1. FUNGSI SURJEKTIF, INJEKTIF, DAN BIJEKTIF

Fungsi f : A B dikatakan fungsi “into” atau fungsi “ke dalam” apabila range dari f ( atau R f ) merupakan himpunan bagian yang tak sama dari Kodomain f (atau K f ) .

Tetapi jika R f = K f maka fungsi f dikatakan fungsi onto (kepada) atau fungsi yang surjektif.

Fungsi f : A B dikatakan fungsi satu-satu (Injektif ) apabila a 1 , a 2 A dengan a 1 a 2 maka f a 1 f a 2

Fungsi f : A B dikatakan fungsi bijektif (korespondensi satu-satu) apabila fungsi tersebut merupakan fungsi yang surjektif dan injektif.

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh-contoh di bawah ini :

  1. Fungsi Into atau fungsi ke dalam     kodomain tidak habis

    Contoh fungsi into (ke dalam) dalam bentuk diagram panah :

    Fungsi Komposisi

    Fungsi Komposisi

    Contoh fungsi into dalam bentuk gambar untuk domain dan kodomain terbatas :

    Fungsi Komposisi

    Domain x - 5 x 15 , x R

    Kodomain y - 4 y 11 , y R

    Range dari y = 100 - x - 5 2

    R = y 0 y 10 , y R

    Range dari y = 2 5 x

    R = y - 2 y 6 , y R

    Contoh fungsi into untuk domain dan kodomain bilangan real adalah :

    1. y = f x = sin x     karena rangenya y - 1 y 1 , y R

    2. y = 3 x + 5       karena rangenya y y 0 , y R

  1. Contoh fungsi Onto (kepada)/(surjektif)

    Kodomain habis kodomain = range

    Contoh fungsi onto (surjektif) dalam bentuk diagram panah

    Fungsi Komposisi

    Fungsi Komposisi

    Fungsi Komposisi

    Contoh fungsi onto (surjektif) dalam bentuk gambar untuk domain dan kodomain terbatas

    Fungsi Komposisi

    Domain x - 5 x 15 , x R

    Kodomain y - 4 y 10 , y R

    Range dari y = 7 - 7 5 x - 4

    R = y - 4 y 10 , y R

    Kodomain = range

  1. Contoh fungsi injektif (satu-satu)

    Contoh fungsi injektif dalam bentuk diagram panah

    Fungsi Komposisi

    Fungsi Komposisi

    Contoh fungsi injektif f dalam bentuk gambar dengan domain dan kodomain terbatas

    Fungsi Komposisi

    Domain x 0 x 20 , x R  

    Kodomain y 0 y 14 , y R

    Range dari y = 10 - 1 4 x

    R = y 5 y 10 , y R

    Range dari y = x

    R = y 0 y 20 , y R

  1. Contoh fungsi Bijektif :

    Dalam bentuk diagram panah

    Fungsi Komposisi

    Fungsi Komposisi

    Dalam bentuk gambar dengan domain dan kodomain terbatas

    Fungsi Komposisi

    Domain x 0 x 20 , x R  

      Kodomain y 0 y 15 , y R

    Range dari y = 3 4 x

      R = y 0 y 15 , y R

    Range dari y = 15 1 - x 2 400

      R = y 0 y 15 , y R

    Semua fungsi linier f x = ax + b merupakan fungsi yang bijektif.


Sebagai contoh :

1.

Dari beberapa pasangan berurutan di bawah ini, jika merupakan fungsi maka sebutkan jenis fungsi-fungsinya untuk domain D f = 1 , 2 , 3 , 4 dan kodomain K f = a , b , c , d

  1. f = 1 , a , 2 , b , 3 , c , 3 , d

  2. f = 1 , a , 2 , a , 3 , b

  3. f = 1 , b , 2 , b , 3 , b , 4 , b

  4. f = 1 , a , 2 , b , 3 , c , 4 , d

Lihat Penyelesaian
2.

Dari fungsi-fungsi yang disajikan dalam diagram panah di bawah ini, manakah yang merupakan fungsi into, onto (surjektif), satu-satu (injektif) , atau bijektif ?

  1. Fungsi Himpunan

  2. Fungsi Himpunan

  3. Fungsi Himpunan

  4. Fungsi Himpunan

Lihat Penyelesaian
3.

Diketahui A = 1 , 2 , 3 dan B = 1,4 , dan f : A B . Tentukan banyaknya

  1. Fungsi into (ke dalam) yang dapat di buat

  2. Fungsi surjektif /onto (kepada) yang dapat di buat

Lihat Penyelesaian
4.

Diketahui A = x , y , z dan B = 1 , 2 , 3 , dan f : A B . Tentukan banyaknya

  1. Fungsi into (ke dalam) yang dapat di buat

  2. Fungsi bijektif /surjektif dan injektif (satu-satu kepada) yang dapat di buat

Lihat Penyelesaian
5.

Fungsi-fungsi yang didefinisikan di bawah ini, manakah yang merupakan fungsi into, onto (surjektif), satu-satu (injektif) , atau bijektif

  1. f : R R , dengan f x = x 2 ( R adalah himpunan bilangan real)

  2. f : N N , dengan f x = x 2 ( N adalah himpunan bilangan natural atau asli)

  3. f : A B , dengan f x = x 2 , dan A = 1 , 2 , 3 , 4 , dan B = 1 , 4 , 9 , 16

Lihat Penyelesaian
6.

Di bawah ini adalah f : R R . Manakah yang merupakan fungsi into, onto (surjektif), satu-satu (injektif) , atau bijektif ?

  1. f x = 2 x + 5

  2. f x = x 3 - x 2

Lihat Penyelesaian
7.

Jika f : R A , dan f x = x 2 - 2 x + 10 , maka tentukan himpunan A terbesar, sehingga f ( x ) merupakan fungsi yang surjektif.

Lihat Penyelesaian
8.

Jika f x = x 2 + 9 , maka tentukan jenis dari fungsi f x untuk

  1. Domain D f = 0 , 4 dan Kodomainnya K f = 3 , 5

  2. Domain D f = 0 , 4 dan Kodomainnya K f = 0 , 5

  3. Domain D f = - 4 , 4 dan Kodomainnya K f = 3 , 5

Lihat Penyelesaian
9.

Tentukan Domain dari fungsi f x = x 2 - 6 x + 10 agar menjadi fungsi yang bijektif !

Lihat Penyelesaian
10.

Jika f : R R dengan f x = x 2 , tunjukkan bahwa

  1. f x bukan fungsi yang surjektif (onto)

  2. f x bukan fungsi yang injektif (satu-satu)

Lihat Penyelesaian
11.

Untuk mengetahui bahwa banyaknya bilangan real dalam sebuah interval adalah takberhingga, maka kita akan membuktikan bahwa ada fungsi yang mengaitkan setiap elemen di himpunan A = 0 , 1000 ke elemen di himpunan B = 0 , 1 .

Misalkan f : A B dengan f x = 1 1000 x . Tunjukkan bahwa f x adalah fungsi yang bijektif !

Lihat Penyelesaian