A. PENGERTIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER DAN KUADRAT

Persamaan linier adalah persamaan yang tidak memuat variabel berpangkat selain 1 .

Bentuk umum persamaan linier adalah :

ax + b = 0 untuk persamaan linier satu variabel ( x )

ax + by + c = 0 untuk persamaan linier dua variabel ( x dan y )

ax + by + cz + d = 0 untuk persamaan linier tiga variabel ( x , y , dan z )

Dan seterusnya.

Persamaan kuadrat adalah persamaan yang setidaknya memuat variabel berpangkat 2 , dan tidak ada variabel berpangkat lain kecuali berpangkat 1 .

Bentuk umum persamaan kuadrat dua variabel ( x , dan y ) adalah :

a x 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0

Jika b = c = 0 dapat ditulis y = p x 2 + qx + r

Dua buah persamaan dikatakan sama , jika salah satu persamaan kelipatan yang lain

Contoh : persamaan x + 3 y = 11 sama dengan persamaan 2 x + 6 y = 22

Persamaan x - y = 100 sama dengan persamaan 3 y - 3 x = - 300

Siste m persamaan adalah gabungan dari beberapa persamaan , contohnya :

  • a x + by + c = 0 px + qy + r = 0 dengan a , b , c , p , q , r sembarang konstanta adalah sistem persamaan linier dua variabel

  • ax + by + c = 0 y = p x 2 + qx + r dengan a , b , c , p , q , r sembarang konstanta adalah sistem persamaan linier dan kuadrat

Solusi atau jawaban dari sistem persamaan adalah merupakan irisan dari solusi-solusi persamaan didalamnya

Untuk memahami tentang sistem persamaan dan solusi dari sistem persamaan, bisa dilihat dari contoh-contoh soal di bawah ini.



Sebagai contoh :

1.

Tentukan nama-nama dari sistem persamaan di bawah ini, beserta nama variabelnya ?

a. 3 x + 2 y = 6 x - 4 y = - 3

b. 3 x + 2 y + z = 5 2 x - y + 6 z = 10 5 x + 3 y - 7 z = 12

c. 3 x + 2 y = 6 y = 2 x 2 + 3 x - 1

d. 5 x + 7 y = 10 x 2 + 2 xy + y 2 + x + y - 1 = 0

e. 2 a + 3 b = 7 5 a - c = 11 4 b + 5 c = 2

f. y = x 2 - 1 x 2 + 3 xy + 2 y 2 + 4 x - y - 1 = 0

Lihat Penyelesaian

2.

Tentukan grrafik-grafik yang membentuk sistem persamaan linier di bawah ini, kemudian tentukan banyaknya solusi dari tiap sistem persamaan liniernya ?

a. 3 x + 2 y = 12 6 x - 4 y = 12

b. 3 x + 2 y = 12 6 x + 4 y = 12

c. 3 x + 2 y = 12 6 x + 4 y = 24

Lihat Penyelesaian

3.

Tanpa mencari solusinya terlebih dahulu, tentukan banyaknya solusi dari sistem persamaan linier di bawah ini

a. 2 x - y + 5 z = 11 4 x - 2 y + 10 z = 22 3 x + 4 y + 5 z = 33

b. 4 x + 8 y - 2 z = 11 6 x + 12 y - 3 z = 33 x + 4 y + 7 z = 100

Lihat Penyelesaian

4.

Berikan analisis tentang banyaknya solusi dari sistem persamaan linier dua variabel ?

Lihat Penyelesaian

5.

Dalam sistem persamaan linier, jika banyaknya variabel yang digunakan lebih banyak dari persamaannya, kesimpulan apa yang bisa didapat ?

Lihat Penyelesaian

6.

Tanpa mencari solusinya, tentukan banyaknya solusi dari sistem persamaan linier di bawah ini

a. 33 x + 51 y = 123 22 x + 17 y = 82

b. 30 x + 12 y = 111 15 x + 6 y = 11

c. 3 x + 45 y = 345 6 x + 90 y = 690

d. 17 x - 3 y = 11 - 68 x + 12 y = - 44

Lihat Penyelesaian

7.

Tentukan sistem persamaan linier di bawah ini, agar hanya mempunyai solusi tunggal x i , y i , yaitu ( 3 , - 1 )

a. 3 x - 2 y = a 2 x + 3 y = b

b. 5 x + 11 y = a 3 x + 4 y = b

c. 3 x - y = p 4 x + 3 y = q 2 x - 5 y = r

d. 4 x + 5 y = a 5 x - 6 y = b 6 x + 7 y = c 7 x - 8 y = d

Lihat Penyelesaian

8.

Jika x = 2 , y = - 3 , dan z = 5 adalah solusi dari sistem persamaan linier di bawah ini, maka tentukan sistem persamaan liniernya

a. 5 x - y + z = a 4 x - 3 y - z = b 3 x + 8 y + 6 z = c

b. 5 x + 4 y + 3 z = a 6 x + 3 y + 2 z = b 7 x + 2 y + z = c x - 2 y + z = d

Lihat Penyelesaian

9.

Dalam sistem persamaan linier dua variabel, jika banyaknya persamaan lebih dari 2 buah, maka bagaimana solusinya ?

Lihat Penyelesaian

10.

a. Jika ( 2 , - 1 ) adalah solusi dari x + 3 y = p 7 x + 11 y = q , maka tentukan nilai p dan q ?

b. Jika ( - 9 , 6 ) adalah solusi dari x + 2 y = m 7 x + 11 y = n , maka tentukan nilai m dan n ?

c. Jika x 2 + 5 xy + 6 y 2 - 2 x - 7 y - 3 = x + 3 y + 1 x + 2 y - 3 maka tentukan solusi dari 7 x + 11 y = 3 x 2 + 5 xy + 6 y 2 - 2 x - 7 y - 3 = 0 ?

Lihat Penyelesaian

B. PERSAMAAN LINIER SATU VARIABEL

Persamaan linier satu variabel adalah persamaan yang berbentuk ax + b = 0 dengan a , dan b adalah sembarang konstanta, dan a 0 , Variabel bebasnya adalah x .

Semua persamaan linier satu variabel, akan mempunyai solusi tunggal untuk variabelnya.

Kecuali jika ada batasan himpunan dari variabelnya ,

Contoh : persamaan 2 x + 11 = 0 dengan x bilangan asli

Soal ini tidak ada nilai x yang memenuhi.



Sebagai contoh :

1.

Tentukan solusi dari persamaan linier satu variabel di bawah ini

a. 3 x - 12 = 0

b. 3 3 x - 1 + 2 1 - 2 x = 44

c. 2 5 x - 1 + 3 5 x - 1 + 4 5 x - 1 + 5 5 x - 1 + 6 5 x - 1 + 7 5 x - 1 = 108

Lihat Penyelesaian

2.

Di sebuah tempat parkir terdapat sejumlah becak dan sejumlah sepeda motor dengan perbandingan 3 :2. Jika jumlah semua roda becak dan sepeda motor adalah 299 buah, maka berapa banyaknya sepeda motor ?

Lihat Penyelesaian

3.

Segitiga ABC, dengan besar sudut C dua kali sudut B, dan jumlah sudut A dan C adalah 132o, berapakah besar sudut B ?

Lihat Penyelesaian

4.

Uang warisan sebesar 500 juta rupiah akan dibagi kepada 3 orang anaknya dengan perincian sebagai berikut, anak termuda mendapat warisan 34 bagian dari anak kedua, bagian anak pertama 60 juta lebihnya dari anak kedua, berapakah bagian dari anak yang termuda ?

Lihat Penyelesaian

5.

Gaji empat orang karyawan membentuk barisan aritmatika, Jika gaji karyawan yang terendah 1,2 juta dan besarnya gaji terendah kedua adalah 23 kali gaji yang tertinggi, maka berapakah jumlah semua gaji mereka ?

Lihat Penyelesaian

6.

Dua buah bilangan selisihnya 12, jika jumlah kedua bilangan itu adalah 28, berapakah hasil kali kedua bilangan itu?

Lihat Penyelesaian

7.

Jumlah 5 bilangan ganjil berurutan adalah 185 , maka tentukan hasil kali antara bilangan yang terbesar dan terkecil ?

Lihat Penyelesaian

8.

Tentukan nilai x pada gambar-gambar di bawah ini

a.

Sistem persamaan linear dan kuadrat

b.

Sistem persamaan linear dan kuadrat

Lihat Penyelesaian

9.

Selisih antara panjang dan lebar dari sisi-sisi sebuah persegipanjang adalah 10 cm , jika kelilingnya 88 cm , maka tentukan luas persegi panjang tersebut ?

Lihat Penyelesaian

10.

Perbandingan uang Ani, Banu, dan Cano adalah 4 : 3 : 1 . Jika jumlah uang mereka $ 1256 , maka maka tentukan selisih antara uang Ani dan Cano ?

Lihat Penyelesaian

11.

Aksiomaid club mempunyai beberapa member, jika 4000 orang bergabung maka banyaknya member menjadi 3 kali dari member sebelumnya. Tentukan banyaknya member sebelum 4000 orang tersebut bergabung ?

Lihat Penyelesaian

12.

Dua orang guru di SMA Negeri 1 Ambarawa memberikan informasi berbeda tentang jumlah guru di sekolahnya. Bu Atik memberikan informasi bahwa teman guru laki-laki di sekolah saya adalah 5 12 dari total jumlah guru, sedangkan Pak Pracoyo memberikan informasi bahwa teman guru laki-laki saya 2 5 dari total jumlah guru. Jika kedua informasi itu benar, maka tentukan banyaknya guru di SMA Negeri 1 Ambarawa ?

Lihat Penyelesaian

C. PERSAMAAN LINIER DUA VARIABEL

Persamaan linier dua variabel x dan y dinyatakan dalam bentuk ax + by = c dengan a , b , dan c adalah sembarang konstanta, serta a 0 dan b 0

Dalam mencari solusi dari sistem persaman linier, ada banyak cara, tetapi yang akan dipelajari adalah metode : (lihat di contoh soal no 1 dan 2 )

a. substitusi (menggantikan)

b. eliminasi (menjumlahkan atau mengurangkan)

c. gabungan eliminasi dan substitusi

d. Operasi baris elementer



Sebagai contoh :

1.

Carilah solusi dari sistem persamaan linier x - y = 10 3 x + 4 y = 9 dengan menggunakan

a. Metode substitusi

b. Metode eliminasi

c. Gabungan eliminasi dan substitusi

d. Operasi baris elementer

Lihat Penyelesaian

2.

Carilah solusi dari sistem persamaan linier 4 x + 5 y = 3 3 x - 7 y = 13 dengan menggunakan

a. Metode substitusi

c. Gabungan eliminasi dan substitusi

b. Metode eliminasi

d. Operasi baris elementer

Lihat Penyelesaian

3.

Tentukan nilai dari m + 2 n dari tiap persamaan linier di bawah ini ?

a. 2 m + 3 n = 11 3 m - 2 n = 23

b. m - 3 n = 38 7 m + 8 n = 63

c. 1234 m + 345 n = 7654 234 m - 1655 n = - 346

Lihat Penyelesaian

4.

Jika ( a , 2 a ) adalah pasangan nilai x dan y yang memenuhi persamaan x - 3 y = 2 b 3 x + y = b + 1 , maka tentukan nilai dari 2 a - 5 b ?

Lihat Penyelesaian

5.

Tentukan nilai k pada sistem persamaan linier di bawah ini

4 3 x + 5 y - 12 - 16 = 3 x + y - 1 5 2 x - y + 8 - 44 = 4 5 y - x - 3 2 x + y + 1 + 3 x + 2 y + 3 = k

Lihat Penyelesaian

6.

Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linier

a. 1 18 x - 1 3 y = - 1 1 8 x + 1 2 y = 4

b. 1 5 x - 1 7 y = - 1 1 4 x - 1 14 y = 1

Lihat Penyelesaian

7.

Tentukan nilai dari x - 6 y untuk sistem persamaan linier di bawah ini

a. 3 x + 2 y = 15 2 x + 3 y = 20

b. 4 x + 3 y = - 1 6 x - 5 y = 8

Lihat Penyelesaian

8.

Tentukan nilai ( y - x ) untuk siste m persamaan linier di bawah ini

a. 3 x + y - 4 2 x - y - 1 = 5 9 x + y + 4 2 x - y - 1 = - 1

b. 2 x - y - 5 2 x + y - 3 = - 2 6 x - y + 3 2 x + y - 3 = 3

Lihat Penyelesaian

9.

Dua buah bilangan jumlahnya 72, selisih kedua bilangan itu sama dengan dua kali bilangan yang kecil. Berapakah hasil kali kedua bilangan itu ?

Lihat Penyelesaian

10.

Tentukan nilai x dan y pada gambar-gambar di bawah ini

a. Sistem persamaan Linear dan Kuadrat

b. Sistem persamaan Linear dan Kuadrat

Lihat Penyelesaian

11.

Dengan uang $ 40, Andi dapat membeli pen dan pensil sebanyak 29 buah. Jika sebuah pen harganya $ 2 dan pensil harganya $ 0,5, maka tentukan selisih banyaknya pen dan pensil yang dibeli Andi ?

Lihat Penyelesaian

12.

Albert, Birawa, dan Clara pergi bersama-sama ke toko buku untuk membeli beberapa pen dan buku dengan jenis yang sama. Albert membeli 2 buah pen dan 5 buah buku dan Albert harus membayar Rp. 40.000,-. Birawa membeli 4 buah pen dan 3 buah buku, dan Birawa harus membayar Rp. 31.000,- , berapakah yang harus dibayar Clara, jika ia membeli 3 pen dan 4 buku ?

Lihat Penyelesaian

13.

Sebuah pertunjukan komedi ditonton oleh 200 orang. Harga tiket masuk untuk kelas VIP adalah Rp. 20.000,- dan harga untuk kelas ekonomi adalah Rp 10.000,-. Jika pemasukan dari hasil penjualan tiket adalah Rp. 2.800.000,- maka berapakah banyaknya penonton yang membeli tiket Ekonomi ?

Lihat Penyelesaian

14.

Untuk menjaga kesehatan burung ontanya, John setiap harinya harus memberikan 50 unit vitamin A, dan 40 unit vitamin B, untuk itu ia harus memberikan pil sehat dan kapsul sehat setiap harinya. Setiap butir pil sehat mengandung 8 unit vitamin A dan 7 unit vitamin B. Setiap butir kapsul sehat mengandung 6 unit vitamin A dan 4 unit vitamin B. Jika harga setiap butir pil sehat Rp. 2.000,- dan setiap butir kapsul sehat Rp. 3.000,- maka berapakah biaya yang diperlukan setiap hari yang harus dikeluarkan John setiap harinya untuk membeli pil sehat dan kapsul sehat ?

Lihat Penyelesaian

15.

Seorang guru akan membagi permen ke semua siswanya. Jika masing-masing anak mendapat 5 permen maka permennya akan tersisa 2 buah, tetapi jika setiap anak diberi 6 permen akibatnya ada 8 anak yang tidak mendapat permen. Berapakah jumlah siswanya ?

Lihat Penyelesaian

16.

Sebuah pecahan jika pembilang dan penyebutnya masing-masing ditambah 3 maka nilai pecahan itu menjadi 1 2 , tetapi jika pembilang dan penyebut masing-masing ditambah 7 maka nilai pecahan itu menjadi 5 9 . Berapa nilai pecahan itu jika pembilang dan penyebutnya masing-masing dikurangi 5 ?

Lihat Penyelesaian

17.

Kereta Api A meninggalkan stasiun dengan kecepatan 60 km / jam , 4 jam kemudian kereta api B meninggalkan stasiun dengan kecepatan 80 km / jam . Tentukan jarak tempuh dari masing-masing kereta api saat kereta api B menyalip kereta api A ?

Lihat Penyelesaian

18.

Diketahui dua buah bilangan positif, jika jumlah kedua bilangan dibagi dengan selisihnya hasilnya 2 dan sisanya 11 . Jika bilangan yang besar dibagi dengan bilangan yang kecil maka hasilnya 2 dan sisanya 17 . Berapakah hasil kali kedua bilangan itu?

Lihat Penyelesaian

19.

Lima tahun yang lalu umur Amir lima kali umur Badu, tiga tahun yang akan datang umur Amir tiga kali umur Badu . Berapakah jumlah umur mereka 21 tahun yang akan datang ?

Lihat Penyelesaian

20.

Sebuah bilangan terdiri dari dua angka, nilai bilangan itu sama dengan tiga kali angka pertama ditambah empat kali angka kedua. Jika lima kali angka pertama sama dengan 22 dikurangi angka ke dua, maka berapakah bilangan itu ?

Lihat Penyelesaian

21.

Sebuah pekerjaan dapat diselesaikan oleh Adam dalam waktu 15 hari. Jika pekerjaan itu dikerjakan Bani akan selesai dalam waktu 12 hari. Berapa lama waktu yang dibutuhkan jika mereka menyelesaikan pekerjaan itu bersama-sama ?

Lihat Penyelesaian

22.

Dengan uang sebesar 2250 rupiah dapat dibeli 12 buah coklat dan 9 buah permen. Jika harga coklat naik 20 % dan harga permen turun 10 % , maka dapat dibeli 8 buah coklat dan 18 buah permen. Berapakah harga sebuah coklat dan sebuah permen mula-mula ?

Lihat Penyelesaian

23.

Sebuah bak air mempunyai sebuah kran pengisian dan sebuah kran pengurasan. Dari keadaan kosong kran pengisian mampu mengisi bak penuh dengan air dalam waktu 36 menit, dan dari keadaan kosong juga , jika kran pengisian dan pengurasan dibuka, maka bak akan penuh dalam waktu 3 jam. Berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk mengosongkan 50% isi bak dengan hanya membuka kran pengurasan ?

Lihat Penyelesaian

24.

Badu berkata pada Ani, berikan uangmu 10.000 rupiah maka uang saya akan menjadi 4 kali uang kamu. Tetapi jika uangku saya berikan ke kamu sebesar 25.000 maka uang kamu akan menjadi 9 kali uang saya. Berapakah jumlah uang mereka ?

Lihat Penyelesaian

25.

Jika f x = a x 2 + bx + 1 dan f 2 = 17 , f - 1 = 2 berapakah nilai dari f 3 ?

Lihat Penyelesaian

26.

Jika sin A + 2 cos B = 2 3 sin A - 4 cos B = 1 , maka tentukan nilai dari 5 sin A + 4 sin B ?

Lihat Penyelesaian

27.

Dua buah unsur A dan B membentuk 2 buah senyawa, prosentase unsur A dalam senyawa pertama dan kedua berturut-turut 40% dan 70%. Jika massa unsur A dan B sama maka berapa perbandingan massa unsur A dalam senyawa pertama dan kedua ?

Lihat Penyelesaian

28.

Dua propinsi di Sumatra yaitu Riau dan Bengkulu didatangkan transmigran dari Jateng dan Jatim. Banyaknya transmigran dari Jateng dan Jatim sama, jika presentase jumlah transmigran asal Jateng yang berada di Riau dan Bengkulu berturut-turut 40% dan 70%, maka berapa perbandingan jumlah transmigran asal Jateng yang berada di Riau dan Bengkulu ?

Lihat Penyelesaian

29.

Sebuah industri rumah tangga setiap harinya membuat donat dengan jumlah yang sama untuk disetorkan ke sejumlah warung dan tiap warungnya mendapat donat dengan jumlah yang sama banyak. Jika suatu hari ada 3 warung yang tutup maka setiap warung yang tidak tutup akan mendapat tambahan 4 donat . Jika ada 6 warung yang tutup maka setiap warung yang tidak tutup akan mendapat tambahan 10 donat. Maka berapa banyaknya donat yang diproduksi setiap harinya ?

Lihat Penyelesaian

30.

Sistem persamaan Linear dan Kuadrat

Gambar di atas adalah 24 buah kartu domino yang terdiri dari 12 kartu berisi 2 bendol (lingkaran merah) dan 12 kartu lain berisi 3 bendol. Jika Yudi mengambil 10 buah kartu dan setelah dihitung total jumlah bendol adalah 26 buah, maka tentukan banyaknya masing-masing tipe kartu ?

Lihat Penyelesaian

D. PERSAMAAN LINIER BEBERAPA VARIABEL

Persamaan linier tiga variabel x , y , dan z dinyatakan dalam bentuk ax + by + cz = d dengan a , b , c , dan d adalah sembarang konstanta, serta a 0 , b 0 , dan c 0 .

Dalam mencari solusi dari sistem persaman linier, ada banyak cara, tetapi yang akan dipelajari adalah metode : (lihat di contoh soal no 1 dan 2 )

a. Substitusi (menggantikan)

b. Eliminasi (menjumlahkan atau mengurangkan)

c. Gabungan eliminasi dan substitusi

d. Operasi baris elementer



Sebagai contoh :

1.

Tentukan solusi dari sistem persamaan linier 3 x + 4 y + 5 z = 26 2 x - y + 4 z = 12 5 x + 2 y - z = 6 dengan menggunakan

a. Metode substitusi (murni)

b. Gabungan metode eliminasi dan substitusi

Lihat Penyelesaian

2.

Tentukan solusi dari sistem persamaan linier 3 x + 2 y - z = 8 2 x - y + 3 z = 13 4 x + 3 y + 2 z = 25 dengan menggunakan

a. Metode substitusi

b. Gabungan metode eliminasi dan substitusi

Lihat Penyelesaian

3.

Tentukan penyelesaian dari 3 x + 5 y - z = - 4 5 x - 11 y + 2 z = - 27 10 x + y + 3 z = - 13 dengan menggunakan operasi baris elementer ?

Lihat Penyelesaian

4.

Tentukan nilai x + 2 y + 3 z jika 3 x - y = 14 2 y + 5 z = 1 7 z - x = 3 ?

Lihat Penyelesaian

5.

Tentukan penyelesaian dari 3 a + 5 b - 2 c = 29 1 a + 2 b + 3 c = - 4 2 a - 3 b + 5 c = - 25 ?

Lihat Penyelesaian

6.

Tentukan penyelesaian dari 1 x + 3 x + y + 6 x + y + z = 3 5 x + 1 x + y + 1 x + y + z = 3 2 x + 2 x + y + 5 x + y + z = 3

Lihat Penyelesaian

7.

Tentukan penyelesaian dari yz - 2 xz + 3 xy = 0 2 yz + 3 xz - xy = 7 xyz 3 yz + xz + 5 xy = xyz ?

Lihat Penyelesaian

8.

Jika a + b + c + d + 2 e = 12 a + b + 2 c + 2 d + e = 13 2 a + 2 b + c + d + e = 15 , maka tentukan nilai dari a + b c + d - e ?

Lihat Penyelesaian

9.

Tentukan penyelesaian dari xy + x - 2 y = 17 xz - 3 x - 2 z = 12 yz - 3 y + z = 33 ?

Lihat Penyelesaian

10.

Jika a + 2 b + c + 7 d + 8 e = 8 3 a + b - c + 5 d - 3 e = 10 2 a + 3 b + c + 4 d + 11 e = 13 maka

tentukan nilai dari 8 a + 9 b + 2 c + 20 d + 27 e ?

Lihat Penyelesaian

11.

Jika x , y , z = ( 1 , 3 , 4 ) adalah solusi dari ax + by + cz = 6 2 ax - by + 3 cz = 29 3 ax + 2 by - cz = - 11 , maka tentukan nilai dari a , b , dan c ?

Lihat Penyelesaian

12.

Tiga orang karyawan masing masing mendapat gaji yang berbeda , dengan rata-rata gaji mereka 1,4 juta, jika gaji tertinggi nilainya tiga kali lipat dari gaji terendah, dan selisih gaji 2 orang karyawan yang tidak mendapat gaji terendah sama dengan rata-rata dari gaji ketiga karyawan tersebut, maka berapakah nilai gaji yang terendah ?

Lihat Penyelesaian

13.

Dalam sebuah kotak terdapat 29 buah batu akik yang terdiri dari 3 jenis, yaitu jenis Bacan yang beratnya 8 gram, Bacem yang beratnya 9 gram, dan Giok yang beratnya 10 gram, dan total beratnya 247 gram . Jika banyaknya batu akik jenis Giok dua kali banyaknya batu akik jenis Bacem, maka tentukan banyaknya batu akik jenis Bacan ?

Lihat Penyelesaian

14.

Pada konser AMBARAWA BAND, sukses terjual 7000 buah tiket yang terdiri dari tiket VIP dengan harga $ 100, tiket utama dengan harga $ 50 , dan tiket ekonomi dengan harga $ 20. Jika banyaknya penonton kelas utama adalah 5 2 kali penonton kelas VIP, dan total pendapatan dari tiket sebesar $ 233000, maka tentukan banyaknya penonton kelas ekonomi ?

Lihat Penyelesaian

15.

Tiga buah bilangan rata-ratanya 6 , dan selisih antara bilangan yang terbesar dan terkecil adalah 13 . Jika bilangan yang terbesar sama dengan dua kali jumlah dua bilangan yang lain, maka tentukan hasil kali ketiga bilangan itu ?

Lihat Penyelesaian

16.

Tiga tahun yang lalu jumlah umur Ambara dan Bandu sama denganumur Cerbon dibagi 3 . Lima tahun yang akan datang umur Bandu dua kali umur Ambara. Dan dua tahun yang lalu rata-rata umur Bandu dan Cerbon sama dengan 1 lebihnya dari 9 kali umur Ambara. Tentukan jumlah umur mereka sekarang ?

Lihat Penyelesaian

17.

Sebuah bilangan terdiri dari tiga angka, rata rata ketiga angka penyusunnya adalah 3 . Nilai bilangan itu sama dengan 60 kali angka pertama ditambah 80 kali angka kedua ditambah 21 kali angka ke tiga . Jika sepuluh kali angka pertama ditambah angka kedua hasilnya sama dengan 5 kali angka ketiga. Maka berapakah bilangan itu?

Lihat Penyelesaian

18.

Sebuah pekerjaan dapat diselesaikan oleh Andrew dalam waktu 24 hari. Jika pekerjakan itu mula-mula dikerjakan Andrew selama 10 hari kemu dian pada hari kesebelas dibantu Borny maka pekerjaan akan selesai pada hari keduapuluh. Dan jika pekerjaan itu dikerjakan Andrew dan Carli maka akan selesai dalam waktu 15 hari. Berapa harikah waktu yang dibutuhkan mereka jika bekerja bersama untuk menyelesaikan pekerjaan tersebut ?

Lihat Penyelesaian

19.

Sebuah bak air mempunyai 3 buah kran, kran A dan kran B untuk pengisian dan kran C untuk pengurasan. Jika dari keadaan kosong kran A dapat mengisi penuh dalam waktu 105 menit. Kran A dan kran C bersama-sama dibuka maka bak akan terisi air sampai penuh dari keadaan kosong dalam waktu 525 menit. Jika ketiga kran dibuka bersama, maka bak akan terisi penuh dari keadaan kosong dalam waktu 210 menit. Berapa lama waktu untuk mengisi bak dari keadaan kosong hanya dengan mebuka kran B ?

Lihat Penyelesaian

20.

Sistem persamaan Linear dan Kuadrat

Pada gambar di atas, lambang @ , $ , dan & masing-masing mewakili sebuah bilangan, dan bilangan yang berwarna merah adalah dari bilangan yang ada di 6 kotak di sebelahnya. Tentukan nilai m ?

Lihat Penyelesaian

21.

Tentukan persamaan lingkaran x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 yang melalui ( 9 , 9 ) , ( 11 , 7 ) , dan ( - 3 , - 7 ) ?

Lihat Penyelesaian

E. SISTEM PERSAMAAN LINIER DAN KUADRAT

Persamaan linier adalah persamaan yang tidak memuat variabel berpangkat selain 1 .

Bentuk umum persamaan linier dua variabel adalah : ax + by + c = 0

Persamaan kuadrat adalah persamaan yang memuat variabelnya berderajat (pangkat) dua

Contoh : (1) y = a 1 x 2 + a 2 x + a 3   dengan a i adalah sembarang konstanta

(2) a 1 x 2 + a 2 xy + a 3 y 2 + a 4 x + a 5 y + a 6 = 0

Ada tiga kemungkinan banyaknya solusi darisistem persamaan linier dan kuadrat :

Sistem persamaan Linear dan Kuadrat

Keterangan :

  • Untuk persamaan kuadrat y = a x 2 + bx + c dan garis a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 terdapat satu solusi yaitu A x a , y a

    Hasil substitusi dari kedua persamaan ini menghasilkan diskriminan D = 0

  • Untuk persamaan kuadrat y = a x 2 + bx + c dan garis a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 terdapat satu solusi yaitu B x b , y b dan C x c , y c

    Hasil substitusi dari kedua persamaan ini menghasilkan diskriminan D > 0

  • Untuk persamaan kuadrat y = a x 2 + bx + c dan garis a 3 x + b 3 y + c 3 = 0 tidak ada solusi.

    Hasil substitusi dari kedua persamaan ini menghasilkan diskriminan D < 0

    Persamaan kuadrat a x 2 + bx + c = 0 D = b 2 - 4 ac



Sebagai contoh :

1.

Tentukan solusi dari 3 x - 2 y + 1 = 0 y = x 2 - 4 x + 3 , dan gambarkan kurvanya dalam bidang kartesius ?

Lihat Penyelesaian

2.

Tentukan solusi dari y = x - 15 y = x 2 - x - 12 , dan gambarkan kurvanya dalam bidang kartesius ?

Lihat Penyelesaian

3.

Tentukan solusi dari 4 x + y = 9 y = 8 - 2 x - x 2 , dan gambarkan kurvanya dalam bidang kartesius ?

Lihat Penyelesaian

4.

Jika A ( 2 , 4 ) dan B ( m , n ) adalah titik potong antara 2 x - 3 y = p y = x 2 + 3 x + q , maka tentukan nilai dari m + n ?

Lihat Penyelesaian

5.

Tentukan solusi dari 4 x + 5 y = 7 2 x 2 + 5 xy + 3 y 2 - 5 x - 6 y + 3 = 0 ?

Lihat Penyelesaian

6.

Tentukan solusi dari 5 x - 6 y = 37 x 2 + 3 xy + 2 y 2 + 7 x + 15 y - 8 = 0 ?

Lihat Penyelesaian

7.

Tentukan solusi dari 9 x - 11 y = 16 2 x 2 + xy - y 2 - 11 x - 2 y + 15 = 0 ?

Lihat Penyelesaian

8.

Tentukan solusi dari 3 x - 4 y = 45 x 2 + 4 xy + 4 y 2 - 25 = 0 ?

Lihat Penyelesaian

9.

Jika salah satu solusi dari 3 x + py = 4 x 2 + 6 xy + q y 2 + q - 13 = 0 adalah ( 5 , 1 ) , maka tentukan solusi yang lain ?

Lihat Penyelesaian

10.

Jika sistem persamaan y = 4 x - 5 y = a x 2 - 2 ax + a tepat mempunyai satu penyelesaian x i , y i , maka tentukan nilai dari a dan penyelesaiannya ?

Lihat Penyelesaian

11.

Jika sistem persamaan y = 38 - 3 mx y = m x 2 - 3 x 2 - x + 9 m mempunyai dua penyelesaian yang berbeda x i , y i , maka tentukan

a. Batas nilai dari m ?

b. Untuk nilai m bilangan asli terbesar yang memenuhi, tentukan hasil kali nilai x ?

Lihat Penyelesaian

12.

Tentukan batas nilai m agar sistem persamaan y = 2 x - 2 y = m x 2 - 3 x 2 + 2 mx + m tidak mempunyai penyelesaian ?

Lihat Penyelesaian

F. SISTEM PERSAMAAN KUADRAT DAN KUADRAT

Pada subbab ini dipelajari sistem persamaan kuadrat dua variabel yang berbentuk

(1) y = a 1 x 2 + b 1 x + c 1 y = a 2 x 2 + b 2 x + c 2

(2) y = a 1 x 2 + b 1 x + c 1 k 1 x 2 + k 2 xy + k 3 y 2 + k 4 x + k 5 y + k 6 = 0

(3) k 1 x 2 + k 2 xy + k 3 y 2 + k 4 x + k 5 y + k 6 = 0 m 1 x 2 + m 2 xy + m 3 y 2 + m 4 x + m 5 y + m 6 = 0

Dengan variabel x dan y , dan konstanta a i , b i , c i , k i , m i

jika hasil substitusi persamaaan di atas hasilnya berbentuk persamaan kuadrat a x 2 + bx + c = 0 , dengan diskri minan D = b 2 - 4 ac , maka

  • D = 0 persamaan mempunyai satu solusi x i , y i

  • D > 0 persamaan mempunyai dua solusi x i , y i yang berbeda

  • D = 0 persamaan tidak mempunyai solusi x i , y i



Sebagai contoh :

1.

Tentukan solusi dari sistem persamaan kuadrat

a. y = x 2 + 3 x + 5 y = 5 x 2 + 3 x + 1

b. 3 y = 2 x 2 + 3 x + 4 y = x 2 - 2 x + 6

Lihat Penyelesaian

2.

Tentukan solusi dari sistem persamaan x 2 + 4 xy + 4 y 2 - 9 = 0 2 x 2 + xy - y 2 - 11 x - 14 y - 13 = 0

Lihat Penyelesaian

3.

Tentukan solusi dari sistem persamaan 4 x 2 - 5 xy + y 2 - 18 x + 6 y + 8 = 0 y = x 2 - 2 x - 2

Lihat Penyelesaian

4.

Jika sistem persamaan y = m x 2 - 10 x + 20 y = x 2 - 2 mx + 11 tepat mempunyai sebuah penyelesaian, maka tentukan penyelesaiannya ?

Lihat Penyelesaian

5.

Jika sistem persamaan y = m x 2 + 2 mx + 4 y = x 2 - 2 x - m mempunyai dua buah penyelesaian yang berbeda, maka tentukan

a. Batas nilai m

b. Jumlah nilai x , untuk nilai m bilangan asli terbesar yang memenuhi

Lihat Penyelesaian

6.

Tentukan batas nilai m agar y = 4 m x 2 + m + 1 y = 3 x 2 + 4 mx tidak mempunyai penyelesaian ?

Lihat Penyelesaian

7.

Jika ( 2 , 3 ) adalah salah satu penyelesaian dari y = 2 x 2 + 3 x + a y = a x 2 - 2 x - 5 maka tentukan penyelesaian yang lain ?

Lihat Penyelesaian

8.

Jika ( 1 , 1 ) adalah salah satu penyelesaian 2 x 2 + axy + y 2 - 9 x - 2 ay + 9 = 0 b x 2 + 3 xy - 2 y 2 - 6 x + 3 y + b - 2 = 0 , maka tentukan penyelesaian yang lain ?

Lihat Penyelesaian