1. LUAS DAERAH

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva f ( x ) dan berada di atas sumbu X , mulai dari x 1 dan x 2 adalah sebagai berikut

Aplikasi Integral

L = x 1 x 2 f ( x ) dx

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva f ( y ) dan berada di sebelah kanan sumbu Y , mulai dari y 1 dan y 2 adalah sebagai berikut

Aplikasi Integral

L = y 1 y 2 f ( y ) dy

Luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva adalah sebagai berikut :

Aplikasi Integral

L = x 1 x 2 f a ( x ) - f b ( x ) dy

Aplikasi Integral

L = y 1 y 2 f r ( y ) - f l ( y ) dy



Sebagai contoh :

1.

Pada gambar di bawah ini, carilah luas daerah yang diarsir dengan menggunakan integral

a . dx

b . dy

Aplikasi Integral

Lihat Penyelesaian

2.

Tentukan Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dengan menggunakan integral

a . dx

b . dy

Aplikasi Integral

Lihat Penyelesaian

3.

Daerah D adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y = cos x , sumbu X, garis x = 0 , dan garis x = π 2 , t entukan

a. Luas daerah D memakai dx  

b. Luas daerah D memakai dy

Lihat Penyelesaian

4.

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x , garis y = x - 6 , dan sumbu X

Lihat Penyelesaian

5.

Buktikan bahwa luas lingkaran yang berjari-jari r adalah π r 2 ?

Lihat Penyelesaian

6.

Tentukan luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini

a.Aplikasi Integral
b.Aplikasi Integral

c.Aplikasi Integral
d.Aplikasi Integral

e.Aplikasi Integral
f.Aplikasi Integral

Lihat Penyelesaian

7.

Tentukan luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini

Aplikasi Integral

Lihat Penyelesaian

8.

Tentukan luas daerah yang diarsir pada gambar dibawah ini

Aplikasi Integral

Lihat Penyelesaian

9.

Tentukan luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini

Aplikasi Integral

Lihat Penyelesaian

10.

Tentukan luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini

Aplikasi Integral

Lihat Penyelesaian

11.

Tentukan luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini

a. Aplikasi Integral
b. Aplikasi Integral

Lihat Penyelesaian

12.

Tentukan luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini

a.Aplikasi Integral
b.Aplikasi Integral

Lihat Penyelesaian

13.

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2 x - x 2 , sumbu X , garis x = 0 sampai dengan garis x = 4

Lihat Penyelesaian

14.

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh

a . kurva y = x 2 - 4 x dan sumbu X , mulai dari x = 0 sampai x = 6 ?

b . kurva y = x 2 - 2 x , sumbu X , garis x = 0 dan garis x = 4 ?


Lihat Penyelesaian

15.

Tentukan Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x 2 , garis x = 4 dan y = 4 ?

Lihat Penyelesaian

16.

Garis h adalah garis singgung pada kurva y = 9 - x 2 di titik yang berabsis 1 , tentukan luas daerah yang dibatasi oleh garis h , sumbu X dan kurva y = 9 - x 2 ?

Lihat Penyelesaian

17.

Pada gambar di bawah ini, garis h adalah garis singgung pada kurva y = a x 2 + bx + c melalui titik 5 , 152 . Tentukan luas daerah yang di arsir ?

Aplikasi Integral

Lihat Penyelesaian

18.

Daerah yang dibatasi oleh kurva y = 16 - x 2 dan sumbu X terbagi dua oleh garis y = 1 2 x + 2 maka tentukan perbandingan luasnya ?

Lihat Penyelesaian

19.

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 8 x x - 1 ( x - 2 ) dan sumbu X ?

Lihat Penyelesaian

20.

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4 x - x 3 + 2 dan garis y = 2 ?

Lihat Penyelesaian

21.

Daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2 x 2 - 8 x + 6 dan garis y = 6 , terbagi 2 oleh sumbu X , tentukan perbandingan kedua luasnya.

Lihat Penyelesaian

22.

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y 2 = x + 1 dan garis y = x - 1 dan yang terletak di kuadran pertama ?

Lihat Penyelesaian

23.

Garis h adalah garis singgung pada parabola y = x 2 + 4 x di titik berabsis - 1 . Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x 2 + 4 x , garis h, dan sumbu X ?

Lihat Penyelesaian

24.

Garis l adalah garis singgung pada kurva y = x 3 di titik yang berabsis 1 , tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x 3 dan garis h ?

Lihat Penyelesaian

25.

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh y = 2 x 2 - 8 dan kurva y = 8 - 2 x 2 ?

Lihat Penyelesaian

26.

Tentukan perbandingan luas kedua daerah yang diarsir di bawah ini ( L 1 : L 2 ) ?

Aplikasi Integral

Lihat Penyelesaian

27.

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = cos 2 x dan y = sin x mulai dari x = 0 sampai dengan x = 2 π ?

Lihat Penyelesaian

  1. RUMUS LUAS DAERAH

Beberapa cara untuk mencari luas daerah tanpa menggunakan integral :

1. Luas daerah yang hanya dibatasi oleh dua kurva dan hasil substitusinya adalah persamaan kuadrat x 2 + bx + c = 0 , maka luasnya adalah

L = D D 6 a 2 , dimana D = b 2 - 4 ac

2. Untuk bentuk kurva fungsi polynomial, derajat n , luas daerah cekungannya adalah sebagai berikut

L = n n + 1 × luas persegi panjang

Bukti :

1. Buktikan bahwa daerah yang hanya dibatasi oleh dua kurva dan hasil substitusinya kedua persamaannya adalah persamaan kuadrat a x 2 + bx + c = 0 , maka luas daerahnya adalah L = D D 6 a 2 , dimana D = b 2 - 4 ac ?

Bukti :

Aplikasi Integral

Hasil substitusi y=f(x)y=g(x) adalah :

f x = g ( x )

atau fx-gx=0

a x 2 + bx + c = 0

L = x 1 x 2 f x - g ( x ) dx

= x 1 x 2 a x 2 + bx + c dx

= 1 3 a x 3 + 1 2 b x 2 + cx x 1 x 2

= 1 3 a x 2 3 + 1 2 b x 2 2 + c x 2 - 1 3 a x 1 3 + 1 2 b x 1 2 + c x 1

= 1 3 a x 2 3 - x 1 3 + 1 2 b x 2 2 - x 1 2 + c x 2 - x 1

= 1 3 a D a b 2 - ac a 2 + 1 2 b - b D a 2 + c D a

= 2 b 2 D - 2 ac D + 3 b 2 D + 6 ac D 6 a 2

= 4 ac D - b 2 D 6 a 2

= - b 2 - 4 ac D 6 a 2

= - D D 6 a 2

karena luas daerah hasilnya selalu positif, maka L = - D D 6 a 2 atau L = D D 6 a 2

Keterangan :

Persamaan a x 2 + bx + c = 0 akar-akarnya x 1 dan x 2 , maka :

x 1 + x 2 = - b a , x 1 x 2 = c a , dan x 1,2 = - b ± D 2 a dengan D = b 2 - 4 ac

x 1 - x 2 = - b + D 2 a - - b - D 2 a    dengan asumsi x 1 > x 2

= 2 D 2 a

= D a

x 2 2 - x 1 2 = x 1 - x 2 x 1 + x 2

= D a - b a

= - b D a 2

x 2 3 - x 1 3 = x 1 - x 2 x 2 2 + x 1 x 2 + x 1 2

= D a x 1 + x 2 2 - x 1 x 2

= D a - b a 2 - c a

= D a b 2 - ac a 2

2. Tunjukkan bahwa perbandingan luas daerah yang diarsir berwarna merah dan luas persegi panjang yang diarsir adalah 2 : 3

Aplikasi Integral

Bukti :

Luas daerah yang berwarna merah dibatasi oleh kurva y = a x 2 dan garis y = k

y = a x 2 y = k a x 2 = k atau a x 2 - k = 0

D = 0 2 - 4 a ( - k )

= 4 ak

L merah = D D 6 a 2

L persegipanjang = x 2 - x 1 k = D a k

L merah L persegipanjang = D D 6 a 2 D a k

= D 6 ak

= 4 ak 6 ak

= 2 3



Sebagai contoh :

1.

Pada gambar di bawah ini tentukan luas daerah yang diarsir dengan

Aplikasi Integral

a. rumus L arsir = D D 6 a 2

b. rumus perbandingan luas persegi panjang

Lihat Penyelesaian

2.

Pada gambar di bawah ini tentukan luas daerah yang diarsir ?

Aplikasi Integral

Lihat Penyelesaian

3.

Tentukan luas daerah yang di arir di bawah ini

Aplikasi Integral

Lihat Penyelesaian

4.

Tentukan luas daerah yang di arir di bawah ini

Aplikasi Integral

Lihat Penyelesaian

5.

Tentukan perbandingan L 1 dan L 2 pada gambar di bawah ini ?

Aplikasi Integral

Lihat Penyelesaian

6.

Tentukan perbandingan L 1 dan L 2 pada gambar di bawah ini ?

Aplikasi Integral

Lihat Penyelesaian


  1. VOLUME BENDA PUTAR

Aplikasi Integral

Volume benda putar yang terjadi jika daerah diarsir diputar terhadap sumbu X adalah :

V = π x 1 x 2 f ( x ) dx

 

Secara umum formula untuk volume benda putar adalah :

Aplikasi Integral

Aplikasi Integral

Volume benda putar jika daerah yang diarsir diputar terhadap sumbu X adalah :

V x = x 1 x 2 f x a 2 - f ( x ) b 2 dx

atau V x = π x 1 x 2 y atas 2 - y bawah 2 dx

Aplikasi Integral

Aplikasi Integral

Volume benda putar jika daerah yang diarsir diputar terhadap sumbu Y adalah :

V y = y 1 y 2 f y kanan 2 - f ( y ) kiri 2 dx

  atau V y = π y 1 y 2 x kanan 2 - x kiri 2 dy



Sebagai contoh :

1.

Pada gambar di bawah ini, tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang diarsir diputar terhadap

a. sumbu X

b. sumbu Y

Aplikasi Integral

Lihat Penyelesaian

2.

Pada gambar di bawah ini, tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang diarsir diputar terhadap

Aplikasi Integral

Lihat Penyelesaian

3.

Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang diarsir diputar terhadap

a . sumbu X

b . sumbu Y

Aplikasi Integral

Lihat Penyelesaian

4.

Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang diarsir diputar terhadap

a . sumbu X

b . sumbu Y

Aplikasi Integral

Lihat Penyelesaian

5.

Tunjukkan bahwa volume bola berjari jari r adalah V = 4 3 π r 3

Lihat Penyelesaian

6.

Pada gambar di bawah ini tentukan

Aplikasi Integral

a. Volume benda putar jika daerah yang di arsir diputar 360 ° terhadap sumbu X , kemudian bandingkan dengan Luas daerah yang di arsir dengan memakai dx

b . Volume benda putar jika daerah yang di arsir diputar 360 ° terhadap sumbu Y

kemudian bandingkan dengan Luas daerah yang di arsir dengan memakai dy


Lihat Penyelesaian

7.

Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini diputar terhadap :

a . sumbu X

b . sumbu Y

Aplikasi Integral

Lihat Penyelesaian

8.

Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar terhadap :

a . sumbu X

b . sumbu Y

Aplikasi Integral

Lihat Penyelesaian

9.

Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar terhadap :

a . sumbu X

b . sumbu Y

Aplikasi Integral

Lihat Penyelesaian

10.

Tentukan luas daerah yang diarsir di bawah ini dan tentukan volume benda putar volume benda putar jika daerah yang di arsir diputar 360 o terhadap sumbu X

Aplikasi Integral

Lihat Penyelesaian

11.

Pada gambar di bawah ini, tentukan

a. Volume benda putar jika daerah yang diarsir diputar 360 ° terhadap sumbu X , kemudian bandingkan dengan luas daerah yang diarsir dengan memakai dx

b. Volume benda putar jika daerah yang diarsir diputar 360 ° terhadap sumbu Y

kemudian bandingkan dengan luas daerah yang diarsir dengan memakai dy

Aplikasi Integral

Lihat Penyelesaian

12.

Daerah yang dibatasi oleh lingkaran x 2 + y 2 = 25 dan berada di kuadran pertama terbagi dua oleh garis 3 y = 4 x . Tentukan perbandingan volume benda putar yang terjadi jika kedua daerah tersebut diputar 360 o terhadap sumbu X

Lihat Penyelesaian

13.

Daerah yang dibatasi oleh lingkaran x 2 + y 2 = 25 dan berada di kuadran pertama terbagi dua oleh garis 3 y = 4 x . Tentukan perbandingan volume benda putar yang terjadi jika kedua daerah tersebut diputar 360 o terhadap sumbu Y ?

Lihat Penyelesaian

14.

Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang diarsir di bawah ini diputar terhadap

a . sumbu X

b . sumbu Y

Aplikasi Integral

Lihat Penyelesaian

15.

Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang diarsir di bawah ini diputar terhadap

a . sumbu Y

b . sumbu X

Aplikasi Integral

Lihat Penyelesaian

16.

Tentukan volume benda putar yang terjadi, jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x 2 - 6 x + 20 dan garis y = 12 diputar terhadap garis x = 2 ?

Lihat Penyelesaian

17.

Sebuah benda padat berbentuk bola berjari-jari 20 cm mengapung dipermukaan air dengan 3 4 dari ketinggiannya tenggelam di air. Jika massa jenis air adalah 1000 kg / m 3 , maka tentukan massa jenis benda ini ?

Lihat Penyelesaian

  1. PANJANG KURVA

Aplikasi Integral

l 1 = x 1 2 + y 1 2

l 2 = x 2 2 + y 2 2

Perhatikan gambar di atas, panjang busur AC l 1 + l 2 AC = i = 1 2 l i

Agar kesalahan sekecil mungkin, maka kita AC kita bagi menjadi partisi yang banyak sekali

AC = lim n i = 1 n l i AC = lim n i = 1 n x i 2 + y i 2

AC = x a x c l i dx AC = x a x c dx 2 + dy 2 dx dx

= x a x c dx 2 + dy 2 dx 2 dx

= x a x c 1 + dy dx 2 dx



Sebagai contoh :

1.

Tentukan panjang kurva y = 1 2 x + 1 dari x = 2 sampai dengan x = 6 dengan cara

a. Aljabar

b. dengan integral

Lihat Penyelesaian

2.

Tentukan panjang dari kurva y = x 2 mulai dari x = 0 sampai x = 3 ?

Lihat Penyelesaian

3.

Tunjukkan bahwa keliling lingkaran yang berjari-jari r adalah 2 πr ?

Lihat Penyelesaian

4.

Tentukan panjang ruas garis y = 3 x - 9 pada interval 2 x 9 ?

Lihat Penyelesaian

5.

Tentukan panjang kurva y = x x pada interval 1 , 5 ?

Lihat Penyelesaian

6.

Tentukan panjang kurva y = e x mulai dari x = - 1 sampai dengan x = 2 ?

Lihat Penyelesaian