F. ALJABAR STATISTIKA

Dari sub bab di atas, kita dapatkan rumus-rumus sebagai berikut

UKURAN PEMUSATAN DATA

1. Mean/rataan hitung/rata-rata x ̅ = x i n (data tunggal)

Dan x ̅ = f i x i n (untuk data tunggal berbobot)

2. Median/nilai tengah Me = x n + 1 2

3. Modus/mode : nilai data yang paling sering muncul, atau nilai data yang memiliki frekuensi terbanyak.

NILAI LETAK

  • 1. Kuartil : nilai letak pembagi data menjadi 4 bagian

    Q i = x i ( n + 1 ) 4 untuk banyaknya data ganjil

    Q i = x ( in + 2 ) 4 untuk banyaknya data genap

  • Desil : nilai letak pembagi data menjadi 10 bagian

    D i = x i ( n + 1 ) 10

  • persentil : nilai letak pembagi data menjadi 100 bagian

    D i = x i ( n + 1 ) 100

UKURAN PENYEBARAN DATA

  • Range/jangkauan R=xmax-xmin

  • Jangkauan antar kuartil/Hamparan H=Q3-Q1

  • Jangkauan semi kuartil/simpangan kuartil Qd=Q3-Q12

  • Simpangan rata-rata

    SR = x i - x ̅ n untuk data tunggal

    SR = f i x i - x ̅ n untuk data tunggal berbobot

  • Varians/ragam

    Untuk data tunggal :

    S 2 = x i - x ̅ 2 n atau S 2 = 1 n x i 2 - x i n 2

    Untuk data tunggal berbobot

    S 2 = f i x i - x ̅ 2 n atau S 2 = 1 n f i x i 2 - f i x i n 2

  • Simpangan baku atau standar deviasi S = S 2

Beberapa tambahan :

  • Rataan kuartil = Q 1 + 2 Q 2 + Q 3 4 , Rataan tiga = Q 1 + Q 3 2

  • Pencilan (nilai data yang berada di luar karakteristik data tersebut)

    Data normal jika P d x i P l , dan jika di luar batas ini disebut Pencilan .

    Dimana P d = Q 1 - L , P l = Q 3 + L , dan L = 3 2 ( Q 3 - Q 1 )

    P d (pagar dalam) , P l (pagar luar) dan L (langkah)

    Sebagai ilustrasi : Di desa Bejalen Ambarawa yang terdiri dari 600 keluarga, dilakukan penelitian terhadap pendapatan rata-rata bulanan tiap keluarga . Dari hasil penelitian diperoleh rata-rata pendapatan tiap keluarga adalah 15 juta, tentu saja hal ini sangatlah aneh, karena rata-rata penduduknya hidup sederhana. Setelah dikaji ulang ternyata kebanyakan penduduk (modusnya) mempunyai pendapatan 5 juta perbulan , dan mediannya adalah 4 juta. Tentu saja data ini memuat pencilan , misalnya di desa ini tinggal seorang pengusaha yang penghasilannya 1 miliar perbulan, nilai penghasilan dari pengusaha ini yang disebut sebagai pencilan.

  • Penambahan dan perkalian bilangan real yang sama pada setiap data

    Data : x 1 , x 2 , x 3 , …, x n

    Jika setiap nilai data dikalikan a , akan menjadi : a x 1 , a x 2 , a x 3 , …, a x n

    Jika setiap nilai data ditambah b , akan menjadi : x 1 + b , x 2 + b , x 3 + b , …, x n + b

    Akibatnya jika setiap nilai dari data dikalikan dengan a , kemudian nilainya ditambah dengan b , maka bisa disimpulkan sebagai berikut :

 

Pemusatan data

Nilai letak

Penyebaran data

Data awal :

x 1 , x 2 , …, x n

x ̅ , Me , Mo

Q i , Di, Pi

R , H, SR, S, S2

Dikalikan a :

a x 1 , a x 2 , …, a x n

a x ̅ , aMe , aMo

a Q i , aDi, aPi

aR , aH, aSR, aS, a2S2

Ditambah b :

x 1 + b , x 2 + b , …, x n + b

x ̅ + b , Me+b , Mo+b

Q i + b , Di+b, Pi+b

Nilainya tetap :

R , H, SR, S, S2

Dikalikan a kemudian ditambah b:

a x 1 + b , ax 2 + b , …, ax n + b

a x ̅ + b , aMe+b , aMo+b

aQ i + b , aDi+b, aPi+b

aR , aH, aSR, aS, a2S2



Sebagai contoh :

1.

Sekumpulan data mempunyai jangkauan 25 , dengan nilai datum terendahnya 4 , rataan kuartilnya 13 , rataan tiganya 13,5 , dan simpangan kuartilnya 7 . Sajikan data ini dalam

a. statistik lima serangkai

b. diagram kotak dan garis

Lihat Penyelesaian

2.

Diberikan data : 2 , 3 , 4 , 5 , 5 . Jika setiap nilai data dikalikan dengan 2 dan kemudian ditambah 1 , maka tentukan nilai dari

a. rata-rata dari data yang lama dan data yang baru

b. kuartil atas dari data yang lama dan data yang baru

c. simpangan baku dari data yang lama dan data yang baru

Lihat Penyelesaian

3.

Hasil ulangan dari 40 siswa kelas XI diperoleh rata-rata 38 , dan simpangan bakunya 9 . Agar diperoleh hasil yang bagus, maka setiap nilai data dikalikan 2 kemudian dikurangi 5 . Tentukan rata-rata dan simpangan baku yang baru ?

Lihat Penyelesaian

4.

Sebuah data mempunyai rata-rata 12 , simpangan rata-rata 4 , dan mediannya 13 . Jika setiap nilai dari data dikalikan dengan a dan kemudian ditambah dengan b , maka diperoleh rata-rata yang baru 53 dan simpangan rata-rata yang baru 12 . Tentukan

a. nilai a dan b

b. nilai dari median yang baru.

Lihat Penyelesaian

5.

Sebuah data mempunyai kuartil bawah 12 , Varians 12 , dan modusnya 20 . Jika setiap nilai dari data ditambah dengan p dan kemudian di kalikan dengan q , maka diperoleh kuartil bawah yang baru 52 dan Varians yang baru 192 . Untuk q > 0 maka t entukan

a. nilai p dan q

b. nilai dari modus yang baru.

Lihat Penyelesaian

6.

Diberikan data : 1 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 7 , 7 , 13 . Tentukan

a. Hamparan

b. pagar dalam dan pagar luar

c. Jika ada, tentukan pencilannya

Lihat Penyelesaian

7.

Sebuah data mempunyai simpangan kuartil 8 dan rataan kuartil 19 ,

a. jika jangkauannya 65 , apakah pasti ada pencilannya

b. Tentukan jangkauan maksimal agar data ini tidak mempunyai pencilan

Lihat Penyelesaian

8.

Sebuah sampel yang bernilai bulat diperoleh dari tujuh pengamatan, Jika rataan hitung dan median dari sampel berturut-turut adalah 12 dan 15 , maka tentukan

a. Jangkauan terkecilnya

b. untuk nilai jangkauan terkecilnya, tentukan simpangan bakunya

Lihat Penyelesaian

9.

Dari pengamatan penjualan rumah selama empat hari diperoleh data banyaknya rumah yang terjual dari hari pertama sampai ke empat dengan informasi bahwa jangkauannya 20 , rata-ratanya 14 , dan mediannya 14 . Jika data ini mempunyai modus yang tunggal, maka tentukan simpangan rata-ratanya ?

Lihat Penyelesaian

10.

Dari data banyaknya pengunjung perpustakaan selama enam hari diperoleh informasi, mediannya adalah Q 1 = 17 , Q 2 = 22 , Q 3 = 24 , dan rangenya 9 . Jika Data ini tidak mempunyai modus, maka tentukan simpangan bakunya ?

Lihat Penyelesaian