1. INTEGRAL SUBSTITUSI Z = tan (x/2)

Selain integral parsial, dan integral substitusi trigonometri, ada teknik pengintegralan degan substitusi z = tan x 2

Perhatikan ilustrasi contoh di bawah ini

1. Tentukan hasil dari 1 4 + 4 sin x dx !

Jawab :

Misal tan x 2 = u 1 2 sec 2 x 2 dx = du

INTEGRAL SUBSTITUSI Z = tan (x/2)

tan x 2 = u

sin x = 2 sin x 2 cos x 2

= 2 u u 2 - 1


1 4 + 4 sin x dx = 1 4 + 4 sin x . du 1 2 sec 2 x 2

= 1 4 + 4 2 u u 2 + 1 du 1 2 u 2 + 1

= 1 2 u 2 + 2 + 4 u du

= 1 2 1 u + 1 2 du

= 1 2 × 1 - 1 u + 1 - 1 + c

= - 1 2 u + 2 + c

= - 1 2 tan x 2 + 2 + c


2. Tentukan hasil dari 1 4 - 5 cos 4 x dx

Jawab :

Perhatikan sudut trigonometrinya adalah 4 x , jadi kita misalkan u = tan 2 x

Misal u = tan 2 x du = 2 sec 2 2 x dx

cos 4 x = cos 2 2 x - sin 2 2 x

= 1 u 2 + 1 2 - u u 2 + 1 2

= 1 - u 2 u 2 + 1

sec 2 2 x = u 2 + 1 1 2 = u 2 + 1

INTEGRAL SUBSTITUSI Z = tan (x/2)

1 4 - 5 cos 4 x dx = 1 4 - 5 1 - u 2 u 2 + 1 du 2 sec 2 2 x

= 1 4 - 5 1 - u 2 u 2 + 1 du 2 u 2 + 1

= 1 8 u 2 + 8 - 10 + 10 u 2 du

= 1 18 u 2 - 2 du

= 1 4 1 3 u - 1 - 1 3 u + 1 du

= 1 12 ln 3 u - 1 - ln 3 u + 1 + c   u = tan 2 x

= 1 12 ln 3 tan 2 x - 1 - ln 3 tan 2 x + 1 + c



Sebagai contoh :

1.

Tentukan hasil dari

a. 1 1 - sin x dx b. 0 π 3 1 1 - sin x dx
Lihat Penyelesaian

2.

  1. Tunjukkan bahwa 1 1 + sin x + cos x dx = ln tan 1 2 x + 1 + c !

  2. Tentukan hasil dari π 3 2 π 3 1 1 + sin x + cos x dx !

Lihat Penyelesaian

3.

Tentukan hasil dari 1 2 + sin x + 2 cos x dx !

Lihat Penyelesaian

4.

Tentukan hasil dari 1 1 + sin 2 x dx !

Lihat Penyelesaian

5.

Tentukan hasil dari 1 1 + sin x dx

Lihat Penyelesaian

6.

Tentukan hasil dari 1 2 + 2 sin x - 2 3 cos x dx

Lihat Penyelesaian

7.

Tentukan hasil dari

a. 1 sin 2 x + cos 2 x dx

b. 0 π 4 1 sin 2 x + cos 2 x dx

Lihat Penyelesaian