A. PENGERTIAN STATISTIKA

  • Pengertian Statistik

    Statistik adalah kumpulan keterangan yang berbentuk angka-angka yang disusun, diatur, dan disajikan dalam bentuk daftar, tabel, atau disertai dengan gambar-gambar yang disebut diagram atau grafik untuk memperjelas persoalan yang sedang dipejalari.

  • Pengertian Statistika

    Statistika adalah pengetahuan yang berhubungan dengan pengumpulan angka-angka, pengolahan dan penganalisaan, penarikan kesimpulan, serta pembuatan keputusan ( decision maker ), serta pembuatan keputusan berdasarkan keterangan ( data ) dan fakta yang sudah dianalisis.

  • Pengertian Data

    Data berarti bentuk jamak ( banyak ). Jika bentuk tunggal ( sendiri ) maka disebut datum

    Kegunaan data pada dasarnya ialah untuk membuat keputusan ( decision makers ) .
     
    Contoh Kegunaan dari pemakaian data : di bidang manajemen antara lain adalah sebagai dasar suatu perencanaan, sebagai alat kontrol, sebagai dasar evaluasi, dan sebagainya.

  • Syarat data yang baik

    Data yang salah apabila dipakai untuk membuat suatu keputusan, pasti keputusan tersebut bisa berakibat fatal atau mungkin hasilnya tidak memuaskan atau bisa dibilang salah. Akibatnya perencanaan salah, control tidak efektif, evaluasi tidak mengenai sasaran yang benar dan obyektif.

    Syarat data yang baik antara lain :

    1. Obyektif, artinya harus sesuai dengan keadaan yang sebenarnya.

    2. Representatif, artinya harus bisa mewakili semua data yang diamati.

    3. Mempunyai kesalahan baku ( standar eror) yang kecil.

    4. Tepat waktu ( up to date), khususnya jika dipergunakan sebagai alat control dan evaluasi.

    5. Relevan, artinya harus ada hubungannya dengan persoalan-persoalan yang akan dipecahkan.

  • Pengumpulan data

    Pengumpulan data dibagi atas dua macam yaitu : Populasi dan Sampel

    • Populasi

      Populasi adalah pengumpulan data yang dilakukan terhadap keseluruhan objek yang akan diteliti.

      Contoh : Sensus ( sensus penduduk, sensus pertanian , sensus ekonomi, dll ).

      Dalam suatu penelitian terkadang tidak mungkin mengumpulkan data dari seluruh objeknya. Penyebabnya antara lain:

      1) Terlalu banyak objek yang harus diteliti

      2) Terlalu luas daerah penelitian

      3) Terbatasnya tenaga yang ada

      4) Terbatasnya dana yang tersedia

      5) Terbatasnya waktu yang tersedia

    • Sampel

      Untuk mengatasi keadaan tersebut maka penelitian hanya dilakukan pada objek yang akan diteliti, namun dianggap sudah dapat mewakili keseluruhan objek yang akan diteliti.

      Pengumpulan data seperti ini disebut Sampel ( sampling )

      Contoh : Pengambilan data hasil pemilu untuk perhitungan cepat hasil pemenang pemilu.

  • Metode / cara mengumpulkan data

    Untuk mengumpulkan data dapat dilakukan cara-cara sebagai berikut:

    • Pengamatan (observasi), mengumpulkan data dengan cara pengamatan lebih baikkarena masalah yang akan diselidiki langsung diamati oleh pengamat. Kelemahannyaadalah tergantung pada pengamat untuk menarik kesimpulan.

    • Penelusuran literature, mengumpulkan data dengan cara menelusuri literatur sangat mudah dan murah biayanya, karena langsung mengambil data dari masmedia yang ada ( Buku, majalah, Koran, selebaran), tetapi kadang kala kebenaran dari data tersebut kurang dapat dipertanggungjawabkan ( terutama dari media majalah, Koran, selebaran )

    • Penggunaan kuisioner (angket), mengumpulkan data dengan cara kuesioner adalah membuat lembar pertanyaan yang dikirim kepada responden. Bentuk pertanyaan harus singkat dan jelas, yang mencakup semua masalah yang ingin diselidiki. Cara ini cukup baik dan biayanya rendah.

      Kelemahannya adalah jawaban yang dibuat oleh responden sering tidak benar ( dibuat-buat) dan sedikit sekali yang m engembalikan lembaran tersebut.

    • Wawancara (interview) , mengumpulkan data dengan cara wawancara dilakukann secara langsung kepada objek yang akan diselidiki dengan cara tanya jawab. Cara ini cukup baik dan mudah karena data diperoleh secara langsung. Kelemahannya adalah waktu sangat lama serta biaya tinggi. Selain itu seorang pewawancara ( pewara ) harus memiliki keahlian serta kepandaian khusus dan pengalaman yang luas.

  • Pembagian data

    • Menurut Sifatnya

      Ditinjau dari sifatnya, data dibagi menjadi dua bagian, yaitu :

      • Data kuantitatif , yaitu data yang dinyatakan dalam bentuk angka/ bilangan , misalnya : 100 km, 15 ton, dan 25 liter.

      • Data kualitatif, yaitu data yang tidak dinyatakan dalam bentuk angka (menurut mutu /kualitas), misalnya warna kulit, kewarganegaraan, status seseorang, jenis kelamin.

    • Menurut Sumbernya

      Ditinjau dari sumbernya, data dibagi menjadi dua bagian, yaitu :

      • Data Intern , yaitu data yang diperoleh langsung dari instansi atau suatu organisasi.

        Data intern diolah untuk kemajuan dan perkembangan instansi atau organisasi itu sendiri.

      • Data ekstern, yaitu data yang diperoleh di luar instansi atau organisasi itu sendiri dan sifatnya umum. Data ekstern berguna untuk fungsi kontrol dan evaluasi ke dalam dari suatu instansi atau organisasi yang saling berkaitan / sejenis yang saling mempengaruhi satu sama lainnya. Misalnya hasil produksi ditingkatkan, sedangkansirkulasi barang di pasar lamban, maka hal ini akan mengakibatkan penumpukanbarang di gudang ( tidak efisien ).

    • Menurut cara memperolehnya

      Ditinjau dari cara memperolehnya, data dibagi menjadi dua bagian, yaitu :

      • Data primer , yaitu data yang dikumpulkan suatu badan atau instansi dan diterbitkan oleh badan atau instansi itu sendiri.

        Contoh:

        Biro Pusat Satistik Indonesia mengumpulkan data dari berbagai pihak, baik instansi Pemerintah maupun Swasta. Data tersebut diolah dan disajikan baik dalam tabel maupun dalam diagram, kemudian diterbitkan oleh Biro Pusat Statistik. Data tersebut boleh digunakan oleh siapapun baik Pemerintah maupun Swasta.

      • Data sekunder , yaitu data yang dilaporkan oleh suatu badan atau instansi, sedangkan instansi tersebut tidak langsung mengumpulkan sendiri, tetapi memperolehnya dari pihak lain yang telah mengumpulkan terlebih dahulu dan menerbitkannya.

    • Menurut Batasannya

      Ditinjau dari batasannya, data dibagi menjadi dua bagian yaitu :

      • Data diskrit , yaitu data yang hanya mempunyai jumlah data ( nilai-nilai ) yang sangat terbatas. Misalnya data jumlah karyawan sebuah perusahaan dan data jumlah siswa sebuah sekolah.

      • Data kontinu, yaitu data yang secara teoritis mempunyai nilai pengamatan yang tidak terbatas ( terus-menerus).

    • Menurut Nilainya

      Ditinjau dari ukuran nilainya, data dibagi menjadi dua bagian, yaitu :

      • Data statis, yaitu data yang mempunyai nilai tetap dan terbatas dalam setiap utaran ( cycle ) atau periode tertentu. Misalnya data jumlah jam dalam satu hari, jumlah hari dalam satu bulan dan jumlah bulan dalam satu tahun.

      • Data dinamis, yaitu data yang mempunyai nilai turun naik ( fluktuatif) mengikuti situasi tertentu. Misalnya, hasil penjualan sebuah barang, volume impor / ekspor.

  • Penyusunan data

    Data yang sudah terhimpun ( terkumpul ) selanjutnya harus diatur, disusun, dan diklasifikasikan.

    Penyusunan data terbagi atas :

    • Data Tungal

      Data tunggal adalah data yang disusun sendiri menurut nilai dan besarnya masing-masing.

      Sebagai contoh perhatikan data berikut:

      Hasil ulangan mata pelajaran matematika dari 20 siswa kelas XI sebagai berikut:

      25, 30, 45, 50, 30, 50, 85, 70, 65, 70, 50, 45, 25, 30, 70, 45, 50, 75, 80, 40

    • Data tunggal Berbobot

      Data berbobot adalah data tunggal yang jumlah data atau bobotnya lebih banyak, sehingga perlu disusun dalam tabel yang disebut tabel distribusi frekuensi tunggal.

      Sebagai contoh perhatikan data berikut :

      Hasil ulangan dari 40 siswa salah satu SMA di Jakarta sebagai berikut:

      25, 30, 45, 50, 30, 50, 75, 70, 65, 70,

      50, 45, 25, 30, 70, 45, 50, 75, 80, 40,

      45, 60, 70, 75, 80, 60, 35, 40, 50, 30,

      25, 50, 60, 60, 75, 80, 60, 55, 60, 35.

      Data tersebut kita susun menjadi data berbobot sebagai berikut:

      Statistika Data Tunggal

      (dari terkecil sampai terbesar)

    • Data Kelompok

      Data kelompok adalah data yang nilainya dikelompokkan dalam beberapa kelas, dan setiap kelas mempunyai interval nilai tertentu

      Nilai matematika 64 orang

      Nilai

      Frekuensi

      11 – 25

      26 – 40

      41 – 55

      51 – 70

      71 – 85

      86 – 100

      3

      7

      12

      23

      11

      8



Sebagai contoh :

1.

Seseorang akan melakukan penelitian tentang “Korelasi antara kekuatan ekonomi keluarga dan keberhasilan belajar” di sekolah SMA Negeri 1 Ambarawa yang jumlah siswanya 860 orang . Karena dirasa datanya terlalu banyak, maka dari 24 kelas yang ada tiap kelas diambil 5 orang perwakilan. Tentukan

a. Populasinya

b. sampelnya

c. banyaknya anggota populasi

d. banyaknya anggota sampel

Lihat Penyelesaian

2.

Data : 1, 4 , 7, 3, 3 , 4, 5, 6, 7, 8 , 9, 7 , 5, 6, 7 , 1, 3, 6, 5, 4, 8, 9, 0, 4, 5, 6, 7, 8

Dari data di atas, tunjukkanlah

a. sebagai data tunggal yang berurutan

b. sebagai data tunggal yang berbobot

c. sebagai data berkelompok yang terdiri dari 4 kelas.

Lihat Penyelesaian

3.

Kebanyakan nilai dari sebuah data adalah positif, berikan contoh data yang memuat nilai negatif ?

Lihat Penyelesaian

B. BEBERAPA BENTUK PENYAJIAN DATA

Di bawah ini diberikan beberapa contoh penyajian data yang umum (sering dipakai), agar mudah dimengerti oleh orang yang membaca data

  • Statistik lima serangkai

    Statistika Data Tunggal

    Keterangan : xmin adalah nilai terkecil data, dan xmax adalah nilai terbesar data. Sedangkan Q1, Q2, Q3 berturut-turut adalah kuartil bawah, kuartil tengah (median), kuartil atas.

    (akan dipelajari di sub bab C. Ukuran pemusatan data )

  • Diagram kotak garis, ini hampir mirip dengan statistik lima serangkai

    Statistika Data Tunggal

  • Diagram batang-daun

    Diagram ini sangat membantu dalam membaca data tunggal

    Statistika Data Tunggal

    Dari diagram batang daun di atas, angka-angka yang ada di batang menunjukkan angka puluhan, dan angka di daun menunjukkan satuan.

    Jika di sajikan biasa datanya adalah:

    21 22 23 30 33 33 34 39 39 42 42 44 45 45 48 49 55 56 57 58 59 60 61 61 63

  • Diagram batang (histogram) dan garis (polygon)

    Statistika Data Tunggal

  • Diagram lingkaran

    Misalnya ingin me nyajikan data pekerjaan dari 200 orang yang terdiri dari :

    80 orang bekerja sebagai buruh, 70 petani , 20 orang pegawai negeri sipil , dan sisanya wiraswasta.

    Statistika Data Tunggal

    Keterangan :

    dalam prosentase

    dalam derajat

    Buruh

    80200×100%=40%

    80200×360°=144°

    Petani

    70200×100%=35%

    70200×360°=126°

    Wiraswasta

    30200×100%=15%

    30200×360°=54°

    PNS

    20200×100%=10%

    20200×360°=36°

  • Ogif (diagram dari distribusi ferkuensi kumulatif)

    Di bawah ini diberikan contoh ogif dan cara menerjemahkan dalam tabel

    Statistika Data Tunggal

    Statistika Data Tunggal



Sebagai contoh :

1.

Ubahlah data di bawah ini dalam bentuk diagram batang-daun

  • Data : 21 33 45 22 17 8 19 36 45 38 29 48 17 40 36 28 29 45 27 25

    36 3 6 33 28 20 18 6 22 46 37 45 28 34 15 17 29 48 49 17 5

  • Data dari umur 40 orang

    Laki-laki : 17 28 39 37 17 8 19 25 33 36 34 7 9 9 12 14 25 22 28 21 18

    Perempuan : 16 18 24 8 19 39 33 38 14 17 28 39 33 24 8 7 12 19 20

Lihat Penyelesaian

2.

Tentukan nilai dari x max , x min , kuartil atas, kuartil tengah, dan kuartil bawah dari data yang disajikan di bawah ini

a. Statistika Data Tunggal

b. Statistika Data Tunggal

Lihat Penyelesaian

3.

Dari hasil survey terhadap 480 siswa SMP Pangudi Luhur Ambarawa, 72 mengikuti ekstra kurikuler Basket, 144 orang mengikuti ekstra kurikuler Badminton, 48 orang mengikuti ekstra kurikuler Volley, 24 orang mengikuti ekstra kurikuler Floorball, dan sisanya mengikuti Futsal.

Dari data diatas, sajikanlah dalam bentuk

a. Diagram garis (polygon)

b. diagram batang (histogram)

c. diagram lingkaran (memakai prosentase)

d. diagram lingkaran (memakai derajat)

Lihat Penyelesaian

4.

Di bawah ini adalah histogram dari Lulusan SMA Wisata Rawa Pening yang diterima di Perguruan tinggi Negeri, dan diagram lingkaran untuk lulusan tahun 2013

Statistika Data Tunggal

  • Tentukan prosentase kenaikan jumlah siswa yang diterima di perguruan tinggi negeri dari tahun 2014 ke tahun 2015

  • Tentukan perbandingan banyaknya lulusan SMA Wisata Rawa Pening yang langsung kerja dan yang tidak sekolah pada tahun 2013 ?

Lihat Penyelesaian

C. UKURAN PEMUSATAN DATA

Ukuran pemusatan data adalah sebuah nilai dari data yang yang bisa mewakili data dan menunjukkan karakteristik dari data itu.

  • Mean ( x ̅ ) atau rata-rata atau rataan hitung

    adalah jumlah semua data dibagi dengan banyaknya data .

    Untuk data tunggal x ̅ = x 1 + x 2 + + x n n

    = x i n

    Untuk data berbobot x ̅ = f 1 x 1 + f 2 x 2 + + f n x n f 1 + f 2 + + f n

    = f i x i fi

    = f i x i n

    Rata rata gabungan x ̅ = x ̅ 1 n 1 + x ̅ 2 n 2 + + x ̅ k n k n 1 + n 2 + + n k

    Rumus mencari rata-rata dengan cara Coding untuk data tunggal berbobot adalah :

    x ̅ = x ̅ s + f i u i n c

    x ̅ s adalah rata-rata sementara

    u i adalah kode - 2 , - 1,0 , 1,2 ,

    c selisih nilai data berdekatan

  • Modus adalah nilai dari data paling sering muncul

    contoh :

    (1) untuk data : 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 6 , 6 , 7 , 7 , 8 , 8

    modusnya = 6

    (2) untuk data tunggal berbobot

    Nilai

    2 3 4 5 6 7 8

    Frekuensi

    2 4 7 8 6 5 1

    Datum dengan frekuensi terbanyak adalah modusnya

    Jadi modusnya adalah 5

  • Median adalah nilai tengah dari data yang nilainya sudah diurutkan

    Letak nilai datanya adalah di data n + 1 2

    Untuk data : x 1 , x 2 , x 3 , …, x n maka mediannya adalah Me = x n+12

    contoh :

    (1) data : - 3 , 1 , 4 , 5 , 9 banyak datum n = 5

    Me = x 5+12 Mediannya terletak di datum ke 3

    = x 3

    = 4

    Statistika Data Tunggal

    (2) data : 2 , 4 , 5 , 5 , 6 , 7 , 9 , 10 banyak datum n = 8

    Me = x 8+12 Mediannya terletak di datum ke 9 2

    = x 4 + x 5 2

    = 5 + 6 2

    = 5,5

    Statistika Data Tunggal



Sebagai contoh :

1.

Tentukan mean dari data di bawah ini dengan

Nilai

4   5   6     7       8     9   10

Frekuensi

7   9   11   13   15     8   3

a. cara biasa

b. cara coding

Lihat Penyelesaian

2.

Tentukan mean dari data di bawah ini dengan cara coding dan memilih

Nilai

3     6     9     12   15   18   21   24

Frekuensi

7   11   17     23   18   16   14   6

a. rata-rata sementaranya 15

b. rata-rata sementaranya 12

Lihat Penyelesaian

3.

Tentukan mean, modus dan median dari data : 1, 3, 5, 5, 6, 10

Lihat Penyelesaian

4.

Tentukan mean, modus, dan median dari data

Nilai

3   4   5     6   7   8

Frek

2   8   8   10   9   3


Lihat Penyelesaian

5.

Jika rata-rata : 1 , 9 , 7 , a , 5 , a + 1 , 3 , 16 adalah 7,5 , maka tentukan

a. nilai a

b. mediannya

c. modusnya

Lihat Penyelesaian

6.

Jika mean dari data di bawah ini adalah 7,5 maka tentukan

Nilai

4   5   6   7   8       9       10

Frekuensi

1   2   7   a   10   a-4     4

a. nilai a

b. mediannya

c. modusnya

Lihat Penyelesaian

7.

Statistika Data Tunggal

Gambar di atas adalah histogram dari nilai matematika di sebuah sekolah, dari data di atas, tentukan

a. Median, modus, dan mean dari nilai murid laki-laki

b. Median, modus, dan mean dari nilai murid perempuan

c. Median, modus, dan mean dari nilai keseluruhan murid

Lihat Penyelesaian

8.

Jika rata-rata dari tinggi badan pegawai laki-laki dari PT AMBARAWA PRIMA adalah 168 cm , sedangkan rata-rata tinggi badan pegawai perempuan adalah 160 cm . Jika rata-rata dari seluruh seluruh karyawan yang jumlahnya 320 orang adalah 163 cm , maka tentukan jumlah pegawai perempuannya ?

Lihat Penyelesaian

9.

Rata-rata umur penduduk RT 05 RW 02 di desa Bejalen Ambarawa yang jumlahnya 140 orang adalah 26 tahun. Jika rata-rata umur anak-anak yang jumlahnya 38 orang adalah 10 tahun, rata-rata umur dewasanya adalah 20 tahun, dan rata-rata umur penduduk tuanya adalah 40 tahun, maka tentukan selisih banyaknya penduduk tua dan dewasa ?

Lihat Penyelesaian

10.

Rata-rata nilai ulangan matematika 32 murid adalah 72 , jika nilai dari 8 orang yang lain digabungkan, maka rata-ratanya menjadi 75 , maka tentukan rata-rata nilai dari 8 orang yang digabungkan ?

Lihat Penyelesaian

11.

Jika mean dari data : x 1 , x 2 , x 3 , , x 20 adalah 66 . Tentukan rata-rata dari

a. 2 x 1 - 1 , 2 x 2 - 1 , 2 x 3 - 1 , , 2 x 20 - 1

b. 1 3 x 1 + 1 , 1 3 x 2 + 2 , 1 3 x 3 + 3 , , 1 3 x 20 + 20

Lihat Penyelesaian

12.

Jika median dari data di bawah ini adalah 6 , maka tentukan

Nilai

4   5   6   7   8

Frekuensi

1   6   a   7   5

a. nilai dari a minimal

b. rata-ratanya untuk a yang minimal

Lihat Penyelesaian

D. UKURAN LETAK DATA TUNGGAL

Ukuran letak data yang paling sering dipakai adalah kuartil, desil, dan persentil.

  • Kuartil Q i adalah ukuran letak dari data, sehingga data yang ada dibagi menjadi 4 bagian sama besar, seperti kita memotong sebuah roti menjadi 4 bagian, maka kita harus memotong sebanyak 3 kali , jadi ada Q 1 ( kuartil pertama/ kuartil bawah) , Q 2 ( kuartil kedua/ kuartil tengah / median) , dan Q 3 ( kuartil ketiga/ kuartil atas) .

    Q i = x i ( n + 1 ) 4 x in + 2 4 untuk n ganjil untuk n genap i = 1 , 2 , 3

    x i ( n + 1 ) 4 adalah nilai datum yang ke i ( n + 1 ) 4 dan x in + 2 4 adalah nilai datum yang ke in + 2 4

    Contoh : (1) Data : 1, 4, 5, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13

    Banyak data n=10 (genap)

    Q 1 = x 1 ( 10 ) + 2 4 = x 3 = 5

    Q 2 = x 2 ( 10 ) + 2 4 = x 5,5 = x 5 + x 6 2 = 6 + 7 2 = 6,5

    Q 3 = x 3 ( 10 ) + 2 4 = x 8 = 11

    Statistika Data Tunggal

    (2) Data :

    Banyak data n=27 (ganjil)

    Q 1 = x 1 ( 27 + 1 ) 4 = x 7 = 6  

    Q 2 = x 2 ( 27 + 1 ) 4 = x 14 = 7

    Q 3 = x 3 ( 27 + 1 ) 4 = x 21 = 8

    Statistika Data Tunggal

  • Desil D i adalah ukuran letak dari data, sehingga data yang ada dibagi menjadi 10 bagian sama besar, seperti kita memotong sebuah roti menjadi 10 bagian, maka kita harus memotong sebanyak 9 kali, jadi ada D 1 ( desil pertama ), D 2 ( desil kedua ), …, D 5 ( desil kelima = median ) , …, D 10 (desil kesembilan).

    Rumus untuk desil : D i = x i ( n + 1 ) 10

    x i ( n + 1 ) 10 adalah nilai datum yang ke i ( n + 1 ) 10

    Contoh data : 3, 5, 6, 9, 10, 10, 11, 12, 15, 17, 22

    Banyak datum adalah n=11

    D 3 = x 3 ( 11 + 1 ) 10 = x 3,6

    = x 3 + 0,6 x 4 - x 3     x 3 adalah data ketiga

    = 6 + 0,6 ( 9 - 6 )

    = 7,8

  • Persentil P i adalah ukuran letak dari data, sehingga data yang ada dibagi menjadi 100 bagian, P 1 (Persentil pertama), P 2 (persentil kedua), …, P 50 ( persentil kelimapuluh = median ) , …, P 100 (Persentil keseratus).

    Rumus untuk Persentil : P i = i ( n + 1 ) 100

    x i ( n + 1 ) 100 adalah nilai datum yang ke i ( n + 1 ) 100

    Contoh data : 3, 5, 6, 9, 10, 10, 11, 12, 15, 17, 22, 23, 24, 29

    Banyak data adalah n=14

    P 66 = x 66 ( 14 + 1 ) 100 = x 9,9 = x 9 + 0,9 x 10 - x 9

    = 15 + 0,9 ( 17 - 15 )

    = 16,8



Sebagai contoh :

1.

Tentukan ketiga kuartil dari data di bawah ini

a. data : 3, 4, 5, 6, 8

b. data : 4, 6, 6, 7, 8, 10

c. data : 7, 3, 4, 2, 1, 5, 9, 10, 3, 7

d. data : 6, 7, 1, 11, 3, 9, 10, 10, 2, 9, 2, 1, 7

Lihat Penyelesaian

2.

Tentukan ketiga kuartil dari data yang disajikan dalam table di bawah ini.

a.Statistika Data Tunggal

b.Statistika Data Tunggal

Lihat Penyelesaian

3.

Diberikan data : 9, 4, 1, 2, 5, 3, 2, 8, 7, 10, 9 . Tentukan

a. Kuartil bawah  

b. Kuartil tengah

c. Kuartil atas

d. Desil kedelapan

e. Desil ketiga

f . Persentil ketigabelas

Lihat Penyelesaian

4.

Diberikan data tunggal berbobot :

Statistika Data Tunggal

Tentukan nilai dari

  1. Kuartil bawah  

  2. Kuartil tengah  

  3. Kuartil atas  

  4. Desil ketujuh

  5. Desil empat

  6. Persentil kelima puluh tiga

Lihat Penyelesaian

5.

Diketahui data yang nilai datumnya sudah diurutkan : 2 , 5 , 6 , 7 , 11 , a , a + 2 , 17

Jika kuartil atasnya adalah 14 , maka tentukan  

a. nilai dari a

b. desil ketujuh

c. Persentil ke 72

Lihat Penyelesaian

6.

Diketahui data yang sudah terurut : 2, a, b, 9. Jika data ini tidak mempunyai modus, dan mediannya adalah 5,5 maka tentukan nilai maksimum dari Q 3 + 2 Q 1 ?

Lihat Penyelesaian

7.

Dari data di bawah ini diketahui bahwa kuartil atasnya adalah 4 , tentukan

Statistika Data Tunggal

a. batas nilai k

b. Untuk nilai k yang terbesar tentukan kuartil bawahnya

Lihat Penyelesaian

8.

Pada diagram batang daun di bawah ini, tentukan nilai dari

a. Kuartil bawah

b. Kuartil tengah

c. Kuartil atas

d. Desil kelima

e. Persentil kelima puluh

Statistika Data Tunggal

Lihat Penyelesaian

9.

Di bawah ini diagram daun dari umur 56 orang karyawan sebuah perusahaan. Dari data di bawah ini, untuk masing-masing jenis kelamin, tentukan perbandingan dari

a. Kuartil bawah

b. Kuartil tengah

c. Kuartil atas

Statistika Data Tunggal

Lihat Penyelesaian

10.

Sebuah data terdiri dari 4 buah datum yang semuanya bernilai bulat, dengan Q 1 = 8 , Q 2 = 10 , dan Q 3 = 11 , Jika selisih antara datum terbesar dan terkecil adalah 5 , maka tentukan kemungkinan datanya?

Lihat Penyelesaian

E. UKURAN PENYEBARAN DATA

Untuk mengetahui gambaran dari sekumpulan data kita memerlukan ukuran dari penyebaran data. Sebagai ilustrasi, misalnya kita mendengar sekilas bahwa rata-rata umur pemain klub sepak bola Juventus adalah 28 tahun, informasi ini akan lebih lengkap jika diberikan tambahan misalnya simpangan bakunya 8 , maka kita bisa memprediksikan bahwa umur pemain juventus tersebar dari yang kira-kira umurnya 20 tahun sampai 35 tahun.

Beberapa ukuran dari penyebaran data adalah

a. Jangkauan /Range/ Rentang nilai

R = x max - x min

b. Jangkauan antar kuartil/ Rentang kuartil/Hamparan

H = Q 3 - Q 1

c. Langkah L = 3 2 H

d. Simpangan rata-rata

untuk data tunggal SR = x i - x ̅ n

untuk data tunggal berbobot SR = f 1 x i - x ̅ n

e. Variansss / Ragam

untuk data tunggal S 2 = x i - x ̅ 2 n

untuk data tunggal berbobot S 2 = f i x i - x ̅ 2 n

f. Simpangan baku/standar deviasi (akar dari Variansss)

untuk data tunggal S = x i - x ̅ 2 n

untuk data tunggal berbobot S = f i x i - x ̅ 2 n

Rumus lain untuk

variansss data tunggal

S 2 = 1 n x i 2 - x i n 2

data tunggal berbobot

S 2 = 1 n f i x i 2 - f i x i n 2

 

Secara logika cara mencari simpangan rata-rata, Variansss , dan simpangan baku untuk data tunggal tanpa menggunakan rumus adalah sebagai berikut :

Misalnya diberikan data : 1 , 3 , 3 , 5 , 8 x ̅ = 1 + 3 + 3 + 5 + 8 5 = 4

Penyimpangan masing-masing data ke rata-rata adalah : 3 , 1 , 1 , 1 , 4

Dari hasil penyimpangan tiap data kita rata-rata lagi didapat simpangan rata-rata

SR = 3 + 1 + 1 + 1 + 4 5 = 2

Untuk mencari Variansss , tiap hasil penyimpangan dikuadratkan

S 2 = 3 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 4 2 5 = 5,6

Dan simpangan bakunya adalah S = 5,6



Sebagai contoh :

1.

Tentukan simpangan rata-rata, Varians , dan simpangan baku tanpa menggunakan rumus, untuk sekumpulan data : 10, 8, 7, 1, 4, 5, 14

Lihat Penyelesaian

2.

Diberikan data : 1 , 2 , 4 , 7 , 11 , 19 , 5 , 5 , 7 . Tentukan nilai dari

a. Jangkauan  

b. Hamparan

c. Langkah

d. Simpangan rata-rata

e. Varians

f. Simpangan baku

Lihat Penyelesaian

3.

Diketahui sebuah data :

1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 10, 1 3

Tentukan nilai dari

a. Jangkauan  

b. Hamparan    

c. Langkah

d. Simpangan rata-rata

e. Varians

f. Simpangan baku

Lihat Penyelesaian

4.

Tentukan Varians dari data : 1, 5, 10, 12 dengan

a. rumus S 2 = 1 n x i - x ̅ 2  

b. rumus S 2 = 1 n x i 2 - x i n 2

Lihat Penyelesaian

5.

Tentukan simpangan rata-rata dan simpangan baku dari data di bawah ini

Statistika Data Tunggal

Lihat Penyelesaian

6.

Jika rataan hitung data di bawah ini adalah 7,2 , maka tentu kan nilai dari a dan simpangan rata-ratanya

Statistika Data Tunggal

Lihat Penyelesaian

7.

Sebuah sampel yang terdiri dari 25 datum mempunyai x i 2 = 1225 dan Variansnya 14 , jika 3 buah datum yang nilainya berturut-turut 6 , 9 , 10 digabungkan maka tentukan nila dariVarians yang baru ?

Lihat Penyelesaian

8.

Sekumpulan data : x 1 , x 2 , x 3 , …, x 25 , mempunyai rata-rata 20 dan dengan simpangan bakunya 4 . Jika 5 buah datum yang baru yang nilainya berturut-turut 5 , 10 , 10 , 20 , dan 25 digabungkan, maka tentukan rata-rata dan simpangan baku yang baru ?

Lihat Penyelesaian

F. ALJABAR STATISTIKA

Dari sub bab di atas, kita dapatkan rumus-rumus sebagai berikut

UKURAN PEMUSATAN DATA

1. Mean/rataan hitung/rata-rata x ̅ = x i n (data tunggal)

Dan x ̅ = f i x i n (untuk data tunggal berbobot)

2. Median/nilai tengah Me = x n + 1 2

3. Modus/mode : nilai data yang paling sering muncul, atau nilai data yang memiliki frekuensi terbanyak.

NILAI LETAK

  • 1. Kuartil : nilai letak pembagi data menjadi 4 bagian

    Q i = x i ( n + 1 ) 4 untuk banyaknya data ganjil

    Q i = x ( in + 2 ) 4 untuk banyaknya data genap

  • Desil : nilai letak pembagi data menjadi 10 bagian

    D i = x i ( n + 1 ) 10

  • persentil : nilai letak pembagi data menjadi 100 bagian

    D i = x i ( n + 1 ) 100

UKURAN PENYEBARAN DATA

  • Range/jangkauan R=xmax-xmin

  • Jangkauan antar kuartil/Hamparan H=Q3-Q1

  • Jangkauan semi kuartil/simpangan kuartil Qd=Q3-Q12

  • Simpangan rata-rata

    SR = x i - x ̅ n untuk data tunggal

    SR = f i x i - x ̅ n untuk data tunggal berbobot

  • Varians/ragam

    Untuk data tunggal :

    S 2 = x i - x ̅ 2 n atau S 2 = 1 n x i 2 - x i n 2

    Untuk data tunggal berbobot

    S 2 = f i x i - x ̅ 2 n atau S 2 = 1 n f i x i 2 - f i x i n 2

  • Simpangan baku atau standar deviasi S = S 2

Beberapa tambahan :

  • Rataan kuartil = Q 1 + 2 Q 2 + Q 3 4 , Rataan tiga = Q 1 + Q 3 2

  • Pencilan (nilai data yang berada di luar karakteristik data tersebut)

    Data normal jika P d x i P l , dan jika di luar batas ini disebut Pencilan .

    Dimana P d = Q 1 - L , P l = Q 3 + L , dan L = 3 2 ( Q 3 - Q 1 )

    P d (pagar dalam) , P l (pagar luar) dan L (langkah)

    Sebagai ilustrasi : Di desa Bejalen Ambarawa yang terdiri dari 600 keluarga, dilakukan penelitian terhadap pendapatan rata-rata bulanan tiap keluarga . Dari hasil penelitian diperoleh rata-rata pendapatan tiap keluarga adalah 15 juta, tentu saja hal ini sangatlah aneh, karena rata-rata penduduknya hidup sederhana. Setelah dikaji ulang ternyata kebanyakan penduduk (modusnya) mempunyai pendapatan 5 juta perbulan , dan mediannya adalah 4 juta. Tentu saja data ini memuat pencilan , misalnya di desa ini tinggal seorang pengusaha yang penghasilannya 1 miliar perbulan, nilai penghasilan dari pengusaha ini yang disebut sebagai pencilan.

  • Penambahan dan perkalian bilangan real yang sama pada setiap data

    Data : x 1 , x 2 , x 3 , …, x n

    Jika setiap nilai data dikalikan a , akan menjadi : a x 1 , a x 2 , a x 3 , …, a x n

    Jika setiap nilai data ditambah b , akan menjadi : x 1 + b , x 2 + b , x 3 + b , …, x n + b

    Akibatnya jika setiap nilai dari data dikalikan dengan a , kemudian nilainya ditambah dengan b , maka bisa disimpulkan sebagai berikut :

 

Pemusatan data

Nilai letak

Penyebaran data

Data awal :

x 1 , x 2 , …, x n

x ̅ , Me , Mo

Q i , Di, Pi

R , H, SR, S, S2

Dikalikan a :

a x 1 , a x 2 , …, a x n

a x ̅ , aMe , aMo

a Q i , aDi, aPi

aR , aH, aSR, aS, a2S2

Ditambah b :

x 1 + b , x 2 + b , …, x n + b

x ̅ + b , Me+b , Mo+b

Q i + b , Di+b, Pi+b

Nilainya tetap :

R , H, SR, S, S2

Dikalikan a kemudian ditambah b:

a x 1 + b , ax 2 + b , …, ax n + b

a x ̅ + b , aMe+b , aMo+b

aQ i + b , aDi+b, aPi+b

aR , aH, aSR, aS, a2S2



Sebagai contoh :

1.

Sekumpulan data mempunyai jangkauan 25 , dengan nilai datum terendahnya 4 , rataan kuartilnya 13 , rataan tiganya 13,5 , dan simpangan kuartilnya 7 . Sajikan data ini dalam

a. statistik lima serangkai

b. diagram kotak dan garis

Lihat Penyelesaian

2.

Diberikan data : 2 , 3 , 4 , 5 , 5 . Jika setiap nilai data dikalikan dengan 2 dan kemudian ditambah 1 , maka tentukan nilai dari

a. rata-rata dari data yang lama dan data yang baru

b. kuartil atas dari data yang lama dan data yang baru

c. simpangan baku dari data yang lama dan data yang baru

Lihat Penyelesaian

3.

Hasil ulangan dari 40 siswa kelas XI diperoleh rata-rata 38 , dan simpangan bakunya 9 . Agar diperoleh hasil yang bagus, maka setiap nilai data dikalikan 2 kemudian dikurangi 5 . Tentukan rata-rata dan simpangan baku yang baru ?

Lihat Penyelesaian

4.

Sebuah data mempunyai rata-rata 12 , simpangan rata-rata 4 , dan mediannya 13 . Jika setiap nilai dari data dikalikan dengan a dan kemudian ditambah dengan b , maka diperoleh rata-rata yang baru 53 dan simpangan rata-rata yang baru 12 . Tentukan

a. nilai a dan b

b. nilai dari median yang baru.

Lihat Penyelesaian

5.

Sebuah data mempunyai kuartil bawah 12 , Varians 12 , dan modusnya 20 . Jika setiap nilai dari data ditambah dengan p dan kemudian di kalikan dengan q , maka diperoleh kuartil bawah yang baru 52 dan Varians yang baru 192 . Untuk q > 0 maka t entukan

a. nilai p dan q

b. nilai dari modus yang baru.

Lihat Penyelesaian

6.

Diberikan data : 1 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 7 , 7 , 13 . Tentukan

a. Hamparan

b. pagar dalam dan pagar luar

c. Jika ada, tentukan pencilannya

Lihat Penyelesaian

7.

Sebuah data mempunyai simpangan kuartil 8 dan rataan kuartil 19 ,

a. jika jangkauannya 65 , apakah pasti ada pencilannya

b. Tentukan jangkauan maksimal agar data ini tidak mempunyai pencilan

Lihat Penyelesaian

8.

Sebuah sampel yang bernilai bulat diperoleh dari tujuh pengamatan, Jika rataan hitung dan median dari sampel berturut-turut adalah 12 dan 15 , maka tentukan

a. Jangkauan terkecilnya

b. untuk nilai jangkauan terkecilnya, tentukan simpangan bakunya

Lihat Penyelesaian

9.

Dari pengamatan penjualan rumah selama empat hari diperoleh data banyaknya rumah yang terjual dari hari pertama sampai ke empat dengan informasi bahwa jangkauannya 20 , rata-ratanya 14 , dan mediannya 14 . Jika data ini mempunyai modus yang tunggal, maka tentukan simpangan rata-ratanya ?

Lihat Penyelesaian

10.

Dari data banyaknya pengunjung perpustakaan selama enam hari diperoleh informasi, mediannya adalah Q 1 = 17 , Q 2 = 22 , Q 3 = 24 , dan rangenya 9 . Jika Data ini tidak mempunyai modus, maka tentukan simpangan bakunya ?

Lihat Penyelesaian