A. PENGERTIAN POLINOM

Polinom (Suku banyak) adalah fungsi yang berbentuk

p x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + a n - 2 x n - 2 + ... + a 1 x + a o , dengan a n 0

n adalah bilangan cacah.

  • Contoh- contoh suku banyak (polinom) :

x 3 - 4 x + 1 , x 2 + 2 x + 10 , x 7 - x + 11 , 2 x - 3 , dan seterusnya

  • Contoh yang bukan merupakan sukubanyak (polinom) :

3 x - 2 x + 5 , x + 2 , x 5 + 3 x 2 + 2 + 1 x , x 5 + x 4 + x - 2 + x - 5 , dan seterusnya

  • Contoh fungsi berbentuk sukubanyak

P x = x 3 + 11 x 2 + 7 x - 8 , f x = 8 - x 3 - 11 x 10 , dan seterusnya

  • Contoh persamaan sukubanyak

x 4 - 3 x 3 + 11 x 2 - 7 x + 12 = 0 , x 6 - x 2 = 0 , dan seterusnya.

  • Contoh pertidaksamaan sukubanyak

x 5 - 4 x 4 + 2 x 3 - 6 x + 5 < 0 , x 4 - 1 0 , dan seterusnya.

Derajat dari polinom adalah pangkat tertinggi dari variabelnya :

Contoh :

  • p x = x 2 + 3 x - 1 adalah polinom berderajat 2

  • f x = 3 x 4 + 4 - x 6 adalah polinom berderajat 6

  • g x = 100 x 12 - 3 x + 7 adalah polinom berderajat 12

Operasi aljabar + , - , × , dan ÷ pada dua buah polinom adalah operasi aljabar biasa.

Contoh :

  • x 3 + 2 x 2 + 3 x - 11 + x 2 + 5 x = x 3 + 2 + 1 x 2 + 3 + 5 x - 11

= x 3 + 3 x 2 + 8 x - 11

  • x 4 + 7 x 3 + 6 x - 5 - x 3 - 5 x = x 4 + 7 - 1 x 3 + 6 + 5 x - 5

= x 4 + 6 x 3 + 11 x - 5

  • x 2 + 6 x - 1 x - 2 = x 2 x - 2 + 6 x x - 2 - ( x - 2 )

= x 3 - 2 x 2 + 6 x 2 - 12 x - x + 2

= x 3 + 4 x 2 - 13 x + 2



Sebagai contoh :

1.

Diketahui P x = x 4 + 3 x 2 + 4 x - 1 , tentukan

a. D erajat dari P ( x )

b. Koefisien-koefisien dari variabelnya

Lihat Penyelesaian

2.

Diketahui f x = x 2 - 1 x 3 + x - 1 , tentukan

a . Derajat dari f ( x )

b . Koefisien-koefisien dari variabelnya

Lihat Penyelesaian

3.

Diketahui h ( x ) adalah polinom berderajat 5 , dengan koefisien x i nya adalah ( 2 i - 1 ) , dan suku konstannya 10 , maka tentukan polinom h ( x ) ?

Lihat Penyelesaian

4.

Diketahui x = 2 x 4 - 3 x 3 + 2 , q x = x - 3 x 3 + 4 , dan r x = x - 3 maka tentukan

a . derajat dari polinom p ( x ) , q ( x ) , dan r ( x )    

b . p x - q ( x )

c . p x + r ( x )

d . q ( x ) r ( x )

Lihat Penyelesaian

5.

f ( x ) , g ( x ) , h ( x ) adalah masing-masing polinom berderajat 5 , 5 , dan 3 . Tentukan derajat dari polinom-polinom hasil dari operasi aljabar dibawah ini

a . f x + g ( x )

b . f x - g ( x )

c . f x - h ( x )

d . f ( x ) × g ( x )

e . f ( x ) × h ( x )

f . f ( x ) ÷ g ( x )

Lihat Penyelesaian

6.

Jika P x = ( k - 1 ) x 4 + 3 k x 3 + k + 1 x 2 - kx + k + 1 adalah polinom berderajat 3 , tentukan

a . nilai k

b. Koefisien-koefisien dari variabelnya

Lihat Penyelesaian

B. NILAI SUKU BANYAK

Nilai dari suku banyak P ( x ) untuk x = k adalah P ( k )

Deng an cara bagan (Horner) adalah sebagai berikut :

P x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + a n - 2 x n - 2 + ... + a 1 x + a o maka nilai dari P ( k )

Fungsi Himpunan

Keterangan :

Panah merah : menjumlahkan bilangan yang ada dalam kotak atas

Contoh : a n - 1 + b 1 = c 1

Panah biru : memindahkan bilangan di luar kotak ke dalam kotak dengan dikalikan k . Contoh : a n × k = b 1



Sebagai contoh :

1.

Tentukan nilai suku banyak di bawah ini dengan cara biasa dan cara bagan

a . f x = x 2 + 11 x + 7 untuk x = 2

b . p x = 2 x 4 + 3 x 3 - 5 x + 11 untuk x = - 3

c . h x = 2 x 5 + 3 x 3 - 11 x 2 + 16 x + 8 untuk x = - 1 2

Lihat Penyelesaian

2.

Sukubanyak P x = x 5 + x 3 - 12 x 2 + ax + 3 a bernilai 7 untuk x = 2 , tentukan nilai suku banyak itu untuk x = 10 ?

Lihat Penyelesaian

3.

Jika f x = x 3 + 11 x 2 + ax + b bernilai 15 untuk x = 1 , dan bernilai 12 untuk x = - 2 , maka tentukan nilai f ( x ) untuk x = 3 ?

Lihat Penyelesaian

4.

Sukubanyak f x = x 2015 + a x 2014 + x 200 + b x 7 + cx + 10 akan bernilai 100 untuk x = 1 , maka tentukan nilai sukubanyak f ( x ) untuk x = - 1 ?

Lihat Penyelesaian

5.

f ( x ) adalah sukubanyak berderajat 3 , dan bernilai 1 untuk x = 0 atau x = 1 atau x = 2 . Jika untuk x = 4 suku banyak f ( x ) bernilai 97 , maka tentukan suku banyak tersebut ?

Lihat Penyelesaian

C. KESAMAAN SUKU BANYAK

Diketahui f x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + a n - 2 x n - 2 + ... + a 1 x + a o dan

g x = b n x n + b n - 1 x n - 1 + b n - 2 x n - 2 + ... + b 1 x + b o

Jika f x = g ( x ) maka a i = b i untuk i = 1 , 2 , 3 , ... , n

Bentu k kesamaan untuk pecahan suku banyak :

Jika penyebut bisa difaktorkan dan derajat pembilang lebih kecil dari derajat penyebut:

Misalkan l ( x ) adalah factor linier, l x = ax + b

k ( x ) adalah factor bentuk fungsi kuadrat, k x = p x 2 + qx + r

t ( x ) adalah factor bentuk fungsi pangkat tiga, t x = c x 3 + d x 2 + ex + f

maka sebagai ilustrasi :

(1) P x l 1 x × l 2 x × ... = a l 1 ( x ) + b l 2 ( x ) + ...

Contoh : 2 x + 5 x 2 - x - 2 = 2 x + 5 x - 2 ( x + 1 ) = 3 x - 2 + - 1 x + 1

(2) P x l 1 x × l 2 x 2 × ... = a l 1 ( x ) + b l 2 ( x ) + cx + d l 2 ( x ) 2 + ... ( memuat factor linier berulang)

Contoh : 4 x 2 + 7 x + 7 x - 1 x + 2 2 = 2 x - 1 + 1 x + 2 + x - 1 x + 2 2

(3) P x l x × k x × t ( x ) ... = a 1 l ( x ) + a 2 x + a 3 k ( x ) + a 4 x 2 + a 5 x + a 6 t ( x ) + ...



Sebagai contoh :

1.

Tentukan konstanta yang belum diketahui pada kesamaan di bawah ini

a . x 2 + 4 x + 5 x + 1 ax + b + c

b . x 3 - 6 x 2 - x + 30 x - 3 a x 2 - 3 x + b

Lihat Penyelesaian

2.

Tentukan konstanta yang belum diketahui pada kesamaan di bawah ini

a . x 2 + 2 x + 5 ax x + 1 + b x + 1 x + 2 + c x + 2 ( x + 3 )

b . x 3 + 2 x + 5 a x - 2 3 + b x - 2 2 + c x - 2 + d

Lihat Penyelesaian

3.

Tentukan nilai a , b , dan c untuk kesamaan-kesamaan di bawah ini

a . 6 x x 2 + 4 x + 3 = a x + 1 + b x + 2

b . 6 x - 2 x 3 + 4 x 2 + 3 x = a x + b x + 1 + c x + 2

Lihat Penyelesaian

4.

Ubah pecahan di bawah ini ke dalam pecahan dengan penyebut sudah tidak dapat difaktorkan lagi :

a . 2 x 2 - 1  

b . 2 x - 1 x 3 + 4 x 2 + 4 x

Lihat Penyelesaian

5.

a. Jika 1 2 x - 1 ( 2 x + 1 ) = a 2 x - 1 + b 2 x + 1 , maka tentukan nilai a dan b

b. Kemudian tentukan hasil dari 1 2 2 - 1 + 1 4 2 - 1 + 1 6 2 - 1 + 1 8 2 - 1 + ... + 1 100 2 - 1 ?

Lihat Penyelesaian

6.

Jika x dan 30 x x 2 - x - 6 adalah bilangan bulat, maka tentukan semua nilai x yang memenuhi ?

Lihat Penyelesaian

D. PEMBAGIAN SUKU BANYAK DENGAN BENTUK LINIER

Pembagian sukubanyak p ( x ) oleh bentuk linier, bisa dikerjakan dengan cara biasa atau dengan cara Horner .

Pembagian sukubanyak dengan cara bagan (Horner) adalah sebagai berikut :

p x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + a n - 2 x n - 2 + ... + a 1 x + a o dibagi ( x - α )

Polinom

Keterangan : α adalah factor pengali

Panah merah : menjumlahkan bilangan yang ada dalam kotak atas

a n - 1 + b 1 = c 1

Panah biru : memindahkan bilangan di luar kotak ke dalam kotak dengan dikalikan α . a n × α = b 1

Jika pembaginya αx + β , maka hasil baginya dibagi α dan factor pengalinya - β α .


Sebagai contoh :

1.

Tentukan sisa dan hasil pembagian x 3 + x 2 + 4 x - 11 oleh x - 2 dengan cara

a. Horner

b. Biasa

Lihat Penyelesaian

2.

Tentukan sisa dan hasil pembagian x 4 + 3 x 2 + 4 x - 2 oleh 2 x - 1 dengan cara

a. Horner

b. Cara biasa

Lihat Penyelesaian

3.

Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian sukubanyak 2 x 5 + 2 x 3 - 12 x - 4 oleh

a . x + 3

b . 1 2 x + 3 2

c . 2 x + 6

d . x - 3

Lihat Penyelesaian

4.

a. Tentukan hasil pembagian x 3 - 1 oleh x - 1 ?

b. Kemudian tentukan hasil dari 2015 2 + 2016 2015 3 - 1 ?

Lihat Penyelesaian

5.

a. Tentukan hasil pembagian sukubanyak ( x 4 - 16 ) oleh ( x - 2 )

b. Tentukan hasil dari 2000 2016 3 4 + 2 2016 + 4 2016 4 + 8 ?

Lihat Penyelesaian

E. PEMBAGIAN SUKU BANYAK OLEH BENTUK NON LINIER

Pembagian sukubanyak dengan cara bagan (Horner) oleh bentuk kuadrat :

p x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + a n - 2 x n - 2 + ... + a 1 x + a o dibagi ( x 2 + αx + β )

Untuk lebih jelasnya kita lihat pada pembagian polinom yang berderajat 5

p x = a 5 x 5 + a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a o

Pembaginya x 2 + αx + β = 0 x 2 = - αx - β

Polinom

Keterangan :

Panah merah : menjumlahkan bilangan yang ada dalam kotak atas

Contoh : a 4 + b 1 = d 1 ; a 3 + c 1 + b 2 = d 2 dan seterusnya

Panah biru : memindahkan bilangan di luar kotak ke dalam kotak dengan dikalikan - α atau β

Contoh : a 5 × - α = b 1 dan a 5 × - β = c 1

d 1 × - α = b 2 dan d 1 × - β = c 2 dan seterusnya.

Pembagian dengan cara biasa juga bisa menyelesaikan pembagian antara suku banyak.


Sebagai contoh :

1.

Tentukan sisa pembagian dan hasil bagi dari suku banyak x 4 + 2 x 3 - 5 x 2 + 11 x - 2 oleh x 2 + x - 2 dengan

a. cara bagan (Horner)

b. cara biasa

Lihat Penyelesaian

2.

Tentukan sisa pembagian dan hasil bagi dari suku banyak 4 x 7 + x 5 - x 4 - x 3 - 4 x 2 + 11 x - 1 oleh :

a . 2 x 2 - 3 x + 4

b . 4 x 2 - 6 x + 8

c . x 2 - 3 2 x + 2

d . - 20 x 2 + 30 x - 40

Lihat Penyelesaian

3.

Tentukan Hasil dan sisa pembagian pada sukubanyak

a . x 6 + 2 x 5 + 3 x 3 - 10 x 2 - 12 x + 1 oleh x 3 - x + 2

b . 4 x 10 + 2 x 8 - 3 x 6 - 6 x 4 - 11 x 2 + 1 oleh 2 x 6 + x 4 - 5

Lihat Penyelesaian

F. TEOREMA SISA

Teorema sisa :

(1) Jika p ( x ) dibagi dengan x - a maka sisanya adalah p ( a )

Contoh :

p ( x ) dibagi x - 3 maka sisanya p ( 3 )

f ( x ) dibagi x + 5 maka sisanya f ( - 5 )

p ( x ) dibagi 2 x + 1 maka sisanya p - 1 2

(2) p ( x ) dibagi g ( x ) hasilnya h ( x ) dan sisanya s ( x ) dapat dituliskan

p x = g x × h x + s ( x ) Dengan derajat s x derajat g x - 1

Contoh :

P ( x ) dibagi x 2 + 3 x sisanya 2 x + 1 , dapat ditulis P x = x 2 + 3 x pembagi h x + 2 x + 1 sisa

P ( x ) dibagi x 2 - x - 12 , jika sisa dan hasil baginya tidak diketahui, maka

Dapat ditulis : P x = x 2 - x - 12 pembagi ( kuadrat ) h x + ax + b sisa ( linier )

P ( x ) dibagi x 3 - 3 x 2 - 12 x + 1 , jika sisa dan hasil baginya tidak diketahui, maka dapat ditulis : P x = x 3 - 3 x 2 - 12 x + 1 pembagi ( derajat 3 ) h x + a x 2 + bx + c sisa ( derajat 2 )

(3) Jika P ( x ) dibagi x - a x - b x - c ... sisanya s ( x ) maka

P a = s a , P b = s ( b ) , P c = s ( c ) , dan seterusnya

Contoh :

Jika P ( x ) dibagi x 2 + 2 x - 8 sisanya 3 x + 1 , maka :

Kita misalkan sisanya s = 3 x + 1 , dan x 2 + 2 x - 8 = x + 4 ( x - 2 )

Maka p - 4 = s ( - 4 ) P - 4 = 3 - 4 + 1 = - 11

p 2 = s ( 2 ) P 2 = 3 2 + 1 = 7

f ( x ) dibagi x - 1 x - 2 ( x + 30 ) sisanya 5 x , maka kita akan mendapatkan

f 1 = 5 , f 2 = 10 , dan f - 30 = - 150


Sebagai contoh :

1.

Tentukan sisa pembagian dari

a . x 4 + 2 x 3 + 3 x 2 + 4 x + 5 oleh x - 2

b . x 2015 + 2 x 2014 + 3 x 2013 oleh x + 1

c . x - 1 x - 2 x - 3 x - 4 oleh x - 6

Lihat Penyelesaian

2.

Jika P ( x ) dibagi x 2 - 4 x - 28 sisanya 2 x - 3 , maka

a. T uliskan persamaan dari P ( x )

b. U ntuk a i dan b i se m barang konstanta, tentukan semua bentuk P a i = b i

Lihat Penyelesaian

3.

Jika P ( x ) dibagi x 3 - 4 x 2 - 12 x sisanya 5 x 2 + 3 , maka

a . Tuliskan persamaan dari p ( x )

b . Untuk a i dan b i se m barang konstanta, tentukan semua bentuk P a i = b i

Lihat Penyelesaian

4.

Jika P x = x 5 + x 2 + ax + b dibagi x 2 - 4 sisanya 3 x + 1 , tentukan a + b ?

Lihat Penyelesaian

5.

Sukubanyak P ( x ) jika dibagi ( x - 2 ) dan ( x + 1 ) sisanya berturut-turut 4 dan 16 , tentukan sisanya jika P ( x ) dibagi x 2 - x - 2 ?

Lihat Penyelesaian

6.

Jika P ( x ) dibagi x 2 - 1 sisanya 3 x , dan jika dibagi x 2 - 4 sisanya 1 - x , tentukan sisanya jika P ( x ) dibagi x 2 + 3 x + 2 ?

Lihat Penyelesaian

7.

Sukubanyak f ( x ) dibagi x 2 + 3 x - 4 sisanya 2 x , dan dibagi x 2 - 5 x sisanya 4 . Sukubanyak g ( x ) dibagi x 2 + 3 x - 4 sisanya 3 x - 1 , dan dibagi x 2 - 5 x sisanya x . Jika P x = f x × g x + f ( x ) maka tentukan sisanya jika P ( x ) dibagi x 2 - 6 x - 5 ?

Lihat Penyelesaian

8.

Sukubanyak f ( x ) dibagi x - 1 sisanya 3 , maka tentukan sisanya jika f ( x ) dibagi x 2 - x ?

Lihat Penyelesaian

9.

Sukubanyak f ( x ) dibagi x 2 - 4 x + 11 sisanya 2 x + 3 , maka tentukan sisanya jika f ( x ) dibagi x 2 - 4 x + 11 ( x - 3 ) ?

Lihat Penyelesaian

10.

Sukubanyak P ( x ) berderajat 3 dengan koefisien pangkat tertingginya 2 , dan memberikan sisa berturut-turut 1 , 4 , dan 9 jika dibagi ( x - 1 ) , ( x - 2 ) , dan ( x - 3 ) . Maka tentukan sisanya jika P ( x ) dibagi x + 4 ?

Lihat Penyelesaian

11.

P ( x ) adalah sukubanyak berderajat 3 , dan jika dibagi x 2 + 3 x + 5 sisanya ( 7 x + 9 ) . Jika P ( x ) dibagi x 2 - 1 sisanya - 8 x - 3 , maka nilai dari P 2 = ...

Lihat Penyelesaian

12.

Diketahui suku banyak P x = x 5 + 2 x 3 + a x 2 + ax + x - 2 , dan q x = x 4 - x - a . Jika sisa pembagian P ( x ) oleh 2 x - 4 adalah dua kali dari sisa pembagian q ( x ) oleh x + 4 , maka tentukan nilai a ?

Lihat Penyelesaian

G. TEOREMA FAKTOR

Teorema faktor :

Jika ( x - a ) adalah faktor dari p ( x ) , maka p a = 0

Atau bisa dikatakan: p ( x ) dibagi x - a sisanya 0 , dan ditulis p a = 0

Contoh :

  • x - 1 adalah faktor dari P ( x ) , maka P 1 = 0

  • 2 x + 4 adalah factor dari g ( x ) , maka g - 2 = 0

  • 5 x + 1 adakah faktor dari f ( x ) , maka f - 1 5 = 0

Jika p ( x ) habis dibagi g ( x ) , maka p ( x ) juga habis dibagi faktor-faktor dari g ( x ) .

Contoh :

  • P ( x ) habis dibagi x 2 - x - 6 maka P ( x ) habis dibagi ( x - 3 ) dan habis dibagi ( x + 2 ) sebab x 2 - x - 6 = x - 3 ( x + 2 )

  • P ( x ) habis dibagi 4 x 2 - 1 maka P ( x ) habis dibagi ( 2 x - 1 ) dan habis dibagi ( 2 x + 1 ) sebab 4 x 2 - 1 = 2 x - 1 ( 2 x + 1 )

  • P ( x ) habis dibagi x 3 + 2 x 2 - 8 x maka P ( x ) habis dibagi x , habis dibagi ( x - 2 ) , dan habis dibagi ( x + 4 ) sebab x 3 + 2 x 2 - 8 x = x x - 2 ( x + 4 )

Jika sukubanyak P x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + a n - 2 x n - 2 + ... + a 1 x + a o mempunyai factor x - k dengan k bilangan rasional, maka kemungkinan nilai k yang mungkin adalah k = ± faktor dari a 0 faktor dari a n .

Jika P x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + a n - 2 x n - 2 + ... + a 1 x + a o

  • Dan jumlah semua koefisiennya dan suku konstannya adalah 0 , maka P ( x ) punya factor ( x - 1 )

Contoh : P x = x 3 + 17 x 2 - 2 x - 16 punya factor ( x - 1 ) s

sebab jumlah koefisien = 1 + 17 - 2 - 16 = 0

  • Dan jumlah semua koefisiennya x ganjil sama dengan Jumlah semua koefisien x genap + konstanta , maka P ( x ) punya factor ( x + 1 )

Contoh : P x = x 4 - 3 x 3 - x 2 + 11 x + 8 punya factor ( x + 1 )

Sebab 1 - 1 + 8 = - 3 + 11


Sebagai contoh :

1.

Jika x - 3 merupakan factor dari x 3 + 3 x 2 + 5 x + m , maka tentukan nilai m yang memenuhi?

Lihat Penyelesaian

2.

Jika x 2 + 4 adalah factor dari x 8 + 2 x 6 + 3 x 4 + m x 2 - 10 , maka tentukan nilai m yang memenuhi ?

Lihat Penyelesaian

3.

Jika x 3 + 4 x 2 + bx - 5 mempunyai factor ( x - a ) , maka

a . nyatakan b dalam a

b. Jika a 2 + b = 0 tentukan nilai a yang memenuhi

Lihat Penyelesaian

4.

Jika ( x + 1 ) dan ( x - 2 ) adalah factor-faktor dari f x = x 4 + 2 x 2 + ax + b , maka tentukan nilai dari a + b ?

Lihat Penyelesaian

5.

Jika x 2 - 3 x + 2 adalah faktor dari P x = 3 x 3 + ax 2 + bx + 4 , maka tentukan nilai dari a - b ?

Lihat Penyelesaian

6.

Jika x 2 - 2 x + 1 adalah factor dari x 6 + 12 x 5 + x 3 + 2 x 2 + ax + b , maka tentukan nilai dari b - a ?

Lihat Penyelesaian

7.

Jika ( x - 1 ) adalah salah satu factor dari P x = x 4 + a x 3 + 2 x 2 - 4 x - 3 , maka tentukan factor linear yang lain ?

Lihat Penyelesaian

8.

Tentukan nilai a supaya bentuk 2 x 4 + x 3 + 2 x 2 + x - a x 2 - x - 12 dapat disederhanakan ?

Lihat Penyelesaian

9.

Jika x 3 + a x 2 + x + b dan 5 x 3 + b x 2 - 5 x + 3 a - 3 mempunyai factor linier yang sama yaitu x + 2 , maka tentukan a + b ?

Lihat Penyelesaian

10.

Jika x + y + 6 adalah factor dari a x 2 + bxy + c y 2 - 4 x + 20 y + 12 maka tentukan nilai dari 4 a + 3 b + 2 c ?

Lihat Penyelesaian

11.

Tunjukkan bahwa x - y , ( x - z ) , dan ( y - z ) adalah factor dari suku banyak x 3 y - z + y 3 z - x + z 3 x - y ?

Lihat Penyelesaian

H. AKAR-AKAR DARI SUKUBANYAK

Beberapa teorema :

(1) Jika ( x - a ) adalah faktor dari P ( x ) , maka a adalah akar dari persamaan P x = 0

Atau jika a adalah akar dari persamaan P x = 0 maka ( x - a ) adalah factor dari P ( x )

Contoh :

  • ( x - 10 ) adalah faktor dari P ( x ) , maka 10 adalah akar dari P x = 0

  • ( x + 7 ) adalah faktor dari P ( x ) , maka - 7 adalah akar dari P x = 0

  • 3 x - 2 adalah faktor dari P ( x ) , maka 2 3 adalah akar dari P x = 0

  • Jika 5 adalah akar dari P ( x ) , maka ( x - 5 ) adalah faktor dari P ( x )

(2) Jika sukubanyak P x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + a n - 2 x n - 2 + ... + a 1 x + a o mempunyai akar k bilangan rasional, maka kemungkinan nilai k adalah k = ± faktor dari a 0 faktor dari a n

Contoh :

  • P x = x 3 + 2 x 2 - 9 x - 6 , jika P x = 0 maka

Kemungkinan akar rasionalnya adalah ± 1 , ± 2 , ± 3 , dan ± 6

  • f x = 4 x 4 - 21 x 2 + 15 x - 20 , jika f x = 0 maka

Kemungkinan akar rasionalnya adalah faktor-faktor dari 20 ± 1 , ± 2 , ± 4 , ± 5 , ± 10 , ± 20 di bagi dengan faktor-faktor dari 4 ± 1 , ± 2 , ± 4

Yaitu : ± 1 , ± 2 , ± 4 , ± 5 , ± 10 , ± 20 ± 1 2 , ± 5 2 , ± 1 4 , ± 5 4


Sebagai contoh :

1.

Jika salah satu akar persamaan x 3 - x 2 + ax + 2 a - 2 = 0 adalah 5 , maka tentukan nilai a dan akar-akar yang lain ?

Lihat Penyelesaian

2.

Jika - 1 dan 2 adalah akar-akar persamaan x 5 - 7 x 4 + 7 x 3 + a x 2 + bx - 20 = 0 , maka tentukan akar-akar yang lain ?

Lihat Penyelesaian

3.

Tentukan akar-akar dari sukubanyak di bawah ini

a . x 3 + 4 x 2 - 32 x = 0

b . x 4 - 9 x 2 = 0

c . x 3 + x 2 - x - 1 = 0

d . 2 x 4 - x 2 - 15 = 0

Lihat Penyelesaian

4.

Tentukan Penyelesaian dari

a . 2 x 3 - 11 x 2 + 13 x - 4 = 0

b . 2 3 y - 1 3 - 11 3 y - 1 2 + 13 3 y - 1 - 4 = 0

c . 2 3 x + 1 + 13 2 x = 11 4 x + 4

Lihat Penyelesaian

5.

Tentukan penyelesaian dari 2 x 4 - 5 x 3 - 3 x 2 + 8 x + 4 0

Lihat Penyelesaian

I. SIFAT-SIFAT AKAR DARI SUKU BANYAK

Sifat-sifat akar dari sukubanyak :

(1) Bentuk a x 2 + bx + c = 0 dengan akar α dan β

  • α + β = - b a , dan αβ = c a

  • a α 2 + b α + c = 0 , dan a β 2 + b β + c = 0

  • a x 2 + bx + c = a x - α x - β

(2) Bentuk a x 3 + b x 2 + cx + d = 0 dengan akar α , β , dan γ

  • α + β + γ = - b a , αβ + αγ + βγ = c a , dan αβγ = - d a

  • a α 3 + b α 2 + c α + d = 0 , a β 3 + b β 2 + c β + d = 0 , dan

a γ 3 + b γ 2 + c γ + d = 0

  • a x 3 + b x 2 + cx + d = a x - α x - β x - γ

(3) Bentuk a x 3 + b x 2 + c x 2 + dx + e = 0 dengan akar α , β , dan γ

  • α + β + γ + δ = - b a , αβ + αγ + αδ + βγ + βδ + γδ = c a

αβγ + αβδ + αγδ + βγδ = - d a , dan αβγδ = e a

  • a α 4 + b α 3 + c α 2 + d α + e = 0 ,

a β 4 + b β 3 + c β 2 + d β + e = 0 ,

a γ 4 + b γ 3 + c γ 2 + d γ + e = 0 ,

a δ 4 + b δ 3 + c δ 2 + d δ + e = 0 ,

  • a x 4 + b x 3 + c x 2 + dx + e = a x - α x - β x - γ x - δ


Sebagai contoh :

1.

Persamaan kuadrat 2 x 2 - x - 8 = 0 akarnya α dan β , tentukan nilai dari

a . α + β

b . αβ

c . α 2 + β 2

d . 2 α 2 + β

e . 2 β 3 - β 2 + 8 α

f . 3 - α 3 - β

Lihat Penyelesaian

2.

Persamaan x 3 + 2 x 2 - 3 x - 7 = 0 akarnya α , β , dan γ . Tentukan nilai dari

a . α + β + γ

b . αβ + αγ + βγ

c . α 2 + β 2 + γ 2

d . α 3 + 2 α 2 + 3 β + 3 γ

e . β 4 + 2 β 3 - 3 β 2 + 7 α + 7 γ

f . 2 - α 2 - β 2 - γ

Lihat Penyelesaian

3.

Persamaan x 4 - 2 x 3 - 3 x 2 - 4 x - 5 = 0 akarnya α , β , γ , dan δ . Tentukan nilai dari

a . α + β + γ + δ

b . αβ + αγ + αδ + βγ + βδ + γδ

c . αβ γ + αβδ + αγδ + βγδ

d . αβγδ

e . α 4 - 2 α 3 - 3 α 2 - 4 α

f . β 5 - 2 β 4 - 3 β 3 - 4 β 2 + 5 α + 5 γ + 5 δ

g . α 2 + β 2 + γ 2 + δ 2

h . 2 - α 2 - β 2 - γ 2 - δ

Lihat Penyelesaian

4.

Jika x = 2 adalah salah satu akar dari persamaan-persamaan di bawah ini, maka tentukan jumlah akar yang lain

a . x 3 - 10 x 2 + mx + n = 0

b . 2 x 4 + 6 x 3 + a x 2 + bx + c = 0

c . x 3 - p x 2 + 2 px - 3 p + 4 = 0

d . x 4 + m x 3 + 2 x 2 + mx + 2 = 0

Lihat Penyelesaian

5.

Jika x = 3 adalah salah satu akar-akar persamaan di bawah ini, maka tentukan hasil kali akar-akar yang lain

a . x 3 + m x 2 + nx - 63 = 0

b . 2 x 4 + a x 3 + b x 2 + cx + 3 = 0

c . 2 x 3 + m x 2 + 2 mx + 2 m - 3 = 0

d . x 4 + a x 3 + a x 2 + ax - 3 = 0

Lihat Penyelesaian

6.

Akar-akar persamaan x 4 - 32 x 3 + p x 2 + qx + r = 0 membentuk barisan aritmatika dengan beda 2 , maka tentukan nilai p , q , r ?

Lihat Penyelesaian

7.

Jika persamaan 2 x 3 + ( k + 1 ) x 2 + kx + 8 = 0 memiliki dua akar yang saling berkebalikan, maka tentukan nilai k dan akar-akarnya ?

Lihat Penyelesaian

8.

Jika x 3 + 5 x 2 + mx + 3 = 0 memiliki sepasang akar kembar, maka tentukan salah satu nilai m dan akar-akarnya ?

Lihat Penyelesaian

9.

Jika salah satu akar persamaan x 4 - 2 x 3 + a x 2 + x + a + 1 = 0 berlawanan dengan akar yang lain, maka tentukan nilai a ?

Lihat Penyelesaian

10.

Jika salah satu akar-akar dari persamaan x 3 + x 2 - 3 x + m + 44 = 0 adalah berlawanan dengan rata-rata kedua akar yang lain, maka tentukan nilai m ?

Lihat Penyelesaian

J. MENYUSUN PERSAMAAN SUKUBANYAK

Dengan cara menyusun kembali akar-akarnya:

(1) Persamaan kuadrat yang akar-akarnya α dan β adalah :

x 2 - α + β jumlah x + αβ hasil kali = 0

(2 ) Persamaan pangkat tiga yang akar-akarnya α , β , dan γ adalah :

x 3 - α + β + γ jumlah x 2 + αβ + αγ + βγ x jumlah dari hasil kali 2 akar - αβγ hasil kali = 0

(3) Persamaan pangkat empat yang akar-akarnya α , β , γ , dan δ adalah :

x 4 - α + β + γ + δ jumlah x 3 + αβ + αγ + αδ + βγ + βδ + γδ jumlah dari hasil kali 2 akar x 2

+ αβγ + αβδ + αγδ + βγδ jumlah dari hasil kali 3 akar x + αβγ δ = 0

Dengan cara penghapusan indek :

Syaratnya akar-akarnya harus simetris, dan setiap akar hanya memuat satu variabel

Untuk lebih jelasnya lihat contoh-contoh yang ada di sub bab ini.

Dengan cara biasa :

Misalnya akar-akar suku banyak berderajat 3 adalah 5 , 2 , dan 1 , maka persamaannya adalah x - 5 x - 2 x + 1 = 0


Sebagai contoh :

1.

Tentukan persamaan pangkat 3 yang akar-akarnya 1 2 , 3 2 , dan - 2 dengan cara

a. Cara biasa

b. Menyusun kembali akar-akarnya

Lihat Penyelesaian

2.

Persamaan x 3 - 7 x + 6 = 0 akar- akarnya p , q , dan r , tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya p 2 , q 2 , dan r 2 dengan

a . Cara biasa

b. Menyusun kembali akar-akarnya

c . Penghapusan indeks

Lihat Penyelesaian

3.

Tentukan persamaan pangkat 3 yang akar- akarnya dua kali dari akar-akar persamaan x 3 + x 2 - 2 x - 2 = 0 , dengan cara :

a . Menyusun kembali akar-akarnya

b . Penghapusan indeks

Lihat Penyelesaian

4.

Tentukan persamaan pangkat 3 yang akar- akarnya satu lebihnya dari akar-akar persamaan x 3 - 3 x - 10 = 0 , dengan cara :

a. Penghapusan indeks

b . Menyusun kembali akar-akarnya

Lihat Penyelesaian

5.

Tentukan persamaan pangkat 4 yang akar-akarnya 5 kurangnya dari akar-akar persamaan x 4 - 2 x 3 + 11 x 2 - 10 = 0

Lihat Penyelesaian

6.

Persamaan x 4 + 2 x 3 - 4 x - 5 = 0 akarnya p , q , r , dan s . Tentukan persamaan pangkat 4 yang akar- akarnya p 3 , q 3 , r 3 , dan s 3 ?

Lihat Penyelesaian

7.

Persamaan 2 x 3 + 3 x 2 - 4 x - 5 = 0 akar- akarnya u , v , dan w . Tentukan persamaan pangkat tiga baru yang akar-akarnya u + v , u + w , dan v + w ?

Lihat Penyelesaian

K. APLIKASI SUKU BANYAK

Untuk menyelesaikan soal-soal dalam bentuk cerita, pertama tama kita harus mengubah bentuk cerita itu ke dalam model-model matematikanya, kemudian baru kita cari solusinya.


Sebagai contoh :

1.

Dua buah kubus mempunyai selisih panjang rusuk 3 cm . Jika jumlah volume kedua kubus adalah 637 cm 3 , maka tentukan jumlah kedua luas permukaannya ?

Lihat Penyelesaian

2.

Tentukan penyelesaian dari 2 cos 3 x = 2 cos x + sin 2 x , untuk 0 x 360 ° ?

Lihat Penyelesaian

3.

Jika n dan n 3 + n 2 + 15 n - 21 n 2 - n - 6 adalah bilangan bulat, maka tentukan banyaknya nilai n yang memenuhi ?

Lihat Penyelesaian

4.

Panjang sisi-sisi sebuah balok merupakan tiga bilangan berurutan. Jika volumenya 24 cm 3 , maka tentukan luas permukaannya ?

Lihat Penyelesaian

5.

Jika a + b + c = 10 , a 2 + b 2 + c 2 = 20 , dan a 3 + b 3 + c 3 = 70 , maka tentukan

a . a 4 + b 4 + c 4

b . a 5 + b 5 + c 5

Lihat Penyelesaian

6.

Tentukan jumlah semua nilai n bilangan asli yang memenuhi sehingga n 3 - 27 n 2 + 171 n - 145 merupakan bilangan prima ?

Lihat Penyelesaian

7.

Tentukan semua nilai x yang memenuhi persamaan

4 log x 64 5 + 3 4 log x 2 64 4 - 17 log x 64 3 - 3 log x 64 2 + log x 4 64 = 0 ?

Lihat Penyelesaian

8.

Tentukan nilai x yang memenuhi 3 4 x + 1 + 10 3 x = 10 3 3 x + 3 ?

Lihat Penyelesaian

9.

Seseorang mengamati perkembangan jumlah bakteri selama 15 hari pada sebuah piring yang baru saja dicuci dan diberi sebutir nasi. Banyaknya bakteri pada hari ke n memenuhi persamaan sukubanyak berderajat 5 . Jika jumlah bakteri mulai hari pertama sampai keenam berturut-turut adalah 7 , 13 , 19 , 25 , 31 , 38 ekor, maka tentukan banyaknya bakteri pada hari terakhir ?

Lihat Penyelesaian

10

a. Jika a + b + c = 0 , tunjukkan a 3 + b 3 + c 3 = 3 abc ?

b. Kemudian tentukan hasil dari - x + 2 y - 5 3 + 3 x - y + 4 3 + - 2 x - y + 1 3 - x + 2 y - 5 3 x - y + 4 - 2 x - y + 1 ?

Lihat Penyelesaian