1. RUMUS-RUMUS INTEGRAL SUBSTITUSI TIGONOMETRI

Rumus-rumus integral substitusi trigonometri.

1. 1 x 2 + 1 dx = arc tan x + c  

2. 1 1 - x 2 dx = arc sin x + c  

3. 1 x x 2 - 1 dx = arc sec x    

4. - 1 x 2 + 1 dx = arc cot x + c

5. - 1 1 - x 2 dx = arc cos x + c

6. - 1 x x 2 - 1 dx = arc csc x


Di bawah ini beberapa pembuktian dari rumus-rumus di atas.

  1. Tunjukkan bahwa 1 1 - x 2 dx = arc sin x + c

    Bukti :

    1 1 - x 2 dx = 1 1 - sin 2 θ cos θ   misal x = sin θ dx = cos θ

    = 1 cos 2 θ cos θ

    = 1 cos θ cos θ

    =

    = θ + c

    = arc sin x + c


  1. Tunjukkan bahwa 1 x 2 + 1 dx = arc tan x + c !

    Bukti :

    1 x 2 + 1 dx = 1 tan 2 θ + 1 sec 2 θ   misal x = tan θ dx = sec 2 θ

    = 1 sec 2 θ sec 2 θ

    =

    = θ + c

    = arc tan x + c


  1. Tunjukkan bahwa 1 x x 2 - 1 dx = arc sec x + c !

    Bukti :

    Misal x = sec θ dx = sec θ tan θ

    1 x x 2 - 1 dx = 1 sec θ sec 2 θ - 1 sec θ tan θ

    = 1 sec θ tan 2 θ sec θ tan θ

    =

    = θ + c

    = arc sec x + c


Perhatikan contoh-contoh soal di bawah ini :

1. 1 x 2 + 4 x + 5 dx = 1 x + 2 2 + 1 dx        ingat juga substitusi linier

= arc tan ( x + 2 ) + c

2. 1 e 2 x - 1 dx = 1 u 2 - 1 du u        misal u = e x du = e x dx

= 1 u u 2 - 1 du

= arc sec u + c

= arc sec e x + c

3. cos 2 θ 1 - tan 2 θ = se c 2 θ 1 - tan 2 θ        misal u = tan θ du = sec 2 θdθ

= 1 1 - u 2 du

= arc sin u + c

= arc sin tan θ + c



Sebagai contoh :

1.

Dengan menggunakan turunan tunjukkan bahwa

  1. - 1 1 - x 2 dx = arc cos x + c

  2. - 1 x 2 + 1 dx = arc cot x + c

  3. - 1 x x 2 - 1 dx = arc csc x + c

Silahkan pembaca menunjukkan dengan integral

Lihat Penyelesaian

2.

Gunakan substitusi y = x x untuk setiap soal-soal di bawah ini

a. x x 3 x + x dx

b. 1 1 x - x 2 dx

c. 1 x 5 - x 2 dx

Lihat Penyelesaian

3.

Gunakan substitusi y = sin x untuk setiap soal di bawah ini

a. cos x sin x sin 2 x + sin x dx

b. cos x sin 3 x - sin 2 x dx

Lihat Penyelesaian

4.

Gunakan substitusi y = tan x untuk setiap soal di bawah ini

a. 1 + tan 2 x 1 - tan 2 x dx

b. sec 2 x tan 4 x - sec 2 x + 1 dx

Lihat Penyelesaian

5.

Tentukan hasil dari

a. 1 x 2 + 2 x + 2 dx

b. x 2 x 6 + 1 dx

c . 1 e x + e - x dx

Lihat Penyelesaian

6.

Tentukan hasil dari

a . e x 1 - e 2 x dx  

b . 1 x - x 2 dx

Lihat Penyelesaian

7.

Tentukan hasil dari

a . 1 e x - 1 e x + 1 dx  

b . 1 xlnx ( ln x - 1 ) ( ln x + 1 ) dx

Lihat Penyelesaian
8.

Tentukan nilai dari

a. sin 2 x cos 2 x cos 4 x - 1 dx

b. cos x 2 - cos 2 x dx

Lihat Penyelesaian
9.

Tentukan hasil dari

a. 1 4 x 2 + 12 x + 25 dx

c. 8 x 2 + 28 x + 48 4 x 2 + 12 x + 25 dx

b. 2 x + 4 4 x 2 + 12 x + 25 dx

d. 4 x 3 + 4 x 2 + 4 x + 4 4 x 2 + 12 x + 25 dx

Lihat Penyelesaian
10.

Tentukan hasil dari

a. cos x - sin x 2 + sin 2 x dx

b. sin x + cos x sin 2 x dx

Lihat Penyelesaian