1. INTEGRAL SUBSTITUSI TRIGONOMETRI

Integral substitusi trigonometri digunakan untuk membantu menyelesaikan beberapa bentuk integral yang memuat bentuk akar yang tidak bisa dikerjakan dengan substitusi biasa dan dengan integral parsial. Yang perlu diingat masih banyak pengintegralan yang belum bisa terpecahkan.

Dari identitas trigonometri sin 2 x + cos 2 x = 1

Jika kedua ruas dibagi cos 2 x menghasilkan : tan 2 x + 1 = sec 2 x

1 - sin 2 x = cos 2 x sec 2 x - 1 = tan 2 x tan 2 x + 1 = sec 2 x bentuk 1 - x 2 x 2 - 1 x 2 + 1 gunakan substitusi x = sin θ x = sec θ x = tan θ

Untuk bentuk yang lebih komplek b 2 - ax 2 ax 2 - b 2 ax 2 + b 2 gunakan substitusi ax = b sin θ ax = b sec θ ax = b tan θ

Ilustrasinya :

  • 1 - 4 x 2 = 1 - 2 x 2       substitusikan 2 x = sin θ

    = 1 - sin 2 θ

    = cos 2 θ

    = cos θ

  • 100 + 9 x 2 = 10 2 + 3 x 2   substitusikan 3 x = 10 tan θ

    = 100 + 10 tan θ 2

    = 100 1 + tan 2 θ

    = 100 sec 2 θ

    = 10 sec θ

  • 1 9 x 2 - 10 = 1 3 x 2 - 10 2 substitusikan 3 x = 10 sec θ

    = 1 10 sec θ 2 - 10

    = 1 10 sec 2 θ - 1

    = 1 10 tan 2 θ



Perhatikan contoh soal di bawah ini

1. Tentukan hasil dari 1 1 - x 2 dx !

Jawab :

Misal x = sin θ   1 - x 2 = 1 - sin 2 θ = cos 2 θ = cos θ    

dx = cos θ

1 1 - x 2 dx = 1 cos θ cos θ

= 1

= θ + c

= arc sin x + c

2. Tentukan hasil dari 4 x 2 + 1 x 4 dx

Jawab :

Misal x = 1 2 tan θ     berasal dari 2 x = tan θ

dx =12sec2θ dθ

4 x 2 + 1 = 4 .14 tan2θ+1 = sec 2 θ = sec θ

4 x 2 + 1 x 4 dx = sec θ 1 2 tan θ 4 1 2 sec 2 θ dθ          ubah sec θ = 1 cos θ dan tan θ = sin θ cos θ

= 8 cos θ sin 4 θ

= 8 cos θ sin 4 θ d sin θ cos θ

= 8 sin 4 θ d sin θ   ingat x - 4 dx = - 1 3 x - 3 + c

= - 8 3 sin 3 θ + c

= - 8 3 csc 3 θ + c

= - 8 3 4 x 2 + 1 2 x 3 + c

Integral Parsial

3 . Tentukan hasil dari 16 - x 2 dx

Jawab :

Misal x = 4 sin θ dx = 4 cos θ

16 - x 2 = 16 - 4 sin θ 2 = 16 ( 1 - sin 2 θ ) = 4 cos 2 θ = 4 cos θ

16 - x 2 dx = 4 cos θ. 4 cos θ dθ

= 16 1 2 + 1 2 cos 2 θ

= 8 θ + 4 sin 2 θ + c

= 8 θ + 8 sin θ cos θ + c

= 8 arc sin x 4 + 8 x 4 16 - x 2 4 + c

= 8 arc sin x 4 + x 2 16 - x 2 + c

Integral Parsial

4 . Tentukan hasil dari 1 x 2 + 1 dx

Jawab :

Misal x = tan θ dx = sec 2 θ dθ

x 2 + 1 = tan 2 θ + 1 = sec 2 θ = sec θ

1 x 2 + 1 dx = 1 sec θ sec 2 θ dθ

= sec θ

= sec θ sec θ + tan θ sec θ + tan θ

= sec 2 θ + sec θ tan θ sec θ + tan θ d sec θ + tan θ sec 2 θ + sec θ tan θ

= 1 sec θ + tan θ d sec θ + tan θ

= ln sec θ + tan θ +c

= ln x 2 + 1 + x + c

Integral Parsial



Sebagai contoh :

1.

Soal-soal di bawah ini sangat mudah dikerjakan dengan integral subtitusi biasa, bandingkan hasilnya jika dikerjakan dengan substitusi trigonometri

a. x 1 - x 2 dx b. x x 2 - 1 dx c. x x 2 + 1 dx
Lihat Penyelesaian

2.

Soal-soal di bawah ini sangat mudah dikerjakan dengan cara substitusi biasa, bandingkan hasilnya jika dikerjakan dengan substitusi trigonometri

a. x x 2 + 4 dx b. x 9 - x 2 dx c. x x 2 - 25 dx
Lihat Penyelesaian

3.

Soal-soal di bawah ini sangat mudah dikerjakan dengan cara substitusi biasa, bandingkan hasilnya jika dikerjakan dengan substitusi trigonometri

a. x x 2 + 100 dx b. x 4 x 2 - 1 dx c. x 25 - 4 x 2 dx
Lihat Penyelesaian

4.

Tentukan hasil dari 9 x 2 - 16 dx

Lihat Penyelesaian

5.

Tentukan hasil dari x 2 + 100 dx !

Lihat Penyelesaian

6.

Tentukan hasil dari 4 x 2 - 1 dx !

Lihat Penyelesaian

7.

Tentukan hasil dari

a. 1 9 - 4 x 2 dx

b. 1 100 x 2 - 49 dx

c. 1 4 x 2 + 25 dx

Lihat Penyelesaian
8.

Tentukan hasil dari

a. x 2 1 - x 2 dx

b. x 2 x 2 - 9 dx

c. x 2 4 x 2 + 1 dx

Lihat Penyelesaian
9.

Tentukan hasil dari

a. 1 x 2 + 4 x + 5 dx

b. 1 2 x 2 + 4 x + 1 dx

Lihat Penyelesaian
10.

Tentukan hasil dari x 2 x 2 + 1 dx

Lihat Penyelesaian
11.

Tentukan hasil dari x + x 2 + 1 x 2 + 1 dx

Lihat Penyelesaian
12.

Tentukan hasil dari x 2 1 - x 2 dx

Lihat Penyelesaian
13.

Tentukan hasil dari

a. x 2 + 1 x 2 + 4 x + 8 dx

b. x 2 + 1 x 2 + 8 x + 4 dx

Lihat Penyelesaian
14.

Tunjukkan bahwa

  1. k - x k + x dx = k 2 - x 2 + k arc sin x k + c

  2. x + 4 x - 4 dx = x 2 - 1 2 + 2 ln x + x 2 + 4 + c

Lihat Penyelesaian
15.

Tunjukkan bahwa k - x x dx = kx - x 2 + k arc sin x k + c

Lihat Penyelesaian