I. SIFAT-SIFAT AKAR DARI SUKU BANYAK

Sifat-sifat akar dari sukubanyak :

(1) Bentuk a x 2 + bx + c = 0 dengan akar α dan β

  • α + β = - b a , dan αβ = c a

  • a α 2 + b α + c = 0 , dan a β 2 + b β + c = 0

  • a x 2 + bx + c = a x - α x - β

(2) Bentuk a x 3 + b x 2 + cx + d = 0 dengan akar α , β , dan γ

  • α + β + γ = - b a , αβ + αγ + βγ = c a , dan αβγ = - d a

  • a α 3 + b α 2 + c α + d = 0 , a β 3 + b β 2 + c β + d = 0 , dan

a γ 3 + b γ 2 + c γ + d = 0

  • a x 3 + b x 2 + cx + d = a x - α x - β x - γ

(3) Bentuk a x 3 + b x 2 + c x 2 + dx + e = 0 dengan akar α , β , dan γ

  • α + β + γ + δ = - b a , αβ + αγ + αδ + βγ + βδ + γδ = c a

αβγ + αβδ + αγδ + βγδ = - d a , dan αβγδ = e a

  • a α 4 + b α 3 + c α 2 + d α + e = 0 ,

a β 4 + b β 3 + c β 2 + d β + e = 0 ,

a γ 4 + b γ 3 + c γ 2 + d γ + e = 0 ,

a δ 4 + b δ 3 + c δ 2 + d δ + e = 0 ,

  • a x 4 + b x 3 + c x 2 + dx + e = a x - α x - β x - γ x - δ


Sebagai contoh :

1.

Persamaan kuadrat 2 x 2 - x - 8 = 0 akarnya α dan β , tentukan nilai dari

a . α + β

b . αβ

c . α 2 + β 2

d . 2 α 2 + β

e . 2 β 3 - β 2 + 8 α

f . 3 - α 3 - β

Lihat Penyelesaian

2.

Persamaan x 3 + 2 x 2 - 3 x - 7 = 0 akarnya α , β , dan γ . Tentukan nilai dari

a . α + β + γ

b . αβ + αγ + βγ

c . α 2 + β 2 + γ 2

d . α 3 + 2 α 2 + 3 β + 3 γ

e . β 4 + 2 β 3 - 3 β 2 + 7 α + 7 γ

f . 2 - α 2 - β 2 - γ

Lihat Penyelesaian

3.

Persamaan x 4 - 2 x 3 - 3 x 2 - 4 x - 5 = 0 akarnya α , β , γ , dan δ . Tentukan nilai dari

a . α + β + γ + δ

b . αβ + αγ + αδ + βγ + βδ + γδ

c . αβ γ + αβδ + αγδ + βγδ

d . αβγδ

e . α 4 - 2 α 3 - 3 α 2 - 4 α

f . β 5 - 2 β 4 - 3 β 3 - 4 β 2 + 5 α + 5 γ + 5 δ

g . α 2 + β 2 + γ 2 + δ 2

h . 2 - α 2 - β 2 - γ 2 - δ

Lihat Penyelesaian

4.

Jika x = 2 adalah salah satu akar dari persamaan-persamaan di bawah ini, maka tentukan jumlah akar yang lain

a . x 3 - 10 x 2 + mx + n = 0

b . 2 x 4 + 6 x 3 + a x 2 + bx + c = 0

c . x 3 - p x 2 + 2 px - 3 p + 4 = 0

d . x 4 + m x 3 + 2 x 2 + mx + 2 = 0

Lihat Penyelesaian

5.

Jika x = 3 adalah salah satu akar-akar persamaan di bawah ini, maka tentukan hasil kali akar-akar yang lain

a . x 3 + m x 2 + nx - 63 = 0

b . 2 x 4 + a x 3 + b x 2 + cx + 3 = 0

c . 2 x 3 + m x 2 + 2 mx + 2 m - 3 = 0

d . x 4 + a x 3 + a x 2 + ax - 3 = 0

Lihat Penyelesaian

6.

Akar-akar persamaan x 4 - 32 x 3 + p x 2 + qx + r = 0 membentuk barisan aritmatika dengan beda 2 , maka tentukan nilai p , q , r ?

Lihat Penyelesaian

7.

Jika persamaan 2 x 3 + ( k + 1 ) x 2 + kx + 8 = 0 memiliki dua akar yang saling berkebalikan, maka tentukan nilai k dan akar-akarnya ?

Lihat Penyelesaian

8.

Jika x 3 + 5 x 2 + mx + 3 = 0 memiliki sepasang akar kembar, maka tentukan salah satu nilai m dan akar-akarnya ?

Lihat Penyelesaian

9.

Jika salah satu akar persamaan x 4 - 2 x 3 + a x 2 + x + a + 1 = 0 berlawanan dengan akar yang lain, maka tentukan nilai a ?

Lihat Penyelesaian

10.

Jika salah satu akar-akar dari persamaan x 3 + x 2 - 3 x + m + 44 = 0 adalah berlawanan dengan rata-rata kedua akar yang lain, maka tentukan nilai m ?

Lihat Penyelesaian