A. PENGERTIAN FUNGSI

Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah padanan yang mengaitkan setiap anggota A ke tepat satu anggota B .

Keterangan :

Mengaitkan setiap anggota A artinya setiap anggota A harus mempunyai pasangan , dan

ke tepat satu anggota B artinya setiap anggota A tidak boleh bercabang (mempunyai lebih dari satu pasangan)

Fungsi Himpunan

Perhatikan keempat gambar di atas :

Gambar 1 : bukan fungsi karena anggota ada A yang tidak punya pasangan

Gambar 2 : fungsi

Gambar 3 : bukan fungsi karena anggota ada A yang mempunyai lebih dari satu pasang.

Gambar 4 : fungsi

Fungsi dari himpunan A ke B ditulis f : A B

Himpunan A adalah himpunan dari Prapeta , dan himpunan B adalah himpunan Peta atau Bayangan .

Sedangkan fungsi pada himpunan bilangan real f : x x 2 + 3 bisa ditulis f x = x 2 + 3



Sebagai contoh :

1.

Sebuah fungsi didefinisikan f : x 3 x + 2 , tentukan

a. Peta (bayangan) dari 5 oleh fungsi f

b . prapeta dari 17 oleh fungsi f

c . nilai dari x jika bayangannya adalah - 10

Lihat Penyelesaian

2.

Fungsi Himpunan

Pada gambar di samping adalah sebuah fungsi yang memetakan x ke ax+b, tentukan

a. nilai a dan b

b. nilai m

c. nilai n

Lihat Penyelesaian

3.

Diketahui f x = x 2 + 3 x + 4 , tentukan

a. f ( 8 )

b. nilai x sehingga f x = 8

Lihat Penyelesaian

4.

Fungsi Himpunan

Dari ketiga gambar ini, manakah yang merupakan fungsi f : R R ?

Lihat Penyelesaian

5.

f : A B , dengan a A = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 dan b B = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 disajikan dalam himpunan pasangan berurut ( a , b ) sebagai berikut :

1 , 2 , 2 , 2 , 3 , 5 , 4 , 4 , 5 , 1 , 6 , 3 , 7 , 5

a. Gambarkan fungsinya dalam diagram panah

b. Tentukan f ( 5 )

c. Tentukan nilai k jika f k = 5

Lihat Penyelesaian

6.

Fungsi dari himpunan A ke B disajikan dalam diagram panah seperti pada gambar di bawah ini.

Fungsi Himpunan

Pada gambar disamping, maka

a. nyatakan fungsinya dalam pasangan berurutan

b. tentukan f(3)

c. tentukan x sehingga fx=3

Lihat Penyelesaian

7.

Diketahui f x + 1 = 2 f x + 3 , dan f 1 = 10 . Tentukan nilai dari f ( 100 ) ?

Lihat Penyelesaian

8.

Tentukan tempat kedudukan titik yang jaraknya terhadap titik A ( 4 , 2 ) dua kali jaraknya terhadap titik B ( 10 , 2 )

Lihat Penyelesaian

9.

Diketahui f x = 10 - 2 x x 2 - 4 8 x 5 - 10 < x < 5 x - 10 . Tentukan f - 12 + f - 2 + f ( 12 ) ?

Lihat Penyelesaian

10.

Diketahui f x , y = x 2 + 4 xy + 4 y 2 - 16 , Tentukan

a . f ( 1 , 2 )

b . f ( 2 a , 8 - a )

c . nilai p sehngga f p , p + 1 = p + 2

Lihat Penyelesaian

11.

a. fx=x4-4x3+6x2-4x+6, maka tentukan nilai dari f1+12 ?

b. fx=x4+4x3+7x2+6x+5, maka tentukan nilai dari f46+20?

Lihat Penyelesaian

B. DAERAH ASAL, DAERAH HASIL, dan DAERAH KAWAN

Fungsi f : A B adalah fungsi dengan daerah asal himpunan A dan daerah kawan B . Daerah hasil tidak harus sama dengan himpunan B . Untuk lebih jelasnya akan dijelaskan dengan gambar di bawah ini

Fungsi Himpunan

Pada gambar di samping :

A adalah daerah asal (Domain dari fungsi f) ditulis Df

B adalah daerah kawan (Kodomain dari fungsi f ) ditulis K f

C adalah daerah hasil (Range dari fungsi f ) ditulis R f

Daerah asal alami dari f ( x ) adalah daerah asal pada bilangan real dimana f ( x ) terdefinisi

Contoh : (i) f x = x - 1 mempunyai daerah asal alami D f = x x 1 , x R

Sebab jika kita substitusikan nilai x < 1 , hasilnya tak terdefinisi

(ii) f x = x x - 1 mempunyai daerah asal alami D f = x . x 1 , x R

Sebab jika kita substitusikan nilai x = 1 , hasilnya 1 0 (tak terdefinisi)

Semua fungsi polinom derajat n mempunyai daerah asal alami xϵR .



Sebagai contoh :

1.

Diketahui A = - 3 , - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , B = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , dan f : A B . Jika f : x x 2 , maka tentukan

a. Domain

b. Kodomain

c. range

Lihat Penyelesaian

2.

Diketahui A = x 0 x 1 , x R , B = y 0 y 1000 , x R , dan f : A B . Jika f : x 100 x , maka

a . tentukan domain f

b . tentukan kodomain f

c . tentukan range f

d . simpulkan tentang banyaknya bilangan real

Lihat Penyelesaian

3.

Tentukan Domain dan range untuk fungsi-fungsi di bawah ini ?

a . f x = x 2 - 4 x + 3

b . g x = x 2 - 4 x + 3

Lihat Penyelesaian

4.

Tentukan Domain dan range untuk

a. f x = x + 4

b. g x = x 2 + 4

Lihat Penyelesaian

5.

Tentukan domain dan range untuk dari f x = x + 2 x - 3 ?

Lihat Penyelesaian

6.

Tentukan domain dan range untuk dari f x = 3 x - 28 x 2 + 11 x - 12 ?

Lihat Penyelesaian

7.

Tentukan domain dan range dari f x = 2 x ?

Lihat Penyelesaian

8.

Tentukan domain dan range dari fungsi-fungsi di bawah ini

a. f x = log x + 2 3

b . f x = log x 2 + 6 x + 19

Lihat Penyelesaian

C. BEBERAPA FUNGSI KHUSUS

Beberapa fungsi khusus yang sering kita jumpai adalah

1.

Fungsi konstan : adalah fungsi yang mempunyai bayangan di satu nilai.

Fungsi konstan f x = k , dengan k adalah sebuah konstanta

Contoh : f x = 10 , f x = - 1

2.

Fungsi identitas : adalah fungsi yang memetakan sebuah nilai ke dirinya sendiri.

Fungsi identitas f x = x

3

Fungsi berbentuk suku banyak,

f x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + a 1 x + a 0 , dengan n bilangan cacah.

Fungsi berbentuk suku banyak yang sering kita jumpai adalah

  • Fungsi linier f x = ax + b , grafiknya berbentuk garis lurus

  • Fungsi kuadrat f x = a x 2 + bx + c , grafiknya berbentuk parabola

4.

Fungsi modulus atau fungsi harga mutlak

Definisi : x = x 2 , atau bisa juga x = x , untuk x 0 x , untuk x < 0

Contoh : f x = x + 2 , f x = 3 + x , dan sebagainya.

5.

Fungsi tangga atau fungsi nilai bulat terbesar

Definisi : x adalah bilangan bulat terbesar yang kurang atau sama dengan x

Contohnya : 2,4 = 2 , - 3,1 = - 4 , 10 = 10 .

Contoh fungsi tangga : f x = x , f x = 2 x - 1 , dan seterusnya.

6.

Fungsi genap dan fungsi ganjil

Definisi : f ( x ) dikatakan fungsi genap apabila f - x = f ( x )

f ( x ) dikatakan fungsi ganjil apabila f - x = - f ( x )

Contoh : f x = x 2 + 4 adalah fungsi genap

sebab f - x = - x 2 + 4 = x 2 + 4 = f ( x )

f x = sin x adalah fungsi ganjil

sebab f - x = sin - x = - sin x = - f ( x )

7.

Fungsi periodik : adalah fungsi yang grafiknya bersifat periodic

Jika f ( x ) bukan fungsi konstan, dan f x + kp = f ( x ) untuk sembarang konstanta p , dan k Z maka f ( x ) disebut fungsi periodik.

Contoh : f x = sin x adalah fungsi periodic, sebab f x + 2 = sin x = f ( x )



Sebagai contoh :

1.

Diketahui f x = 100 x 100 x + 1 , dan gx=fx+f(-x). Sederhanakan g(x) dan termasuk fungsi apakah f(x) ?

Lihat Penyelesaian

2.

Jika f ( x ) adalah fungsi linier, dengan f 2 = 3 , f 3 = 5 , dan f k = 5 k , maka tentukan nilai dari k ?

Lihat Penyelesaian

3.

Jika f ( x ) adalah fungsi kuadrat, yang grafiknya melalui 2 , 0 , ( 4 , 0 ) , dan ( 5 , 9 ) , maka :

a . Tentukan fungsi kuadrat tersebut

b. Buatlah sketsa grafiknya, dan tentukan domain serta rangenya

Lihat Penyelesaian

4.

Gambar grafik dari fungsi modulus di bawah ini

a . f x = 2 x - 1

b . f x = 2 x - 1

c . f x = 2 x - 1 - 2

d . f x = 2 x - 1 - 2

Lihat Penyelesaian

5.

Gambar grafik fungsi tangga di bawah ini

a . f x = x

b. f x = x + 2

Lihat Penyelesaian

6.

Dari fungsi-fungsi di bawah ini, manakah yang merupakan fungsi genap atau fungsi ganjil

a . f x = x 2 + 2 x - 3

b . f x = cos x

c. f x = x 5 + 2 x 3 - 10 x

d. f x = 2 x

Lihat Penyelesaian

  1. FUNGSI SURJEKTIF, INJEKTIF, DAN BIJEKTIF

Fungsi f : A B dikatakan fungsi “into” atau fungsi “ke dalam” apabila range dari f ( atau R f ) merupakan himpunan bagian yang tak sama dari Kodomain f (atau K f ) .

Tetapi jika R f = K f maka fungsi f dikatakan fungsi onto (kepada) atau fungsi yang surjektif.

Fungsi f : A B dikatakan fungsi satu-satu (Injektif ) apabila a 1 , a 2 A dengan a 1 a 2 maka f a 1 f a 2

Fungsi f : A B dikatakan fungsi bijektif (korespondensi satu-satu) apabila fungsi tersebut merupakan fungsi yang surjektif dan injektif.

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh-contoh di bawah ini :

  1. Fungsi Into atau fungsi ke dalam     kodomain tidak habis

    Contoh fungsi into (ke dalam) dalam bentuk diagram panah :

    Fungsi Komposisi

    Fungsi Komposisi

    Contoh fungsi into dalam bentuk gambar untuk domain dan kodomain terbatas :

    Fungsi Komposisi

    Domain x - 5 x 15 , x R

    Kodomain y - 4 y 11 , y R

    Range dari y = 100 - x - 5 2

    R = y 0 y 10 , y R

    Range dari y = 2 5 x

    R = y - 2 y 6 , y R

    Contoh fungsi into untuk domain dan kodomain bilangan real adalah :

    1. y = f x = sin x     karena rangenya y - 1 y 1 , y R

    2. y = 3 x + 5       karena rangenya y y 0 , y R

  1. Contoh fungsi Onto (kepada)/(surjektif)

    Kodomain habis kodomain = range

    Contoh fungsi onto (surjektif) dalam bentuk diagram panah

    Fungsi Komposisi

    Fungsi Komposisi

    Fungsi Komposisi

    Contoh fungsi onto (surjektif) dalam bentuk gambar untuk domain dan kodomain terbatas

    Fungsi Komposisi

    Domain x - 5 x 15 , x R

    Kodomain y - 4 y 10 , y R

    Range dari y = 7 - 7 5 x - 4

    R = y - 4 y 10 , y R

    Kodomain = range

  1. Contoh fungsi injektif (satu-satu)

    Contoh fungsi injektif dalam bentuk diagram panah

    Fungsi Komposisi

    Fungsi Komposisi

    Contoh fungsi injektif f dalam bentuk gambar dengan domain dan kodomain terbatas

    Fungsi Komposisi

    Domain x 0 x 20 , x R  

    Kodomain y 0 y 14 , y R

    Range dari y = 10 - 1 4 x

    R = y 5 y 10 , y R

    Range dari y = x

    R = y 0 y 20 , y R

  1. Contoh fungsi Bijektif :

    Dalam bentuk diagram panah

    Fungsi Komposisi

    Fungsi Komposisi

    Dalam bentuk gambar dengan domain dan kodomain terbatas

    Fungsi Komposisi

    Domain x 0 x 20 , x R  

      Kodomain y 0 y 15 , y R

    Range dari y = 3 4 x

      R = y 0 y 15 , y R

    Range dari y = 15 1 - x 2 400

      R = y 0 y 15 , y R

    Semua fungsi linier f x = ax + b merupakan fungsi yang bijektif.


Sebagai contoh :

1.

Dari beberapa pasangan berurutan di bawah ini, jika merupakan fungsi maka sebutkan jenis fungsi-fungsinya untuk domain D f = 1 , 2 , 3 , 4 dan kodomain K f = a , b , c , d

  1. f = 1 , a , 2 , b , 3 , c , 3 , d

  2. f = 1 , a , 2 , a , 3 , b

  3. f = 1 , b , 2 , b , 3 , b , 4 , b

  4. f = 1 , a , 2 , b , 3 , c , 4 , d

Lihat Penyelesaian
2.

Dari fungsi-fungsi yang disajikan dalam diagram panah di bawah ini, manakah yang merupakan fungsi into, onto (surjektif), satu-satu (injektif) , atau bijektif ?

  1. Fungsi Himpunan

  2. Fungsi Himpunan

  3. Fungsi Himpunan

  4. Fungsi Himpunan

Lihat Penyelesaian
3.

Diketahui A = 1 , 2 , 3 dan B = 1,4 , dan f : A B . Tentukan banyaknya

  1. Fungsi into (ke dalam) yang dapat di buat

  2. Fungsi surjektif /onto (kepada) yang dapat di buat

Lihat Penyelesaian
4.

Diketahui A = x , y , z dan B = 1 , 2 , 3 , dan f : A B . Tentukan banyaknya

  1. Fungsi into (ke dalam) yang dapat di buat

  2. Fungsi bijektif /surjektif dan injektif (satu-satu kepada) yang dapat di buat

Lihat Penyelesaian
5.

Fungsi-fungsi yang didefinisikan di bawah ini, manakah yang merupakan fungsi into, onto (surjektif), satu-satu (injektif) , atau bijektif

  1. f : R R , dengan f x = x 2 ( R adalah himpunan bilangan real)

  2. f : N N , dengan f x = x 2 ( N adalah himpunan bilangan natural atau asli)

  3. f : A B , dengan f x = x 2 , dan A = 1 , 2 , 3 , 4 , dan B = 1 , 4 , 9 , 16

Lihat Penyelesaian
6.

Di bawah ini adalah f : R R . Manakah yang merupakan fungsi into, onto (surjektif), satu-satu (injektif) , atau bijektif ?

  1. f x = 2 x + 5

  2. f x = x 3 - x 2

Lihat Penyelesaian
7.

Jika f : R A , dan f x = x 2 - 2 x + 10 , maka tentukan himpunan A terbesar, sehingga f ( x ) merupakan fungsi yang surjektif.

Lihat Penyelesaian
8.

Jika f x = x 2 + 9 , maka tentukan jenis dari fungsi f x untuk

  1. Domain D f = 0 , 4 dan Kodomainnya K f = 3 , 5

  2. Domain D f = 0 , 4 dan Kodomainnya K f = 0 , 5

  3. Domain D f = - 4 , 4 dan Kodomainnya K f = 3 , 5

Lihat Penyelesaian
9.

Tentukan Domain dari fungsi f x = x 2 - 6 x + 10 agar menjadi fungsi yang bijektif !

Lihat Penyelesaian
10.

Jika f : R R dengan f x = x 2 , tunjukkan bahwa

  1. f x bukan fungsi yang surjektif (onto)

  2. f x bukan fungsi yang injektif (satu-satu)

Lihat Penyelesaian
11.

Untuk mengetahui bahwa banyaknya bilangan real dalam sebuah interval adalah takberhingga, maka kita akan membuktikan bahwa ada fungsi yang mengaitkan setiap elemen di himpunan A = 0 , 1000 ke elemen di himpunan B = 0 , 1 .

Misalkan f : A B dengan f x = 1 1000 x . Tunjukkan bahwa f x adalah fungsi yang bijektif !

Lihat Penyelesaian

E. OPERASI ALJABAR BEBERAPA FUNGSI

Operasi aljabar beberapa fungsi dibawah ini melibatkan operasi + , - , × , ÷ .

Misalkan f ( x ) dan h ( x ) adalah dua buah fungsi yang terdef inisi pada domain D f , dan D h , maka

  • f + h x = f x + h ( x ) dengan domain D f + h = D f D h

  • f - h x = f x - h ( x ) dengan domain D f - h = D f D h

  • f × h x = f x × h ( x ) dengan domain D f × h = D f D h

  • f h x = f x h ( x ) , h ( x ) 0 , dengan domain D f h = D f D h



Sebagai contoh :

1.

Jika f x = x + 2 , dan g x = 2 x , maka tentukan

a. D f

b. D g

c. f + g x

d. D f + g

Lihat Penyelesaian

2.

Jika f x = log x + 2 4 , dan h x = log x - 3 2 , maka tentukan

a. D f

b. D h

c. f - h x

d. D f - h

Lihat Penyelesaian

3.

Diketahui x = x 2 + 2 x , dan g x = 1 x + 2 , maka tentukan

a . f × g x

b . f g x

c. D f × g

d. D f g

Lihat Penyelesaian

F. KOMPOSISI FUNGSI

f dan g adalah dua buah fungsi, sedemikian hingga f : A B dan g : C D , maka komposisi fog : C B bisa dituliskan dalam bentuk fog x = f g ( x ) .

Komposisi Fungsi

D f = domain dari fungsi f(x)

R g = range dari fungsi g(x)

Syarat sebuah komposisi fog ( x ) terdefinisi adalah R g D f



Sebagai contoh :

1.

Jika f x = x 2 + 2 x + 5 maka tentukan

a. f ( 2 x )

b. f ( 3 x - 1 )

c. f ( x - 1 )

d. fof ( x )

Lihat Penyelesaian

2.

Jika x = 3 x - 2 x - 3 , maka tentukan

a. g ( 3 x )

b. g ( x + 1 )

c. g 1 x

d. gog ( x )

Lihat Penyelesaian

3.

Diketahui f x = 3 x - 1 , dan g x = x 2 + 3 x + 9 . Tentukan

a . fog

b . gof

c. Apakah fog = gof

Lihat Penyelesaian

4.

Jika f x = 20 - 5 x , x 0 x 2 - 1 , x < 0 maka tentukan

a . fof ( 8 )

b . fof ( - 10 )

Lihat Penyelesaian

5.

Fungsi f : A B didefinisikan dalam pasangan terurut ( a , b ) dengan aϵA dan bϵB sebagai berikut : 1 , 5 2 , 6 3 , 4 4 , 1 5 , 2 6 , 3 . maka

a . gambarkan dalam diagram panah untuk fungsi f

b . Tentukan nilai dari fof 2 + fof ( 5 )

Lihat Penyelesaian

6.

Diketahui f 2 x + 3 = 8 x + 10 , tentukan

a . f ( 3 )

b . f 5

c. nilai a sehingga f a = 818

d. nilai b sehingga f b = 1234

Lihat Penyelesaian

7.

Diketahui f x = ax + b dan g x = 2 ax + 3 b , dengan a 0 . Jika fof = g maka tentukan nilai dari a dan b ?

Lihat Penyelesaian

8.

Diketahui f x = 3 x - 5 , dan g x = x 2 - 4 .

a. Tentukan nilai x sehingga gof x = 45

b. Tentukan nilai a agar fog a = 10

Lihat Penyelesaian

9.

Fungsi Himpunan

Pada gambar di atas , fungsi f ( x ) dengan domain D f = x - 8 x 12 , xϵR , tentukan

a. Rangenya

b . nilai x sehingga f x = 0

c. Banyaknya nilai x yang memenuhi f f x = 0

Lihat Penyelesaian

10.

Pada proses pembuatan kertas dengan bahan dasar kayu, diketahui bahwa setiap 1 ton kayu akan menghasilkan bahan mentah kertas sebesar 400 kg, dan hanya 80% dari bahan mentah akan menghasilkan kertas. Jika proses dari bahan kayu menjadi bahan mentah kertas adalah f ( x ) dan dari bahan mentah ke kertas menjadi kertas adalah g ( x ) , maka tentukan

a . f ( x )

b . g ( x )

c . fungsi dari bahan kayu menjadi kertas

d . banyaknya kertas yang dihasilkan dari 400 kg kayu

e . banyaknya kayu yang dibutuhkan untuk membuat 700 kg kertas

Lihat Penyelesaian

G. ALJABAR KOMPOSISI FUNGSI

Pada pokok bahasan ini, pembaca di ajak mencari fungsi f ( x ) atau g ( x ) jika diketahui fog x = h x dan salah satu fungsi dari f ( x ) atau g ( x ) .



Sebagai contoh :

1.

Tentukan fungsi f ( x ) , jika diketahui

a. f 2 x = 4 x - 5

b. f 3 x = 9 x 2 + 12 x + 1

Lihat Penyelesaian

2.

Tentukan g ( x ) , jika diketahui

a. g x + 1 = 6 x + 1

b. g 2 x - 1 = 4 x 2 + 6 x - 1

Lihat Penyelesaian

3.

Tentukan h ( x ) , jika diketahui

a . h x + 1 x = x 2 + 1 x 2

b . h x 2 + 3 x + 5 = 2 x 2 + 6 x + 5

Lihat Penyelesaian

4.

a. Jika f 3 x - 1 = x 2 + 8 x - 11 maka tentukan f 6 x + 5

b. Jika g 2 x - 1 = 12 x 2 + 14 x + 9 maka tentukan f 3 x + 2

Lihat Penyelesaian

5.

Tentukan g ( x ) , jika diketahui

a . gof x = 10 x - 2 dan f x = 2 x + 5

b . hog x = 1 - 4 x dan h x = 2 x - 1

Lihat Penyelesaian

6.

Tentukan g ( x ) , jika diketahui

a . gof x = 8 x 2 + 6 x - 1 dan f x = 2 x + 3

b . hog x = 9 x 2 + 12 x dan h x = x 2 - 4 x

Lihat Penyelesaian

7.

Tentukan g ( x ) , jika diketahui

a . gof x = 2 x - 3 1 - x dan f x = x - 2 x + 3

b . hog x = x - 2 x - 3 dan h x = 2 x - 1 3 x + 1

Lihat Penyelesaian

H. INVERS FUNGSI Dan FUNGSI INVERS

Jika f : A B relasi balikan yang mengaitkan anggota himpunan B ke anggota himpunan A adalah f - 1 : B A .

Jika f - 1 bukan merupakan fungsi, maka f - 1 dinamakan invers fungsi .

Jika f - 1 merupakan fungsi, maka f - 1 dinamakan fungsi invers.

Jika f ( x ) adalah fungsi yang bijektif (surjektif dan injektif), maka f - 1 ( x ) merupakan fungsi invers.

INVERS FUNGSI Dan FUNGSI INVERS

Grafik dari f ( x ) dan f - 1 ( x ) simetris terhadap garis y = x .

Akibatnya jika f ( x ) dan f - 1 ( x ) berpotongan, maka titik potongnya berada pada garis y = x .

Sifat-sifat dari invers fungsi dan fungsi invers :

  • fo f - 1 x = x ,

akibatnya jika fog x = x maka f ( x ) dan g ( x ) saling invers.

  • Jika f - 1 x = h ( x ) maka h - 1 x = f ( x )

  • Jika f a = b f - 1 b = a

  • fog - 1 x = g - 1 o f - 1 ( x )

Akibatnya f o g o h x = h - 1 o g - 1 o f - 1 ( x )

  • f - 1 - 1 ( x ) = f ( x )



Sebagai contoh :

1.

Diketahui f x = 2 x + 3 ,

a . Tentukan f - 1 ( x )

b . Gambarkan f ( x ) dan f - 1 ( x ) pada bidang kartesius

Lihat Penyelesaian

2.

Diketahui f x = x 2 + 2 x - 3 ,

a. Tentukan f - 1 ( x )

b . Gambarkan f ( x ) dan f - 1 ( x ) pada bidang kartesius

Lihat Penyelesaian

3.

Tentukan f - 1 ( 3 ) untuk fungsi-fungsi di bawah ini

a . f x = 4 x - 25

b f x = 5 x - 1 x - 4

c. f x = x 2 + 2 x + 3 , D f = x x < 0 , x R

d . f x = 2 x + 7 x 2 + x + 1 , D f = x x > 0 , x R

Lihat Penyelesaian

4.

Tentukan nilai dari a jika f - 1 a = 3 untuk fungsi-fungsi di bawah ini

a . f x = 2 x + 54

b f x = 5 x - 1 x + 4

c. f x = x 2 + 3 x + 5

d . f x = 6 x + 2 x 2 + x + 3

Lihat Penyelesaian

5.

Diketahui f x = x 2 + 12 x + 40 , g x = x 2 x - 1 , dan h x = x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 .

Tentukan nilai dari

a . m jika f - 1 o g - 1 o h - 1 m = - 6

b . n jika g - 1 o h - 1 o f - 1 n = 1

Lihat Penyelesaian

6.

Tentukan invers dari fungsi

a . f x = ax + b cx + d , x - d c

b f x = 2 x - 1 x - 3 , x 3

c. f x = 3 - 2 x 5 x + 2 , x - 2 5

d . f x = 2 + 3 x - 1 , x 1

Lihat Penyelesaian

7.

Tentukan invers dari fungsi

a . f x = x 2 + 10 x - 5

b f x = 2 x 2 - 3 x + 1

c. f x = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 6

d . f x = x 3 - 6 x 2 + 12 x - 1

Lihat Penyelesaian

8.

Tentukan invers dari fungsi

a . f x = x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 x 3 , x 0

b. f x = 3 2 x - 5 4

Lihat Penyelesaian

9.

Diketahui f x = 2 x - 1 , dan g x = x - 2 x + 3 , x - 3 . Tentukan

a. f - 1 ( x ) , g - 1 ( x ) , dan g - 1 o f - 1 ( x )

b . fog ( x ) dan fog - 1 ( x )

c . Bandingkan jawaban a dan b untuk g - 1 o f - 1 dan fog - 1

Lihat Penyelesaian

10.

Diketahui f x = 3 x - 2 2 x - 1 , g x = x - 2 2 x - 3 , tentukan

a . f - 1 ( x )

b . g - 1 ( x ) dengan memanfaatkan jawaban a

Lihat Penyelesaian

I. PERSAMAAN KOMPOSISI DAN INVERS FUNGSI

Untuk mencari persamaan fungsi, jika diketahui komposisinya dan fungsi-fungsi lain, kita gunakan persamaan fungsi.

Sebagai ilustrasi :

Diketahui fog x = p ( x ) , untuk mencari fungsi g ( x ) caranya sebagai berikut

fog = p                             kedua ruas kita komposisikan dengan f - 1  di sebelah kiri

f - 1 ofog = f - 1 op           ingat f - 1 of = I dimana I adalah fungsi identitas

Iog = f - 1 op Iog = g     (komposisi dengan I tidak mengubah hasil)

g = f - 1 op



Sebagai contoh :

1.

Diketahui f x = 2 x - 1 x + 2 , fog x = x + 2 x - 1 , maka tentukan

a . f - 1 ( x )

b. g ( x )

Lihat Penyelesaian

2.

Diketahui f - 1 x = x x + 2 , g - 1 x = 2 - x + 10 , dan h x = 2 x - 1 . Tentukan

a. gof - 1 ( - 1 )

b . f o h - 1 o g - 1 ( - 3 )

c. Nilai a sehingga g o h - 1 o f a = - 6

Lihat Penyelesaian

3.

Diketahui f x = 3 x - 4 x - 2 , h x = 1 - x x + 3 , tentukan

a . g ( x ) jika f o g o h x = 3 - x x + 2

b . q ( x ) jika f o h o q x = x x + 1

Lihat Penyelesaian

4.

Diketahui f x = 4 x + 11 , g x = 4 x + 1 x - 1 , h x = 2 x 2 + 4 . Jika f o g o h o p 3 x + 4 x - 11 = x + 30 4 x - 3 , maka tentukan

a . p - 1 ( 4 )

b. p - 1 ( x )

Lihat Penyelesaian