A. VARIABEL ACAK

Variabel acak atau peubah acak adalah suatu fungsi yang nilainya berupa bilangan real yang ditentukan oleh setiap unsur dalam ruang sampel. Variabel acak dinyatakan dalam huruf capital, misalnya X , Y , Z , dan nilainya dinyatakan dalam huruf kecil yang berkaitan, misalnya x , y , z .

Variabel diskrit merupakan variabel yang memuat seperangkat nilai terbatas dan biasanya dalam bentuk nilai bulat tertentu.

Contoh :

Banyaknya pengunjung perpustakaan

Banyaknya produk yang rusak

Banyaknya bola merah yang terambil

Variabel kontinu merupakan variabel yang dapat memuat seperangkat nilai yang tidak terbatas

Contoh :

Hasil pengukuran tinggi badan

Prosentase proyek yang sudah selesai

Berat dari paket-paket kemasan


B. DISTRIBUSI PROBABILITAS VARIABEL ACAK DISKRIT

Untuk variabel acak diskrit X , distribusi probabilitas didefinisikan sebagai fungsi probabi litas (fungsi distribusi peluang) , dan dinotasikan sebagai P x atau P ( X = x ) yang artinya probabilitas bahwa nilai X mengambil nilai x

Syarat yang harus dipenuhi untuk fungsi probabilitas diskrit :

(i) 0 P ( x ) 1

(ii) P x = 1

Fungsi probabilitas kumulatif adalah menyatakan jumlah dari seluruh nilai fungsi probabilitas yang lebih kecil atau sama dengan nilai yang sudah ditetapkan

F x = P ( X x ) menyatakan probabilitas ku mulatif di titik X = x



Sebagai contoh :

1.

Jika X menyatakan banyaknya mobil yang terjual setiap hari (dari pengamatan selama 100 hari ) disajikan dalam dibawah ini :

x

0

1

2

3

4

P ( X = x )

0,28

0,3

0,25

0,14

0,03

Maka untuk setiap harinya, tentukan :

a. Peluang mobil yang terjual 1 buah

b. Peluang mobil yang terjual maksimal 2 buah

Lihat Penyelesaian

2.

Diberikan distribusi peluang sebagai berikut :

x

1

2

3

4

5

6

7

P ( X = x )

a

3 a

1 3

1 6

1 12

1 24

1 24

Maka tentukan :

a. Nilai a

b . P 2 x 5

c . F ( 3 )

Lihat Penyelesaian

3.

Dua buah dadu ditos, jika X menyatakan jumlah kedua mata dadu, maka buatlah tabel distribusi peluangnya !

Lihat Penyelesaian

4.

Sebuah kantong terdapat 10 bola identik berbeda warna, yaitu 5 berwarna merah, 3 berwarna hijau , dan sisanya biru. Dari kantong tersebut diambil 3 bola secara acak, dan X menyatakan banyaknya bola merah yang terambil . Maka

a. Tentukan P ( 1 )

b. Buatlah tabel distribusi peluangnya

Lihat Penyelesaian

5.

Pada pesta ulang tahun AKSIOMAID, diadakan kejuaraan sepak bola antar klub yang diikuti oleh 32 tim dengan menggunakan sistem gugur, dan hanya akan ditentukan juara pertama dan kedua. Dari ke 32 tim akan dipilih secara acak, dan X adalah banyaknya pertandingan yang diikuti tim tersebut, maka

  1. Peluang tim yang terpilih hanya mengikuti dua pertandingan

  2. Buatlah table distribusi probabilitasnya

Lihat Penyelesaian

6.

Diberikan distribusi probabilitas

x

1

2

3

4

5

6

P ( X = x )

0,11

a

2 a

0,13

0,12

a 2

Tentukan

a. Nilai a

b . P ( 2 )

c . P ( 2 x 4 )

d . F ( 4 )

Lihat Penyelesaian

7.

Jika X menyatakan banyaknya mobil yang terjual setiap hari dari sebuah showroom mobil, dan distribusi fungsi probabilitasnya adalah sebagai berikut

x

0

1

2

3

4

5

P ( X = x )

0,5

0,36

0,1

0,02

0,01

0,01

Dalam satu hari, tentukan peluang terjualnya mobil

a. Sebanyak dua buah

b. Maksimal dua buah

c. Minimal satu buah

Lihat Penyelesaian

8.

Diberikan table distribusi peluang

x

1

2

3

4

5

6

7

8

P ( X = x )

a

2a

2a

3a

4a

a

0,01

b

Jika P x 4 = 2 P ( x 3 ) maka tentukan

a. Nilai a dan b dan tuliskan kembali table distribusi probabilitasnya

b . F 5

Lihat Penyelesaian

9.

Dari hasil survey terhadap 1000 kepala keluarga mengenai jumlah anggota keluarga intinya (Ayah, Ibu, dan anak) diberikan table sebagai berikut :

Jumlah anggota

2

3

4

5

6

7

8

9

Frekuensi

84

280

410

144

52

18

10

2

Jika dari 1000 keluarga itu dipilih sebuah keluarga secara acak, dan X menyatakan jumlah banyaknya anggota keluarga inti , maka

  1. Buatlah daftar distribusi probabilitasnya

  2. Peluang didapat keluarga dengan jumlah anggota maksimal 5 orang.

Lihat Penyelesaian

10.

Jika P x = C x 4 0,8 x 0,2 4 - x untuk = 0,1 , 2,3 , 4 , maka

a. Tentukan P ( 2 )

b. Buatlah table distribusi peluangnya

c. Tentukan F ( 3 )

d. Tentukan P ( 2 X 4 )

Lihat Penyelesaian

11.

Jika x = 6 x + 67 1000 , untuk x = 1,2 , 3 , , 10 maka

a. Tentukan P ( 8 )

b. Buatlah table distribusi peluangnya

c. Tentukan F ( 5 )

d. Tentukan P ( 5 X 7 )

Lihat Penyelesaian

12.

Dua buah dadu ditos, jika x menyatakan selisih dari kedua dadu yang muncul, maka

  1. Buatlah tabel distribusi peluangnya

  2. Dari tabel yang ada tentukan peluang munculnya selisih kedua mata dadu kurang atau sama dengan 3

Lihat Penyelesaian

13.

Empat buah uang logam yang mempunyai sisi angka (A) dan gambar (G) ditos, dan X menyatakan banyaknya sisi angka (A) yang keluar, maka buatlah tabel distribusi peluangnya ?

Lihat Penyelesaian

14.

Dalam sebuah kotak terdapat 4 bola merah, 3 bolah kuning , dan 2 bola biru. Jika dari kotak tersebut diambil 3 bola sekaligus dan X menyatakan banyaknya bola merah yang terambil, maka buatlah tabel distribusi peluangnya!

Lihat Penyelesaian

15.

Dalam sebuah permainan pengambilan 2 buah bola dalam sebuah kantong yang berisi 5 bola merah, 2 bola kuning , dan 1 bola biru dengan ketentuan setiap bola merah yang diambil mendapat had iah Rp 2000 ,- , setiap bola kuning yang diambil mendapat hadiah Rp 5000,- setiap bola biru yang diambil mendapat hadiah Rp 10000,-.

Jika X menyatakan besarnya hadiah yang didapat, maka buatlah distribusi peluangnya!

Lihat Penyelesaian

16.

Diketahui P x = a x 2 untuk = 1 , 2 , , 5 . Tentukan nilai a agar P ( x i ) merupakan distribusi peluang , kemudian tentukan P ( x 4 )

Lihat Penyelesaian

17.

Sebuah permainan pelemparan sebuah dadu dengan ketentuan sebagai berikut :

  1. Jika mata dadu yang muncul genap, maka nilai yang didapat dua kali mata dadu yang muncul

  2. Jika mata dadu yang muncul ganjil, maka hanya diberi kesempatan sekali lagi melempar dan nilai yang didapat adalah jumlah dua mata dadu yang muncul.

Jika X adalah nilai yang didapat maka tentukan

  1. Peluang mendapat nilai 6

  2. Peluang mendapat nilai 8

  3. Distribusi frekuensinya

Lihat Penyelesaian

C. DISTRIBUSI PROBABILITAS VARIABEL ACAK KONTINU

Dalam distribusi variabel acak diskrit, nilai peluang di salah satu variabel X atau P ( X = x ) mempunyai nilai tertentu, tetapi dalam distribusi variabel acak kontinu P ( X = x ) 0 , sebagai contoh peluang seorang siswa mempunyai tinggi 160 cm bisa dibilang 0 , karena kemungkinan tidak tidak yang tingginya 160,000 cm. Jadi dalam distribusi variabel kontinu peluangnya ditulis dalam bentuk interval seperti P 1 x 2 = P 1 < x 2 = P 1 x < 2 = P ( 1 < x < 2 )

Jadi penggunaan lambang keditaksamaan dalam peluang variabel acak kontinu ada sama dengannya atau tidak dianggap sama saja:

  • P X < 2 = P ( X 2 )

  • P 3 < x < 5 = P 3 x < 5 = P 3 < x 5 = P 3 x 5

  • P X = a 0 untuk a di ruang sampelnya (khusus untuk peubah acak kontinu)

Distribusi variabel acak kontinu sering disebut sebagai fungsi kepadatan peluang (density function), bukan fungsi peluang. Nilai f ( x ) bisa lebih besar dari 1.

Jadi f ( x ) bukan peluang.

Syarat yang harus dipenuhi adalah

( i ) f ( x ) 0

(ii) - f ( x ) dx = 1

Integral seluruh fungsi kepadatan probabilitas f x = 1

(iii) P a < x < b = a b f ( x ) dx

Fungsi probabilitas kumulatif variabel acak kontinu

F x = p X x = - x f ( x ) dx

Nilai x dalam rumus ini harus kontinu dalam intervalnya



Sebagai contoh :

1.

Distribusi peluang variabel acak kontinu disajikan dalam bentuk gambar di bawah ini. Tentukan

  1. Fungsi kepadatan peluangnya

  2. P 1 2 < x < 3 2

  3. P ( 1 )

  4. F 1

Distribusi Binomial dan Variabel Acak

Lihat Penyelesaian

2.

Diketahui f x = a x 2 0 untuk 1 < x < 4 untuk x lainnya , maka

  1. Tentukan nilai a agar f ( x ) merupakan fkp ( fungsi kepadatan peluang)

  2. Untuk nilai a yang didapat, tentukan P 2 < x < 3

Lihat Penyelesaian

3.

Diketahui fungsi kepadatan peluang f x = a x 3 - 1 12 untuk 2 < x < 3 , dan f x = 0 untuk x yang lainnya.

  1. Tentukan nilai a dan tuliskan kembali fkp nya

  2. Tentukan P ( x > 5 2 )

Lihat Penyelesaian

4.

Diberikan fungsi kepadatan peluang yang disajikan dalam bentuk gambar di bawah ini, tuliskan fkpnya dalam bentuk fungsi f ( x )

  1. Distribusi Binomial dan Variabel Acak

  2. Distribusi Binomial dan Variabel Acak

Lihat Penyelesaian

5.

Diberikan fungsi kepadatan peluang (fkp) dalam bentuk gambar yang diarsir di bawah ini.

  1. Tulislah dalam bentuk fungsi

  2. Tuliskan dalam bentuk peluang dan hitung nilainya untuk luas daerah pada gambar kedua

Distribusi Binomial dan Variabel Acak

Distribusi Binomial dan Variabel Acak

Lihat Penyelesaian

6.

Diberikan fungsi kepadatan peluang (fkp) dalam bentuk gambar yang diarsir di bawah ini.

  1. Tulislah dalam bentuk fungsi

  2. Tuliskan dalam bentuk peluang dan hitung nilainya untuk luas daerah pada gambar kedua

Distribusi Binomial dan Variabel Acak

Distribusi Binomial dan Variabel Acak

Lihat Penyelesaian

7.

Variabel X dengan fungsi kepadatan peluang

f x = x 0 untuk 0 < x < 2 untuk x yang lainnya maka carilah

  1. P ( x < 1 )

  2. P 1 < x < 3 2

  3. F ( x )

  4. f 3 2

Lihat Penyelesaian

8.

Misalkan φ = x 0 < x < 1 adalah ruang dari peubah acak X . Jika f x = a x 2 untuk setiap nilai x di φ . Tentukan nilai a sehingga f ( x ) merupakan fungsi kepadatan peluang, kemudian tentukan F ( 0,5 ) !

Lihat Penyelesaian

9.

Jika X adalah nilai setiap orang, dengan 0 < x < 10 , dengan fungsi kepadatan peluangnya adalah

f x = 3 500 10 x - x 2 0 untuk 0 < x < 0 untuk x lainnya

Jika diambil seorang secara acak, maka tentukan

  1. Peluang nilai orang tersebut 5

  2. Peluang nilai orang tersebut kurang dari 5

  3. Peluang nilai orang tersebut lebih dari 5

Lihat Penyelesaian

10.

Variabel X dengan fungsi kepadatan peluang

f x = sin x 0 untuk 0 < x < π 2 untuk x yang lainnya maka carilah

  1. P ( x < π 4 )

  2. P π 6 < x < π 3

  3. F ( x )

Lihat Penyelesaian

11.

Variabel X mempunyai kepadatan peluang f ( x ) sebagai berikut :

f x = e - x 0 untuk x > 0 untuk x 0 maka tentukan

  1. F ( 5 )

  2. P ( 2 < x < 5 )

Lihat Penyelesaian

12.

Variabel X mempunyai kepadatan peluang f ( x ) sebagai berikut :

f x = 2 e - 2 x 0 untuk x > 0 untuk x 0 maka tentukan

  1. f ( 0 ) dan f ( 1 )

  2. F ( 1 )

  3. P ( 2 < x < 4 )

Lihat Penyelesaian

13.

Variabel X dengan fungsi kepadatan peluang

f x = 1 n - m 0 untuk m < x < n untuk x yang lainnya maka carilah F ( X )

Lihat Penyelesaian

14.

Diketahui fungsi kepadatan peluang f x = 1 8 x 0 untuk 0 x 4 untuk x lainnya

Tentukan F ( x )

Lihat Penyelesaian

D. EKSPEKTASI DAN VARIANS DARI VARIABEL ACAK

Ekspektasi / nilai harapan / rata-rata ( μ ) dari variabel acak diskrit adalah rata-rata tertimbang terhadap seluruh kemungkinan hasil, di mana penimbangannya nilai probabilitas yang dihubungkan dengan setiap nilai .

Varian σ 2 dari variabel acak diskrit adalah rata-rata tertimbang dari kuadrat selisih antara setiap kemungkinan hasil dan rata-rata di mana penimbangnya adalah probabilitas dari masing-masing hasil tersebut.

σ 2 = E X - μ 2     σ 2 = varians/ragam     σ = standar deviasi /simpangan baku

 

Variabel acak diskrit

Variabel acak kontinu

Rata-rata/Ekspektasi

/Harapan μ

Varian/Ragam σ2

μ=xiPxi

= x 1 P x 1 + + x 1 P x 1

σ 2 = x i - μ 2 P ( x i ) atau

σ 2 = x i 2 P ( x i ) - μ 2

x i adalah nilai ke i dari variabel acak X

P ( x i ) adalah probabilitas terjadinya x i

μ = - xf ( x ) dx

σ 2 = - x - μ 2 f ( x ) dx

f ( x ) adalah fungsi dari kepadatan probabilitas /fkp/fungsi kepadatan peluang



Sebagai contoh :

1.

Misalkan X adalah banyaknya pesanan barang dalam satuan yang masuk dalam satu bulan disajikan dalam table di bawah ini

x

0

1

2

3

P ( X = x )

0,125

0,375

0,375

0,125

Tentukan rata-rata banyaknya pesanan dalam satu bulan !

Lihat Penyelesaian

2.

Seorang agen mobil berdasarkan pengalamannya dapat menjual mobil setiap minggunya sebanyak X dengan probabilitas sebesar P ( x ) sebagi berikut :

x

1

2

3

4

5

P ( X = x )

0,3

0,4

0,15

0,1

0,05

Tentukan :

  1. Harapan terjualnya mobil dalam setiap minggu

  2. Standar deviasinya

Lihat Penyelesaian

3.

Diketahui fungsi kepadatan peluang f x = 1 2 - 1 8 x 0 untuk 0 < x < 4 untuk x lainnya , tentukan

  1. Rata-ratanya

  2. Variansnya

Lihat Penyelesaian

4.

Seorang pemburu babi hutan berdasarkan pengalamannya setiap kali berburu dapat memperoleh X ekor, dengan distribusi peluangnya adalah sebagai berikut :

x

0

1

2

3

4

5

P ( X = x )

0,3

0,44

0,21

0,02

0,02

0,01

Maka tentukan banyaknya babi hutan yang diharapkan setiap kali ia berburu, tentukan pula variansnya!

Lihat Penyelesaian

5.

Dua buah dadu bias dengan peluang setiap dadu muncul angka genap dua kali peluang muncul angka ganjil ditos. Jika X menyatakan jumlah kedua mata dadu yang muncul, maka

  1. Distribusi probabilitasnya

  2. Harapan nilai yang didapatkan

  3. Standar deviasi dari nilai yang diperoleh

Lihat Penyelesaian

6.

Sebuah permainan mengambil 3 bola dari sebuah kantong yang berisi 3 bola merah, 3 bola coklat , 3 bola biru, 3 bola hijau, 3 bola hitam , dan 3 bola kuning (total 18 bola). Ketentuan dalam permainan, jika mendapat 1 bola merah akan di beri hadiah Rp 10.000 , jika didapat 2 bola merah akan di beri hadiah Rp. 50.000 , jika didapat 3 bola merah akan mendapat hadiah Rp. 100.000.000 , jika tidak ada bola merah yang terambil maka tidak mendapat hadiah. Maka tentukan biaya pendaftaran yang pantas (ekspektasi) untuk mengikuti permainan ini!

Lihat Penyelesaian

7.

Dalam sebuah pertandingan sepakbola antara tim Barcelona dan tim Galatasaray di liga champion, peluang gol yang didapat oleh masing-masing tim disajikan dalam tabel distribusi peluang sebagai berikut :

X adalah banyaknya gol yang didapat masing-masing tim

x

0

1

2

3

4

5

6

Barcelona

P ( X = x )

0,1

0,2

0,2

0,3

0,1

0,07

0,03

Galatasaray

P ( X = x )

0,41

0,45

0,1

00,02

0,01

0,01

0,01

Tentukan harapan banyaknya gol masing-masing tim yang akan didapat dari pertandingan tersebut, dan tentukan selisih harapannya!

Lihat Penyelesaian

8.

Diketahui fungsi kepadatan peluang f x = a x 4 0 untuk 1 < x < 4 untuk x lainnya , tentukan

  1. Nilai a agar f ( x ) memenuhi syarat fungsi kepadatan peluang

  2. Rata-ratanya

  3. Variansnya

Lihat Penyelesaian

E. DISTRIBUSI BINOMIAL

Jika kita mengetos sebuah dadu sebanyak 3 kali, dan mengharapkan dua kali muncul mata dadu 6 adalah sebagai berikut :

Jika p adalah peluang berhasil muncul mata 6

q adalah peluang gagal munculnya mata 6

Maka p = 1 6 dan q = 5 6

Dan kemungkinan munculnya pada keempat pelemparan adalah 66 , 6 6 , , atau 66

Dimana adalah mata dadu selain 6

Ada 3 kemungkinan dari munculnya dua mata 6 , dan tiga kemungkinan dapat ditulis 3 ! 1 ! × 3 ! = C 1 3

Sehingga peluangnya adalah :

P dua m ata 6 = C 1 3 p 2 q

= C 1 3 1 6 2 5 6

= 3 × 1 36 × 5 6

= 15 216

Secara umum distribusi binomial membahas peluang dari kejadian yang hanya mempunyai peluang sukses p dan peluang gagal q dan dirumuskan :

P x = C x n × p x × q n - x

Dengan rat-rata (ekspektasi/nilai harapan) μ = np

Dan varians σ 2 = npq

P ( x ) peluang mendapatkan X sukses dalam n percobaan

p peluang sukses, q peluang gagal, n banyak percobaan

Penulisan X~B n , p

Dibaca : X terdistribusi binomial dengan banyaknya kejadian n dan peluang berhasilnya p



Sebagai contoh :

1.

Jika X~B 8 , 1 2 , maka tentukan P X = 3 ...

Lihat Penyelesaian

2.

Peluang Ronaldo mencetak gol lewat tendangan penalty adalah 0,8 , Tentukan peluang Ronaldo tepat mencetak 4 gol dari 5 kali penalty!

Lihat Penyelesaian

3.

Sebuah kantong terdapat 4 bola merah, 6 bola hijau, dan 2 bola biru Dari kantong tersebut diambil sebuah bola berturut-turut 4 kali dan setiap pengambilan bola dikembalikan lagi. Tentukan

  1. a. Peluang terambilnya 2 merah dari 4 kali pengambilan

  2. Maksimal 1 bola hijau dari 4 kali pengambilan.

Lihat Penyelesaian

4.

Sebuah kantong terdapat 4 bola merah, 5 bola biru, dan 1 bola hijau Dari kantong tersebut diambil sebuah bola berturut-turut 3 kali dan setiap pen gambilan bola dikembalikan lagi. Jika X menyatakan banyaknya bola biru yang terambil, maka tentukan

  1. Distribusi probabilitasnya

  2. Rata-rata dan variansnya

Lihat Penyelesaian

5.

Jika X~B 4 , 3 4 , maka tentukan

  1. P ( X = 2 )

  2. F ( 2 )

Lihat Penyelesaian

6.

Peluang setiap bibit ikan lele akan mati sebelum dipanen adalah 0,7 . Jika Aksiomaid memelihara 100 ekor lele, dan X adalah banyaknya lele yang bisa dipanen dari 100 buah bibit, maka

  1. Tuliskan persoalan ini dalam bentuk X~B n , p

  2. Tentukan peluang Aksiomaid dapat memanen tepat 90 ekor lele

Lihat Penyelesaian

7.

Pada mata kuliah tertentu peluang seorang dosen datang pada setiap pertemuannya adalah 0,9 . Dari 16 kali tatap muka, maka tentukan peluang dosen tersebut minimal tidak masuk dua kali!

Lihat Penyelesaian

8.

Sepuluh buah uang logam yang sisinya gambar dan angka ditos bersama, tentukan peluang munculnya

  1. Tepat 6 sisi angka

  2. Paling banyak 3 sisi angka

Lihat Penyelesaian

9.

Empat buah dadu ditos, maka tentukan

  1. Peluang munculnya minimal 2 buah mata dadu 4

  2. Peluang munculnya maksimal sebuah dadu bermata 6

Lihat Penyelesaian

10.

Sebuah dadu bias dengan peluang munculnya setiap mata dadunya proposional dengan nilai mata dadunya. Jika dadu itu dilempar 3 kali, maka tentukan peluang munculnya

  1. Tepat sebuah mata dadu 1

  2. Paling sedikit muncul satu kali mata dadu 6

Lihat Penyelesaian

11.

Pada pesta ultahnya Marvell mengundang 20 orang temannya untuk merayakan ultahnya, jika peluang setiap orang yang diundang akan menghadiri pestanya adalah 0,9 maka tentukan peluang temannya yang diundang datang ke pestanya

  1. Paling banyak 18 orang

  2. Paling sedikit 18 orang

Lihat Penyelesaian

12.

Sebuah kantong berisi 4 bola merah dan 1 bola biru , dari kantong tersebut di ambil sebuah bola berturut-turut lima kali dengan pengembalian.

  1. Tentukan peluang terambilnya 3 kali bola merah

  2. Jika X menyatakan banyaknya bola merah yang terambil dari lima pengambilan tersebut, buatlah distribusi peluangnya

  3. Tentuka rata-rata dan varians banyaknya bola merah yang terambil dari lima kali pengambilan tersebut

Lihat Penyelesaian

13.

Seorang pekerja asuransi setiap harinya menawarkan kepada lima orang calon nasabah , dan peluang setiap orang yang ia tawari akan ikut asuransinya adalah 0,3 . Jika X menyatakan banyaknya nasabah yang setiap hari ia dapatkan, maka

  1. Bbuatlah tabel distribusi peluang dari X

  2. Tentukan rata-rata dan varians dari X

Lihat Penyelesaian

14.

Peluang terjadinya hujan selama 7 hari kedepan menurut laporan badan BMKG adalah 0,4 setiap harinya. Jika X menyatakan banyaknya hujan yang terjadi selama satu minggu, maka tentukan

  1. Distribusi peluangnya

  2. Harapan banyaknya terjadi hujan selama 1 minggu

  3. Simpangan bakunya

Lihat Penyelesaian

15.

Sebuah perusahaan memproduksi permen dua rasa yaitu permen rasa manis dan permen rasa asin yang bentuknya identik. Jika jumlah produksi permen setiap harinya sangat banyak (berlimpah), dan dengan perbandingan jumlah permen rasa manis dan asin adalah 3 ÷ 2 . Perusahaan itu mengemas permen-permen tersebut secara acak dalam kantong, setiap kantong berisi 5 permen, dan kemudian dimasukkan dalam kardus-kardus kecil, setiap kardus berisi 12 kantong. Sebuah kantong permen dinamakan kantong manis jika dalam kantong tersebut memuat lebih banyak permen manis, dan kantong asin jika berlaku sebaliknya.

  1. Jika diambil sebuah kantong secara acak, tentukan peluang mendapatkan kantong manis

  2. Jika dipilih sebuah kardus secara acak, tentukan peluang mendapat kardus berisi 8 kantong manis

Lihat Penyelesaian

16.

Peluang tim Juventus memenangkan pertandingan jika main dikandang adalah 60 % , dan peluang Juventus menang di setiap pertandingan adalah 50 % . Tentukan peluang Juventus memenangkan sedikitnya 2 pertandingan dari 4 pertandingan jika

  1. Main di kandang

  2. Main tandang (kandang tim lain)

Lihat Penyelesaian

F. DISTRIBUSI MULTINOMIAL

Jika pada distribusi binomial hasil sebuah percobaan hanya dikategorikan 2 macam yaitu sukses dan gagal, maka distribusi multinomial akan membahas sebuah percobaan dikategorikan menjadi lebih dari 2 macam.

Peluang pada distribusi multinomial adalah sebagai berikut

P x 1 , x 2 , , x k = n ! x 1 ! × x 2 ! × × x k ! × p 1 x 1 p 2 x 2 p k x k

Nilai dari x i = 0 , 1 , 2 ,

x i adalah jumlah kejadian B i (berhasil ke i )

P i adalah kejadian berhasilnya B i



Sebagai contoh :

1.

Proses pembuatan Onde-onde yang melibatkan banyak pekerja dan proses tersebut berulang-ulang. Pada pemeriksaan terakhir, didapat 85 % produksinya bagus, 10 % kurang bagus tapi masih layak jual, dan sisanya tidak bagus (tidak layak jual). Jika diambil secara acak 20 Onde-onde, tentukan peluang mendapat onde-onde bagus sebanyak 18 buah dan onde onde kurang bagus 2 buah.

Lihat Penyelesaian

2.

Dalam sebuah kantong terdapat 3 bola merah, 4 bola kuning, dan 5 bola biru. Dari kantong tersebut diambil sebuah bola berturut-turut 5 kali dan setiap pengambilan bola dikembalikan. Tentukan peluang terambilnya

  1. 3 bola merah, 1 bola kuning, dan 1 bola biru

  2. 2 bola kuning dan 3 bola biru

Lihat Penyelesaian

3.

Empat buah dadu ditos, tentukan peluang munculnya

  1. Tepat sebuah mata 6 dan sebuah mata 5

  2. Sebuah dadu bermata 4 dan tiga buah dadu bermata bilangan prima

Lihat Penyelesaian

4.

Lima buah dadu ditos, tentukan peluang tepat munculnya

  1. Dua dadu bermata 1 dan sebuah dadu bermata 3

  2. Dua dadu bermata genap, satu dadu bermata 5 , dan satu dadu bermata 3

Lihat Penyelesaian

5.

Sebuah kantong berisi 3 bola merah, 2 kuning ,dan 1 biru. Jika dari kotak tersebut di ambil sebuah bola sebanyak 7 kali dengan pengembalian, maka tentukan peluang terambilnya

  1. 3 bola merah, 3 bola kuning , dan 1 biru

  2. 2 merah, 1 bola kuning , dan 4 bola biru

Lihat Penyelesaian

6.

Dari hasil pendataan terhadap 1000 orang remaja yang belum menikah, diperoleh informasi bahwa 400 orang masih SMA, 300 orang masih kuliah, 200 orang sudah bekerja, dan sisanya pengangguran yang sudah putus sekolah . Dari ke 1000 orang tersebut Pak Bupati setiap hari memilih secara acak untuk ditraktir makan siang selama 5 hari dan yang sudah terpilih boleh dipilih lagi. Tentukan peluang selama lima hari Pak Bupati mentraktir makan siang

  1. Pengangguran selama 4 hari

  2. Anak SMA 2 hari, anak kuliah 1 hari, anak yang sudah bekerja selama 1 hari, dan pengangguran selama 1 hari.

  3. Anak SMA selama 2 hari, anak kuliah selama 2 hari.

Lihat Penyelesaian

7.

Dalam olah raga menembak, setiap tembakan akan memperoleh skor 1 , 2 , 3 , 4 , dan 5 . Seorang atlet menembak mempunyai peluang mendapatkan nilai X yang disajikan dalam tabel

x

1

2

3

4

5

P ( X = x )

0,01

0,04

0,1

0,25

0,6

Jika atlet itu diberi kesempatan menembak tiga kali, maka tentukan peluang atlet itu memperoleh nilai 13

Lihat Penyelesaian

8.

Seorang penarik bajaj berpengalaman, dari data analisa setiap hari tentang penumpang pertamanya adalah sebagai berikut :

Peluang penumpang pertamanya anak-anak adalah 5 %

Peluang penumpang pertamanya remaja adalah 15 %

Peluang penumpang pertamanya dewasa adalah 45 %

Peluang penumpang pertamanya orang tua adalah 35 %

Tentukan peluang untuk 6 hari kedepan penumpang pertamanya adalah

  1. Anak-anak dan remaja masing-masing satu hari, dewasa dan orang tua masing-masing dua hari

  2. Tiga hari dewasa, dan tiga hari orang tua

Lihat Penyelesaian