A. PENGERTIAN DISTRIBUSI NORMAL DAN TABEL DISTRIBUSI NORMAL

Distribusi normal dikenal juga sebagai distribusi Gaussian, merupakan salah satu distribusi peluang kontinu dengan grafik berbentuk bel/genta. Distribusi normal paling banyak digunakan dalam berbagai analisis statistika. Banyak sekali kejadian ataupun fenomena baik dalam ilmu sosial maupun ilmu alam yang dapat dihitung melalui pendekatan dengan mengikuti distribusi normal. Distribusi normal banyak digunakan dalam berbagai distribusi dalam statistika, dan kebanyakan pengujian hipotesis mengasumsikan normalitas suatu data.

Variabel acak X berdistribusi normal dengan rata-rata μ dan varians σ 2 jika mempunyai fungsi kepadatan

f x = n x ; μ , σ = 1 σ 2 π e -12x-μσ2 , - < x <

Distribusi Normal

Sifat-sifat kurva normal :

  • Kurvanya mempunyai puncak yang tunggal

  • Modus terjadi pada x = μ (bisa juga dikatakan rata-rata μ tepat ditengah kurva tertinggi)

  • Kurva simetris terhadap x = μ

  • Kedua ujung kurva semakin mendekati sumbu mendatar bila nilai x bergerak menjauhi rata-rata μ (sumbu mendatar di sebut asimtot dari kurva normal)

  • Seluruh luas kurva normal di atas sumbu mendatar adalah 1 .

  • Simpangan baku σ menentukan bentuk kurva, semakin kecil σ akan semakin runcing juga kurvanya .

Distribusi Normal

Fungsi kepadatan peluangnya adalah f x = n x ; μ , σ = 1 σ 2 π e -12x-μσ2 , - < x <

Rumus fungsi kepadatan f ( x ) akan sulit diselesaikan integralnya :

Sebagai ilustrasinya , perhatikan contoh di bawah ini :

Dari hasil penelitian , kandungan garam pada air di muara sungai Kapuas didapatkan rata- ratanya adalah 215 mg/liter, dan simpangan bakunya 45 mg/liter. Jika diambil satu liter secara acak, tentukan peluang kad ar garamnya kurang dari 200 mg/liter

Jawab :

Fungsi kepadatan peluangnya adalah f x = n x ; μ , σ = 1 σ 2 π e -12x-μσ2 , - < x <

P x < 200 = - 200 1 45 2 π e -12x-215452 dx

Integral ini sulit di selesaikan

Sebenarnya yang kita cari luas daerah yang diarsir

Seperti pada gambar dibawah ini

Distribusi Normal

Untuk menyelesaikan persoalan dalam menyelesaikan integral fungsi kepadatan peluangnya , maka dapat diatasi dengan mentransformasikan variabel acak normal X menjadi variabel acak Z .

Dimana z = x - μ σ

Sehingga X~N μ , σ 2 sama artinya dengan Z~N 0 , 1

Keterangan : Z~N 0 , 1 dibaca Z terdistribusi normal dengan rata-rata 0 dan varians 1

Dan fungsi kepadatannya f z = 1 σ 2 π e -12z2 - < x <

dengan μ = 0 dan σ = 1

Nilai probabilitas Z seperti P z 1 < Z < z 2 dapat ditentukan dengan menggunakan table distribusi normal Z .

The Normal Distribution Function

If Z has a normal distribution with mean 0 and Variance 1 then, for each value of z , the table

Gives the value of ϕ z , where ϕ z = P Z z , For negative value of z use ϕ - z = 1 - ϕ z

Distribusi Normal

Distribusi Normal

Distribusi Normal

Distribusi Normal

Keterangan : table diatas hanya bisa mencari P Z < z



Sebagai contoh :

1.

Jika Z~N 0 , 1 , maka tentu kan P ( Z 0,23 )

Lihat Penyelesaian

2.

Jika Z~N 0 , 1 , maka tentukan P ( Z > 1,237 )

Lihat Penyelesaian

3.

Jika ~ N 0 , 1 , maka tentukan nilai peluang dari P ( Z < - 0,7 )

Lihat Penyelesaian

4.

Jika Z~N 0 , 1 , maka tentukan peluang dari P ( - 0,42 < Z < 1,271 ) !

Lihat Penyelesaian

5.

Jika Z~N 0 , 1 , maka tentukan peluang dari P ( - 1,2 < Z < - 0,5 )

Lihat Penyelesaian

6.

Diketahui Z~N 0 , 1 , tentukan nilai a jika P Z a = 0,67

Lihat Penyelesaian

7.

Diketahui Z~N 0 , 1 , tentukan nilai a jika P Z a = 0,2912

Lihat Penyelesaian

8.

Jika X~N 100 , 64 maka tentukan

  1. P ( X 90 )

  2. P ( 80 < X < 105 )

Lihat Penyelesaian

9.

Jika X~N 165 , 100 maka tentukan

  1. P ( X 170 )

  2. P ( 155 < X < 175 )

Lihat Penyelesaian

10.

Jika X~N 20 , 4 , maka tentukan nilai t jika P X t = 0,832

Lihat Penyelesaian

11.

Jika X~N 20 , 4 , maka tentukan nilai t jika P t < X < 22 = 0,532

Lihat Penyelesaian

12.

Jika X~N 100 , 25 , maka tentukan nilai t jika P X > t = 0,788

Lihat Penyelesaian

13.

Jika X teridstribusi normal dengan rata-rata 60 dan simpangan bakunya 12 , maka tentukan nilai t sehingga

  1. P X < t = 0,7422

  2. P 60 - t < X < 60 + t = 0,532

Lihat Penyelesaian

14.

Variabel acak X terdistribusi normal dengan mean μ dan simpangan baku σ . Jika σ 2 = 3 μ 2 , dan P X > 2 μ = 0,1016 , maka tentukan μ dan σ

Lihat Penyelesaian

15.

Jika Y~N 33 , 20 maka tentukan

  1. Nilai a sehingga P 33 - a < Y < 33 + a = 0,5

  2. Nilai b sehinggan P Y < 33 - b = 0,4

Lihat Penyelesaian