A. RUMUS DASAR DAN RUMUS SUBSTITUSI LINIER

1. e x dx = e x + c    

2. a x dx = a x ln a + c    

3. 1 x dx = ln x + c    

4. e mx + n dx = 1 m e mx + n + c

5. a mx + n dx = a mx + n ln a + c

6. 1 mx + n dx = 1 m ln mx + n + c


Sebagai pengantar materi ini perhatikan contoh di bawah ini :

Sebagai contoh :

1. Pengertian e

e adalah dalam bahasa inggris natural number yang berarti bilangan alami, dimana

e x = 1 + x + 1 2 ! x 2 + 1 3 ! x 3 + 1 4 ! x 4 + 1 5 ! x 5 + 1 6 ! x 6 + 1 7 ! x 7 + 1 8 ! x 8 +

Dengan mensubstitusi x = 1 di dapat

e = 1 + 1 2 ! + 1 3 ! + 1 4 ! + 1 5 ! + dalam kalkulator nilai e 2,178 ..

Coba kalau kita punya y = e x silahkan coba sendiri untuk menunjukkan y ' = e x

Akibatnya e x dx = e x + c

2. Kita review lagi materi limit dan deferensial

lim x 0 1 + x 1 x = e dan f ' x = lim h 0 f x + h - f ( x ) h

Sekarang kita akan mencari turunan dari fungsi logaritma naturalis

Jika f x = ln x untuk nilai x positif

maka f ' x = lim h 0 ln ( x + h ) - ln x h

= lim h 0 ln x + h x h ingat log p - log q = log p q a a a

= lim h 0 h x ln 1 + h x x h h     ingat log b c = c. log b a a

= lim h 0 h x ln e h   ingat ln e = 1

= lim h 0 hx h

= lim h 0 1 x

= 1 x

Jadi jika f ' x = ln x maka 1 x dx = ln x + c untuk x positif



Sebagai contoh :

1.

Tentukan hasil dari

a . e x + 2 dx

b. e 3 x + e 2 x dx

c . 10 e 5 x - 1 dx

d. 3 e 6 x + 5 - 1 dx  

Lihat Penyelesaian

2.

Tentukan hasil dari

a . e x dx

b . 1 e 2 x dx  

c . e 3 e 2 x dx  

d . e 5 x - 2 3 dx  

e . e x + 2 e x 2 dx  

f . e x + e x - 2 2 dx

Lihat Penyelesaian

3.

Tentukan hasil dari

a . 3 x dx

b . 3 2 x + 5 dx

c . 2 4 x - 3 dx  

d . 5 2 - 5 x dx

e . 3 9 x + 2 dx    

f . 1 2 16 x - 5 dx

Lihat Penyelesaian

4.

Tentukan hasil integral dari

a. e 2 x + e x 3 dx

b. e 2 x - 4 2 dx  

c. e x + 2 e 2 x - 1 dx  

d. e 2 x - 1 e x + e 3 x + 2 dx  

e. 10 2 x - 1 dx

f. 1 5 1 - 2 x dx

Lihat Penyelesaian

5.

Tentukan hasil dari

a . 3 x 2 + 1 x dx

b . 1 x 2 + 1 x dx

c . 1 x + 1 dx  

d . 3 2 - x dx  

e . 4 2 x + 5 dx

f . 1 3 x - 5 dx

Lihat Penyelesaian

6.

Tentukan hasil dari

a. x 2 + 1 x 3 2 dx

b. 3 2 x - 1 dx  

c. x + 1 x - 2 dx

d. 2 x + 1 3 x - 2 dx  

e. 1 x 2 - 4 dx

f. 3 x 2 x 2 - x - 1 dx

Lihat Penyelesaian

7.

Tentukan hasil dari

a. x - 3 x 2 - 6 x + 5 dx

b. x - 9 x 2 - 6 x + 5 dx  

c. x 2 - 8 x + 23 x 2 - 6 x + 5 dx

d. x 4 - 2 x 3 + x 2 - x - 1 x 3 - x 2 dx

Lihat Penyelesaian

8.

Turunan kedua sebuah kurva adalah d 2 y dx 2 = e x . Jika kurvanya melalui 0 , 1 dan 1 , 2 , maka tentukan persamaan kurvanya ?

Lihat Penyelesaian

9.

Gradien garis singgung di sembarang titik pada sebuah kurva adalah M = 3 x + 7 2 x + 6 , jika kurvanya melalui 0 , ln 12 , maka tentukan persamaan kurvanya ?

Lihat Penyelesaian

10.

Jika f '' x = 2 e 2 x + 1 2 e 12x , f ' 0 = 5 2 , dan f 0 = 7 2 , maka tentukan persamaan kurvanya ?

Lihat Penyelesaian

11.

Diketahui a = 2 v + 5 ( a = percepatan, v = kecepatan, t = waktu). Nyatakan v dalam t jika mula-mula partikel dalam keadaan diam ?

Lihat Penyelesaian

12.

Diketahui s = 5 + 2 a 3 , (s = jarak, v = kecepatan, a = percepatan), nyatakan v dalam s, jika saat v = 2, s = 4

Lihat Penyelesaian

B. INTEGRAL SUBSTITUSI

Integral substitusi adalah dengan menggantikan sebuah bentuk fungsi dengan variabel yang lebih sederhana, misalnya :

  • 2 x + 7 x 2 + 7 x + 14 dx = 2 x + 7 u du 2 x + 7

= 1 u du

= ln u + c

= ln x 2 + 7 x + 14 + c

u = x 2 + 7 x + 14

du = 2 x + 7 dx

dx = du 2 x + 7

 

  • 1 + cos x e x + sin x dx = 1 + cos x e u du 1 + cos x

= e u du

= e u + c

= e x + sin x + c

u = x + sin x

du = 1 + cos x dx

dx = du 1 + cos x

 


Integral substitusi dengan mengganti factor pengintegralnya

  • sin x e cos x dx = sin x e cos x d cos x - sin x

= - e cos x d cos x

= - e cos x + c

  • x + 1 x 2 + 2 x + 10 dx = x + 1 x 2 + 2 x + 10 d x 2 + 2 x + 10 2 x + 2

= 1 2 1 x 2 + 2 x + 10 d x 2 + 2 x + 10

= 1 2 ln x 2 + 2 x + 10 + c

  • tan x dx = sin x cos x dx

= sin x cos x d cos x - sin x

= - 1 cos x d cos x

= - ln cos x + c     ln cos x = ln cos x - 1 = ln 1 cos x = ln sec x

= ln sec x + c

  • sec x dx = sec x sec x + tan x sec x + tan x dx

= sec 2 x + sec x tan x sec x + tan x d sec x + tan x sec 2 x + sec x tan x

= 1 sec x + tan x d sec x + tan x

= ln sec x + tan x + c



Sebagai contoh :

1.

Tentukan hasil dari

a. x e x 2 + 1 dx  

b. sin x cos x . e cos 2 x dx

Lihat Penyelesaian

2.

Tentukan hasil dari

a. 30 x 2 + 20 x + 10 x 3 + x 2 + x + 1 dx

b. 1 x + 3 x dx  

Lihat Penyelesaian

3.

Tentukan hasil integral dari

a . 1 x + 2 x dx  

b . 1 x + 2 x dx  

c . 1 x + 2 x x dx

Lihat Penyelesaian

4.

Tentukan hasil dari integral

a . x 9 x 5 + 11 dx    

b . x 4 x 2 x + 2 dx

Lihat Penyelesaian

5.

Tentukan hasil dari

a. e x - 1 e x + 3 dx  

b. e x + 1 e x - 2 dx

Lihat Penyelesaian

6.

Tentukan hasil dari

a. tan x tan 2 x tan 3 x dx      

b. tan x tan 4 x tan 5 x dx

Lihat Penyelesaian

7.

Tentukan hasil dari

a. sec 3 x dx

b. tan 2 x dx

Lihat Penyelesaian

8.

Tentukan hasil dari

a . ta n 3 x dx

b . csc x dx

Lihat Penyelesaian

9.

Tentukan hasil dari

a. 3 e x + 2 e - x 2 e x - e - x dx

b. 3 e 2 x - 2 e - 2 x 2 e 2 x + 3 e - 2 x dx

Lihat Penyelesaian

10.

Tentukan hasil dari

a. 2 sin x - cos x 3 sin x - cos x dx

b. sin 2 x + 3 cos 2 x 2 sin 2 x - cos 2 x dx

Lihat Penyelesaian

11.

Jika ln x dx = x ln x - x + c maka tentukan hasil dari

a. x ln x dx

b. x x ln x dx

c. ln x x 2 dx  

Lihat Penyelesaian

12.

Tentukan hasil dari x 2 x - x + 3 + 3 dx

Lihat Penyelesaian

  1. INTEGRAL PARSIAL

Teknik pengintegralan parsial ini biasanya digunakan untuk menyelesaikan integral dari perkalian fungsi yang tidak dapat disederhanakan atau tidak bisa diselesaikan dengan integral substitusi biasa.

u dv = uv - v du

  • Tentukan hasil dari ln x dx !

    misal u = ln x du = 1 x dx

    dv = dx v = x

    ln x u dx dv = ln x u x v - x v 1 x dx du

    = x ln x - dx

    = x ln x - x + c

  • Tentukan hasil dari x e 2 x dx !

    Jawab :

    Misal u = x

    du = dx

    dv = e 2 x dx

    v = 12e 2 x

    x u e x dx dv = x u 12e 2 x v - 12e 2 x v dx du

    =12xe2x-14e2x+c

    Dengan cara tabulasi :

    Integral Parsial

    Hasilnya adalah

    =12xe2x-14e2x+c

Sebagai contoh :

1.

Tentukan hasil dari

a. x e x + 1 dx

b. - 1 1 x e x + 1 dx

Lihat Penyelesaian
2.

Tentukan hasil dari

a. sin x . e x dx

b. e 4 x cos 2 x dx

Lihat Penyelesaian
3.

Diketahui sec x dx = ln sec x + tan x + c maka tunjukkan bahwa :

  1. se c 3 x dx = 1 2 sec x tan x + 1 2 ln sec x + tan x + c

  2. sec 5 x dx = 1 4 sec 3 tan x + 3 8 sec x tan x + 3 8 ln sec x + tan x + c

Lihat Penyelesaian
4.

Tentukan hasil dari

a. e x dx

b. x e x dx

Lihat Penyelesaian
5.

Tentukan hasil dari

a. ln 2 x dx

b. 0 e ln 2 x dx

Lihat Penyelesaian

  1. INTEGRAL SUBSTITUSI TRIGONOMETRI

Integral substitusi trigonometri digunakan untuk membantu menyelesaikan beberapa bentuk integral yang memuat bentuk akar yang tidak bisa dikerjakan dengan substitusi biasa dan dengan integral parsial. Yang perlu diingat masih banyak pengintegralan yang belum bisa terpecahkan.

Dari identitas trigonometri sin 2 x + cos 2 x = 1

Jika kedua ruas dibagi cos 2 x menghasilkan : tan 2 x + 1 = sec 2 x

1 - sin 2 x = cos 2 x sec 2 x - 1 = tan 2 x tan 2 x + 1 = sec 2 x bentuk 1 - x 2 x 2 - 1 x 2 + 1 gunakan substitusi x = sin θ x = sec θ x = tan θ

Untuk bentuk yang lebih komplek b 2 - ax 2 ax 2 - b 2 ax 2 + b 2 gunakan substitusi ax = b sin θ ax = b sec θ ax = b tan θ

Ilustrasinya :

  • 1 - 4 x 2 = 1 - 2 x 2       substitusikan 2 x = sin θ

    = 1 - sin 2 θ

    = cos 2 θ

    = cos θ

  • 100 + 9 x 2 = 10 2 + 3 x 2   substitusikan 3 x = 10 tan θ

    = 100 + 10 tan θ 2

    = 100 1 + tan 2 θ

    = 100 sec 2 θ

    = 10 sec θ

  • 1 9 x 2 - 10 = 1 3 x 2 - 10 2 substitusikan 3 x = 10 sec θ

    = 1 10 sec θ 2 - 10

    = 1 10 sec 2 θ - 1

    = 1 10 tan 2 θ



Perhatikan contoh soal di bawah ini

1. Tentukan hasil dari 1 1 - x 2 dx !

Jawab :

Misal x = sin θ   1 - x 2 = 1 - sin 2 θ = cos 2 θ = cos θ    

dx = cos θ

1 1 - x 2 dx = 1 cos θ cos θ

= 1

= θ + c

= arc sin x + c

2. Tentukan hasil dari 4 x 2 + 1 x 4 dx

Jawab :

Misal x = 1 2 tan θ     berasal dari 2 x = tan θ

dx =12sec2θ dθ

4 x 2 + 1 = 4 .14 tan2θ+1 = sec 2 θ = sec θ

4 x 2 + 1 x 4 dx = sec θ 1 2 tan θ 4 1 2 sec 2 θ dθ          ubah sec θ = 1 cos θ dan tan θ = sin θ cos θ

= 8 cos θ sin 4 θ

= 8 cos θ sin 4 θ d sin θ cos θ

= 8 sin 4 θ d sin θ   ingat x - 4 dx = - 1 3 x - 3 + c

= - 8 3 sin 3 θ + c

= - 8 3 csc 3 θ + c

= - 8 3 4 x 2 + 1 2 x 3 + c

Integral Parsial

3 . Tentukan hasil dari 16 - x 2 dx

Jawab :

Misal x = 4 sin θ dx = 4 cos θ

16 - x 2 = 16 - 4 sin θ 2 = 16 ( 1 - sin 2 θ ) = 4 cos 2 θ = 4 cos θ

16 - x 2 dx = 4 cos θ. 4 cos θ dθ

= 16 1 2 + 1 2 cos 2 θ

= 8 θ + 4 sin 2 θ + c

= 8 θ + 8 sin θ cos θ + c

= 8 arc sin x 4 + 8 x 4 16 - x 2 4 + c

= 8 arc sin x 4 + x 2 16 - x 2 + c

Integral Parsial

4 . Tentukan hasil dari 1 x 2 + 1 dx

Jawab :

Misal x = tan θ dx = sec 2 θ dθ

x 2 + 1 = tan 2 θ + 1 = sec 2 θ = sec θ

1 x 2 + 1 dx = 1 sec θ sec 2 θ dθ

= sec θ

= sec θ sec θ + tan θ sec θ + tan θ

= sec 2 θ + sec θ tan θ sec θ + tan θ d sec θ + tan θ sec 2 θ + sec θ tan θ

= 1 sec θ + tan θ d sec θ + tan θ

= ln sec θ + tan θ +c

= ln x 2 + 1 + x + c

Integral Parsial



Sebagai contoh :

1.

Soal-soal di bawah ini sangat mudah dikerjakan dengan integral subtitusi biasa, bandingkan hasilnya jika dikerjakan dengan substitusi trigonometri

a. x 1 - x 2 dx b. x x 2 - 1 dx c. x x 2 + 1 dx
Lihat Penyelesaian

2.

Soal-soal di bawah ini sangat mudah dikerjakan dengan cara substitusi biasa, bandingkan hasilnya jika dikerjakan dengan substitusi trigonometri

a. x x 2 + 4 dx b. x 9 - x 2 dx c. x x 2 - 25 dx
Lihat Penyelesaian

3.

Soal-soal di bawah ini sangat mudah dikerjakan dengan cara substitusi biasa, bandingkan hasilnya jika dikerjakan dengan substitusi trigonometri

a. x x 2 + 100 dx b. x 4 x 2 - 1 dx c. x 25 - 4 x 2 dx
Lihat Penyelesaian

4.

Tentukan hasil dari 9 x 2 - 16 dx

Lihat Penyelesaian

5.

Tentukan hasil dari x 2 + 100 dx !

Lihat Penyelesaian

6.

Tentukan hasil dari 4 x 2 - 1 dx !

Lihat Penyelesaian

7.

Tentukan hasil dari

a. 1 9 - 4 x 2 dx

b. 1 100 x 2 - 49 dx

c. 1 4 x 2 + 25 dx

Lihat Penyelesaian
8.

Tentukan hasil dari

a. x 2 1 - x 2 dx

b. x 2 x 2 - 9 dx

c. x 2 4 x 2 + 1 dx

Lihat Penyelesaian
9.

Tentukan hasil dari

a. 1 x 2 + 4 x + 5 dx

b. 1 2 x 2 + 4 x + 1 dx

Lihat Penyelesaian
10.

Tentukan hasil dari x 2 x 2 + 1 dx

Lihat Penyelesaian
11.

Tentukan hasil dari x + x 2 + 1 x 2 + 1 dx

Lihat Penyelesaian
12.

Tentukan hasil dari x 2 1 - x 2 dx

Lihat Penyelesaian
13.

Tentukan hasil dari

a. x 2 + 1 x 2 + 4 x + 8 dx

b. x 2 + 1 x 2 + 8 x + 4 dx

Lihat Penyelesaian
14.

Tunjukkan bahwa

  1. k - x k + x dx = k 2 - x 2 + k arc sin x k + c

  2. x + 4 x - 4 dx = x 2 - 1 2 + 2 ln x + x 2 + 4 + c

Lihat Penyelesaian
15.

Tunjukkan bahwa k - x x dx = kx - x 2 + k arc sin x k + c

Lihat Penyelesaian

  1. RUMUS-RUMUS INTEGRAL SUBSTITUSI TIGONOMETRI

Rumus-rumus integral substitusi trigonometri.

1. 1 x 2 + 1 dx = arc tan x + c  

2. 1 1 - x 2 dx = arc sin x + c  

3. 1 x x 2 - 1 dx = arc sec x    

4. - 1 x 2 + 1 dx = arc cot x + c

5. - 1 1 - x 2 dx = arc cos x + c

6. - 1 x x 2 - 1 dx = arc csc x


Di bawah ini beberapa pembuktian dari rumus-rumus di atas.

  1. Tunjukkan bahwa 1 1 - x 2 dx = arc sin x + c

    Bukti :

    1 1 - x 2 dx = 1 1 - sin 2 θ cos θ   misal x = sin θ dx = cos θ

    = 1 cos 2 θ cos θ

    = 1 cos θ cos θ

    =

    = θ + c

    = arc sin x + c


  1. Tunjukkan bahwa 1 x 2 + 1 dx = arc tan x + c !

    Bukti :

    1 x 2 + 1 dx = 1 tan 2 θ + 1 sec 2 θ   misal x = tan θ dx = sec 2 θ

    = 1 sec 2 θ sec 2 θ

    =

    = θ + c

    = arc tan x + c


  1. Tunjukkan bahwa 1 x x 2 - 1 dx = arc sec x + c !

    Bukti :

    Misal x = sec θ dx = sec θ tan θ

    1 x x 2 - 1 dx = 1 sec θ sec 2 θ - 1 sec θ tan θ

    = 1 sec θ tan 2 θ sec θ tan θ

    =

    = θ + c

    = arc sec x + c


Perhatikan contoh-contoh soal di bawah ini :

1. 1 x 2 + 4 x + 5 dx = 1 x + 2 2 + 1 dx        ingat juga substitusi linier

= arc tan ( x + 2 ) + c

2. 1 e 2 x - 1 dx = 1 u 2 - 1 du u        misal u = e x du = e x dx

= 1 u u 2 - 1 du

= arc sec u + c

= arc sec e x + c

3. cos 2 θ 1 - tan 2 θ = se c 2 θ 1 - tan 2 θ        misal u = tan θ du = sec 2 θdθ

= 1 1 - u 2 du

= arc sin u + c

= arc sin tan θ + c



Sebagai contoh :

1.

Dengan menggunakan turunan tunjukkan bahwa

  1. - 1 1 - x 2 dx = arc cos x + c

  2. - 1 x 2 + 1 dx = arc cot x + c

  3. - 1 x x 2 - 1 dx = arc csc x + c

Silahkan pembaca menunjukkan dengan integral

Lihat Penyelesaian

2.

Gunakan substitusi y = x x untuk setiap soal-soal di bawah ini

a. x x 3 x + x dx

b. 1 1 x - x 2 dx

c. 1 x 5 - x 2 dx

Lihat Penyelesaian

3.

Gunakan substitusi y = sin x untuk setiap soal di bawah ini

a. cos x sin x sin 2 x + sin x dx

b. cos x sin 3 x - sin 2 x dx

Lihat Penyelesaian

4.

Gunakan substitusi y = tan x untuk setiap soal di bawah ini

a. 1 + tan 2 x 1 - tan 2 x dx

b. sec 2 x tan 4 x - sec 2 x + 1 dx

Lihat Penyelesaian

5.

Tentukan hasil dari

a. 1 x 2 + 2 x + 2 dx

b. x 2 x 6 + 1 dx

c . 1 e x + e - x dx

Lihat Penyelesaian

6.

Tentukan hasil dari

a . e x 1 - e 2 x dx  

b . 1 x - x 2 dx

Lihat Penyelesaian

7.

Tentukan hasil dari

a . 1 e x - 1 e x + 1 dx  

b . 1 xlnx ( ln x - 1 ) ( ln x + 1 ) dx

Lihat Penyelesaian
8.

Tentukan nilai dari

a. sin 2 x cos 2 x cos 4 x - 1 dx

b. cos x 2 - cos 2 x dx

Lihat Penyelesaian
9.

Tentukan hasil dari

a. 1 4 x 2 + 12 x + 25 dx

c. 8 x 2 + 28 x + 48 4 x 2 + 12 x + 25 dx

b. 2 x + 4 4 x 2 + 12 x + 25 dx

d. 4 x 3 + 4 x 2 + 4 x + 4 4 x 2 + 12 x + 25 dx

Lihat Penyelesaian
10.

Tentukan hasil dari

a. cos x - sin x 2 + sin 2 x dx

b. sin x + cos x sin 2 x dx

Lihat Penyelesaian

  1. INTEGRAL SUBSTITUSI Z = tan (x/2)

Selain integral parsial, dan integral substitusi trigonometri, ada teknik pengintegralan degan substitusi z = tan x 2

Perhatikan ilustrasi contoh di bawah ini

1. Tentukan hasil dari 1 4 + 4 sin x dx !

Jawab :

Misal tan x 2 = u 1 2 sec 2 x 2 dx = du

INTEGRAL SUBSTITUSI Z = tan (x/2)

tan x 2 = u

sin x = 2 sin x 2 cos x 2

= 2 u u 2 - 1


1 4 + 4 sin x dx = 1 4 + 4 sin x . du 1 2 sec 2 x 2

= 1 4 + 4 2 u u 2 + 1 du 1 2 u 2 + 1

= 1 2 u 2 + 2 + 4 u du

= 1 2 1 u + 1 2 du

= 1 2 × 1 - 1 u + 1 - 1 + c

= - 1 2 u + 2 + c

= - 1 2 tan x 2 + 2 + c


2. Tentukan hasil dari 1 4 - 5 cos 4 x dx

Jawab :

Perhatikan sudut trigonometrinya adalah 4 x , jadi kita misalkan u = tan 2 x

Misal u = tan 2 x du = 2 sec 2 2 x dx

cos 4 x = cos 2 2 x - sin 2 2 x

= 1 u 2 + 1 2 - u u 2 + 1 2

= 1 - u 2 u 2 + 1

sec 2 2 x = u 2 + 1 1 2 = u 2 + 1

INTEGRAL SUBSTITUSI Z = tan (x/2)

1 4 - 5 cos 4 x dx = 1 4 - 5 1 - u 2 u 2 + 1 du 2 sec 2 2 x

= 1 4 - 5 1 - u 2 u 2 + 1 du 2 u 2 + 1

= 1 8 u 2 + 8 - 10 + 10 u 2 du

= 1 18 u 2 - 2 du

= 1 4 1 3 u - 1 - 1 3 u + 1 du

= 1 12 ln 3 u - 1 - ln 3 u + 1 + c   u = tan 2 x

= 1 12 ln 3 tan 2 x - 1 - ln 3 tan 2 x + 1 + c



Sebagai contoh :

1.

Tentukan hasil dari

a. 1 1 - sin x dx b. 0 π 3 1 1 - sin x dx
Lihat Penyelesaian

2.

  1. Tunjukkan bahwa 1 1 + sin x + cos x dx = ln tan 1 2 x + 1 + c !

  2. Tentukan hasil dari π 3 2 π 3 1 1 + sin x + cos x dx !

Lihat Penyelesaian

3.

Tentukan hasil dari 1 2 + sin x + 2 cos x dx !

Lihat Penyelesaian

4.

Tentukan hasil dari 1 1 + sin 2 x dx !

Lihat Penyelesaian

5.

Tentukan hasil dari 1 1 + sin x dx

Lihat Penyelesaian

6.

Tentukan hasil dari 1 2 + 2 sin x - 2 3 cos x dx

Lihat Penyelesaian

7.

Tentukan hasil dari

a. 1 sin 2 x + cos 2 x dx

b. 0 π 4 1 sin 2 x + cos 2 x dx

Lihat Penyelesaian