1. RUMUS LUAS DAERAH

Beberapa cara untuk mencari luas daerah tanpa menggunakan integral :

1. Luas daerah yang hanya dibatasi oleh dua kurva dan hasil substitusinya adalah persamaan kuadrat x 2 + bx + c = 0 , maka luasnya adalah

L = D D 6 a 2 , dimana D = b 2 - 4 ac

2. Untuk bentuk kurva fungsi polynomial, derajat n , luas daerah cekungannya adalah sebagai berikut

L = n n + 1 × luas persegi panjang

Bukti :

1. Buktikan bahwa daerah yang hanya dibatasi oleh dua kurva dan hasil substitusinya kedua persamaannya adalah persamaan kuadrat a x 2 + bx + c = 0 , maka luas daerahnya adalah L = D D 6 a 2 , dimana D = b 2 - 4 ac ?

Bukti :

Aplikasi Integral

Hasil substitusi y=f(x)y=g(x) adalah :

f x = g ( x )

atau fx-gx=0

a x 2 + bx + c = 0

L = x 1 x 2 f x - g ( x ) dx

= x 1 x 2 a x 2 + bx + c dx

= 1 3 a x 3 + 1 2 b x 2 + cx x 1 x 2

= 1 3 a x 2 3 + 1 2 b x 2 2 + c x 2 - 1 3 a x 1 3 + 1 2 b x 1 2 + c x 1

= 1 3 a x 2 3 - x 1 3 + 1 2 b x 2 2 - x 1 2 + c x 2 - x 1

= 1 3 a D a b 2 - ac a 2 + 1 2 b - b D a 2 + c D a

= 2 b 2 D - 2 ac D + 3 b 2 D + 6 ac D 6 a 2

= 4 ac D - b 2 D 6 a 2

= - b 2 - 4 ac D 6 a 2

= - D D 6 a 2

karena luas daerah hasilnya selalu positif, maka L = - D D 6 a 2 atau L = D D 6 a 2

Keterangan :

Persamaan a x 2 + bx + c = 0 akar-akarnya x 1 dan x 2 , maka :

x 1 + x 2 = - b a , x 1 x 2 = c a , dan x 1,2 = - b ± D 2 a dengan D = b 2 - 4 ac

x 1 - x 2 = - b + D 2 a - - b - D 2 a    dengan asumsi x 1 > x 2

= 2 D 2 a

= D a

x 2 2 - x 1 2 = x 1 - x 2 x 1 + x 2

= D a - b a

= - b D a 2

x 2 3 - x 1 3 = x 1 - x 2 x 2 2 + x 1 x 2 + x 1 2

= D a x 1 + x 2 2 - x 1 x 2

= D a - b a 2 - c a

= D a b 2 - ac a 2

2. Tunjukkan bahwa perbandingan luas daerah yang diarsir berwarna merah dan luas persegi panjang yang diarsir adalah 2 : 3

Aplikasi Integral

Bukti :

Luas daerah yang berwarna merah dibatasi oleh kurva y = a x 2 dan garis y = k

y = a x 2 y = k a x 2 = k atau a x 2 - k = 0

D = 0 2 - 4 a ( - k )

= 4 ak

L merah = D D 6 a 2

L persegipanjang = x 2 - x 1 k = D a k

L merah L persegipanjang = D D 6 a 2 D a k

= D 6 ak

= 4 ak 6 ak

= 2 3



Sebagai contoh :

1.

Pada gambar di bawah ini tentukan luas daerah yang diarsir dengan

Aplikasi Integral

a. rumus L arsir = D D 6 a 2

b. rumus perbandingan luas persegi panjang

Lihat Penyelesaian

2.

Pada gambar di bawah ini tentukan luas daerah yang diarsir ?

Aplikasi Integral

Lihat Penyelesaian

3.

Tentukan luas daerah yang di arir di bawah ini

Aplikasi Integral

Lihat Penyelesaian

4.

Tentukan luas daerah yang di arir di bawah ini

Aplikasi Integral

Lihat Penyelesaian

5.

Tentukan perbandingan L 1 dan L 2 pada gambar di bawah ini ?

Aplikasi Integral

Lihat Penyelesaian

6.

Tentukan perbandingan L 1 dan L 2 pada gambar di bawah ini ?

Aplikasi Integral

Lihat Penyelesaian