D. EKSPEKTASI DAN VARIANS DARI VARIABEL ACAK

Ekspektasi / nilai harapan / rata-rata ( μ ) dari variabel acak diskrit adalah rata-rata tertimbang terhadap seluruh kemungkinan hasil, di mana penimbangannya nilai probabilitas yang dihubungkan dengan setiap nilai .

Varian σ 2 dari variabel acak diskrit adalah rata-rata tertimbang dari kuadrat selisih antara setiap kemungkinan hasil dan rata-rata di mana penimbangnya adalah probabilitas dari masing-masing hasil tersebut.

σ 2 = E X - μ 2     σ 2 = varians/ragam     σ = standar deviasi /simpangan baku

 

Variabel acak diskrit

Variabel acak kontinu

Rata-rata/Ekspektasi

/Harapan μ

Varian/Ragam σ2

μ=xiPxi

= x 1 P x 1 + + x 1 P x 1

σ 2 = x i - μ 2 P ( x i ) atau

σ 2 = x i 2 P ( x i ) - μ 2

x i adalah nilai ke i dari variabel acak X

P ( x i ) adalah probabilitas terjadinya x i

μ = - xf ( x ) dx

σ 2 = - x - μ 2 f ( x ) dx

f ( x ) adalah fungsi dari kepadatan probabilitas /fkp/fungsi kepadatan peluang



Sebagai contoh :

1.

Misalkan X adalah banyaknya pesanan barang dalam satuan yang masuk dalam satu bulan disajikan dalam table di bawah ini

x

0

1

2

3

P ( X = x )

0,125

0,375

0,375

0,125

Tentukan rata-rata banyaknya pesanan dalam satu bulan !

Lihat Penyelesaian

2.

Seorang agen mobil berdasarkan pengalamannya dapat menjual mobil setiap minggunya sebanyak X dengan probabilitas sebesar P ( x ) sebagi berikut :

x

1

2

3

4

5

P ( X = x )

0,3

0,4

0,15

0,1

0,05

Tentukan :

  1. Harapan terjualnya mobil dalam setiap minggu

  2. Standar deviasinya

Lihat Penyelesaian

3.

Diketahui fungsi kepadatan peluang f x = 1 2 - 1 8 x 0 untuk 0 < x < 4 untuk x lainnya , tentukan

  1. Rata-ratanya

  2. Variansnya

Lihat Penyelesaian

4.

Seorang pemburu babi hutan berdasarkan pengalamannya setiap kali berburu dapat memperoleh X ekor, dengan distribusi peluangnya adalah sebagai berikut :

x

0

1

2

3

4

5

P ( X = x )

0,3

0,44

0,21

0,02

0,02

0,01

Maka tentukan banyaknya babi hutan yang diharapkan setiap kali ia berburu, tentukan pula variansnya!

Lihat Penyelesaian

5.

Dua buah dadu bias dengan peluang setiap dadu muncul angka genap dua kali peluang muncul angka ganjil ditos. Jika X menyatakan jumlah kedua mata dadu yang muncul, maka

  1. Distribusi probabilitasnya

  2. Harapan nilai yang didapatkan

  3. Standar deviasi dari nilai yang diperoleh

Lihat Penyelesaian

6.

Sebuah permainan mengambil 3 bola dari sebuah kantong yang berisi 3 bola merah, 3 bola coklat , 3 bola biru, 3 bola hijau, 3 bola hitam , dan 3 bola kuning (total 18 bola). Ketentuan dalam permainan, jika mendapat 1 bola merah akan di beri hadiah Rp 10.000 , jika didapat 2 bola merah akan di beri hadiah Rp. 50.000 , jika didapat 3 bola merah akan mendapat hadiah Rp. 100.000.000 , jika tidak ada bola merah yang terambil maka tidak mendapat hadiah. Maka tentukan biaya pendaftaran yang pantas (ekspektasi) untuk mengikuti permainan ini!

Lihat Penyelesaian

7.

Dalam sebuah pertandingan sepakbola antara tim Barcelona dan tim Galatasaray di liga champion, peluang gol yang didapat oleh masing-masing tim disajikan dalam tabel distribusi peluang sebagai berikut :

X adalah banyaknya gol yang didapat masing-masing tim

x

0

1

2

3

4

5

6

Barcelona

P ( X = x )

0,1

0,2

0,2

0,3

0,1

0,07

0,03

Galatasaray

P ( X = x )

0,41

0,45

0,1

00,02

0,01

0,01

0,01

Tentukan harapan banyaknya gol masing-masing tim yang akan didapat dari pertandingan tersebut, dan tentukan selisih harapannya!

Lihat Penyelesaian

8.

Diketahui fungsi kepadatan peluang f x = a x 4 0 untuk 1 < x < 4 untuk x lainnya , tentukan

  1. Nilai a agar f ( x ) memenuhi syarat fungsi kepadatan peluang

  2. Rata-ratanya

  3. Variansnya

Lihat Penyelesaian