketahui nilai akhir sebuah mata kuliah berdistribusi normal dengan rata-rata 78 dan simpangan bakunya 10 . Jika 10 % mendapat nilai A , 20 % mendapat nilai B , 40 % mendapat nilai C , 20 % mendapat nilai D , dan 10 % mendapat nilai E , maka tentukan selang dari masing masing nilai akhir!

Lihat Penyelesaian

13.

Dari hasil penelitian, kandungan garam pada air di muara sungai Kapuas didapatkan rata-ratanya adalah 215 mg/liter, dan simpangan bakunya 45 mg/liter. Jika kadar garam di muara sungai Kapuas terdistribusi secara normal diambil dan satu liter secara acak air dari muara sungai Kapuas, maka

  1. Tentukan peluang kadar garamnya kurang dari 200 mg/liter

  2. Tentukan peluang kadar garamnya antara 175 mg/liter sampai 250 mg/liter

Lihat Penyelesaian

14.

Diketahui rata-rata kadar garam di pantai utara pulau Jawa adalah 28 gram perliter dengan simpangan bakunya 4,5 gram/liter dan kadar garam di pantai utara pulau Jawa berdistribusi normal. Jika seorang petani garam menampung 100 m 3 air laut, maka tentukan peluang petani itu akan mendapatkan garam

  1. Kurang dari 2850 kg garam

  2. Antara 2700 kg sampai dengan 3000 Kg

Lihat Penyelesaian

15.

Diketahui rata-rata pendapatan perkapita penduduk Indonesia adalah $ 4000 pertahun dengan simpangan bakunya $ 825 dan pendapatan perkapita penduduk Indonesia berdistribusi normal. Jika penduduk Indonesia digolongkan menjadi 5 kategori yaitu 5 % sangat miskin, 20 % miskin, 50 % sedang, 20 % kaya, dan 5 % sangat kaya , maka tentukan batas intervalnya!

Lihat Penyelesaian

C. DISTRIBUSI NORMAL SEBAGAI PENDEKATAN DISTRIBUSI BINOMIAL

Jika kita diminta menghitung peluang kurang dari 100 orang yang mempunyai penyakit mag dari 1000 orang, kita akan mengalami kesulitan dalam perhitungannya. Misalnya peluang orang yang kena penyakit mag adalah 0,2 , maka perhitungannya adalah

P X < 100 = P 0 + P 1 + + P ( 99 )

= C 0 1000 0,2 0 0,8 1000 + C 1 1000 0,2 1 0,8 999 + + C 99 1000 0,2 99 0,8 991

Akan terasa sulit menghitungnya dan tingkat ketelitian pengerjaan juga rendah.

Dengan menggunakan pendekatan distribusi normal, ada syarat yang harus dipenuhi yaitu

np > 5 dan nq > 5

Jika X~B ( n , p ) dengan np > 5 dan nq > 5 dimana q = 1 - p

Maka dapat didekati dengan distribusi normal V~N np , npq

Dengan X - 1 2 < V < X + 1 2

Keterangan :

X~B ( n , p ) dibaca X terdistribusi binomial dengan banyaknya percobaan n dan peluang berhasilnya X adalah p

V~N np , npq dibaca V terdistribusi normal dengan rata-rata np dan dengan varians npq

Jadi jika P ( X ) peluang pada distribusi binomial, dan P V peluang pada distribusi normal, maka

  • P X = 10 P 9,5 < V < 10,5

  • P X 15 P V < 15,5

  • P X < 15 = P X 14 P V < 15,5

  • P X 20 P V > 19,5

  • P X > 20 = P X 21 P V > 20,5


Sebagai contoh :

1.

Dari distribusi binomial di bawah ini, manakah yang bisa didekati dengan distribusi normal, dan jika bisa ubahlah menjadi distribusi normal

  1. X~B 20 , 4 5

  2. X~B 18 , 2 3

Lihat Penyelesaian

2.

Dari distribusi binomial di bawah ini, tentukan nilai k agar bisa didekati dengan distribusi normal.

  1. X~B k , 1 20

  2. X~B 30 , k 2

Lihat Penyelesaian

3.

Jika ~ B 40 , 3 10 , maka ubahlah peluang-peluang dari variabel X dalam variabel V , kemudian ubah dalam variabel Z

  1. P X = 12

  2. P X < 10

  3. P 5 < X 15

  4. P ( X 14 )

Lihat Penyelesaian

4.

Jika ~ B 100 , 1 8 , maka tentukan P X > 10 .

Lihat Penyelesaian

5.

Jika X~B 20 , 1 3 maka tentukan P X = 8 dengan menggunakan

  1. Perhitungan distribusi binomial

  2. Pendekatan distribusi normal

  3. Kemudian bandingkan hasilnya

Lihat Penyelesaian

6.

Jika X~B 20 , 1 2 maka tentukan P 8 X 10 dengan menggunakan

  1. Perhitungan distribusi binomial

  2. Pendekatan distribusi normal

  3. Kemudian bandingkan hasilnya

Lihat Penyelesaian

7.

Jika dari hasil survey di suatu daerah, 15 % penduduk mempunyai penyakit mag, Jika kita mengambil sampel 100 orang, maka tentukan peluang

  1. Banyaknya orang yang kena mag adalah maksimal 20 orang

  2. Banyaknya orang yang kena mag lebih dari 18 orang

Lihat Penyelesaian

8.

Sebanyak 200 koin logam dilambungkan, Jika sisi koin adalah angka ( A ) dan gambar ( G )dengan peluang yang sama, maka tentukan peluang munculnya

  1. Sedikitnya 90 buah sisi angka

  2. Banyaknya sisi angka yang muncul minimal 95 dan maksimal 115

Lihat Penyelesaian

9.

100 buah dadu ditos, tentukan peluang bahwa

  1. Banyaknya mata dadu 1 yang muncul sebanyak 20 buah

  2. Banyaknya mata dadu paling kecil 5 yang muncul minimal 25 buah.

Lihat Penyelesaian

10.

Peluang seekor bibit ikan mas akan hidup sampai dapat di panen adalah 0,7 , Jika seorang peternak memasukkan 2000 ekor ikan mas, maka tentukan peluang ia dapat memanen

  1. Sedikitnya 1450 ekor

  2. Maksimal 1375 ekor

Lihat Penyelesaian

11.

Seorang atlet tembak memperkirakan peluang setiap tembakannya mengenai sasaran adalah 40 % , Jika ia menembakkan 40 buah peluru, maka tentukan peluang

  1. Kurang dari 20 peluru mengenai sasaran

  2. Antara 16 sampai 21 peluru yang mengenai sasaran

Lihat Penyelesaian

12.

Di Swedia, dari hasi pengamatan 10 % penduduknya mempunyai gen bermata biru, jika dipilih 100 orang secara acak, maka tentukan peluang mendapatkan

  1. Minimal 12 orang yang mempunyai mata biru

  2. 5 sampai 15 orang yang bermata biru

Lihat Penyelesaian

13.

Sebuah pabrik lampu neon dari hasil pendataan produksinya, diperoleh sekitar 4 % produksinya cacat. Jika dipilih 3000 lampu secara acak, maka tentukan peluang mendapatkan maksimal 100 buah lampu yang rusak.

Lihat Penyelesaian

14.

Seorang siswa mengerjakan 100 soal matematika berbentuk pilihan ganda, Ia hanya yakin benar mengerjakan 40 buah, dan sisanya dijawab hanya dengan menebak. Banyaknya option pilihan ganda di setiap soal adalah 4 buah yaitu A, B, C, dan D. Jika jawaban benar skor tiap soal 1 , dan jawaban salah 0 maka

  1. Tentukan peluang siswa tersebut mendapat nilai minimal 60

  2. Tentukan nilai k jika peluang mendapat nilai kurang dari k adalah 0,6725

Lihat Penyelesaian

15.

Dalam kompetisi final piala dunia yang diikuti 32 tim dengan total 64 buah pertandingan terjadi 225 buah gol. Peluang gol yang dihasilkan dari titik penalty adalah 0,4 (termasuk gol yang dihasilkan kedua tim jika terjadi adu pinalty ). Tentukan

  1. Banyaknya gol rata-rata yang dihasilkan dari titik penalty, tentukan pula simpangan bakunya

  2. Tentukan peluang gol di piala dunia tersebut yang berasal dari titik penalty lebih dari 90 gol

  3. Tentukan peluang gol yang dicetak dari titik penalty antara 80 sampai 100 gol

Lihat Penyelesaian