A. PENGERTIAN DAN PERSAMAAN UMUM LINGKARAN

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap titik tertentu.

Jarak yang sama adalah jari-jari r dan titik tertentu adalah pusat lingkaran.

Lingkaran berpusat di P(0, 0) dan berjari-jari r

Persamaan Lingkaran

Lingkaran berpusat di P(a, b) dan berjari-jari r

Persamaan Lingkaran

Bentuk umum persamaan lingkaran :

x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 Pusat -A2, -B2 dan jari-jari r=A24+B24-C

Persamaan lingkaran dalam bentuk parameter : x = r cos θ y = r sin θ



Sebagai contoh :

1.

Jika di bawah ini merupakan persamaan lingkaran, maka tentukan pusat dan jari-jarinya ?

a. 4 x 2 + 4 y 2 = 1

b. x 2 + 9 y 2 = 25

c. x 2 - y 2 + 4 x + 8 y - 5 = 0

d. x 2 + y 2 + 4 x - 8 y - 5 = 0

Lihat Penyelesaian

2.

Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran di bawah ini

a. x 2 + k y 2 + 2 x + 3 2 + y - 1 2 + 3 x - 3 y = 10 k

b. 2 x 2 + k y 2 + 6 - k x + k + 10 y = 30

Lihat Penyelesaian

3.

Tentukan persamaan lingkaran

a. Yang berjari-jari 4 dan berpusat di titik asal

b. Berpusat di ( 2 , - 1 ) dan berjari-jari 10

c. berpusat di ( 3 , 2 ) dan berjari-jari 1 2 2

Lihat Penyelesaian

4.

Tentukan persamaan lingkaran yang

a. berpusat di ( 0 , 0 ) dan melalui ( 2 , 3 )

b. berpusat di 1 2 , - 5 2 dan melalui ( 3 , 3 )

Lihat Penyelesaian

5.

Jika jari-jari lingkaran 4 x 2 + 4 y 2 + 2 x + 4 y = k adalah 3 4 , maka tentukan pusat dan jari-jari lingkaran k x 2 + k y 2 - 2 x - y = 96

Lihat Penyelesaian

6.

Tentukan persamaan lingkaran yang berdiameter ruas garis AB , dengan titik A ( 2 , 3 ) dan titik B ( - 4 , 11 ) ?

Lihat Penyelesaian

7.

Tentukan persamaan lingkaran yang berparameter

a. y = 2 sin θ x = 2 cos θ

b. y = 10 sin α cos α + 3 x = 10 cos 2 α

Lihat Penyelesaian

8.

Tentukan tempat kedudukan titik yang jaraknya terhadap titik A ( 4 , 2 ) dua kali jaraknya terhadap titik B ( 10 , 2 )

Lihat Penyelesaian

9.

Tentukan persamaan lingkaran yang melalui ( 2 , 5 ) , ( 2 , 13 ) , dan ( 8 , 13 )

Lihat Penyelesaian

10.

Tentukan persamaan lingkaran yang sekonsentris dengan lingkaran x 2 + y 2 - 4 x + 12 y - 60 = 0 tetapi jari-jarinya setengahnya.

Lihat Penyelesaian

B. GEOMETRI ANALIT LINGKARAN

1. Jarak titik ( x 1 , y 1 ) ke garis Ax + By + C = 0 adalah d = A x 1 + B y 1 + C A 2 + B 2

2. Garis yang melalui A x 1 , y 1 dan B x 2 , y 2 mempunyai gradient m = y 2 - y 1 x 2 - x 1

Persamaan garis melalui A x 1 , y 1 dan bergradien m adalah : y - y 1 = m ( x - x 1 )

3. Dua garis saling tegak lurus, maka m 1 × m 2 = - 1

Dua garis saling sejajar, maka m 1 = m 2



Sebagai contoh :

1.

Tentukan persamaan lingkaran yang

a. Berpu sat di titik A ( 2 , 5 ) dan menyinggung sumbu X

b. Berpusat di titik B ( 3 , - 1 ) dan menyinggung sumbu Y

c. Berpusat di titik C ( 4 , 2 ) dan menyinggung garis 12 x + 5 y = 10

Lihat Penyelesaian

2.

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat pada garis y = 2 x - 4 dan menyinggung sumbu-sumbu koordinat.

Lihat Penyelesaian

3.

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat pada garis y = 2 x + 3 dan menyinggung garis x + y = 10 di titik ( 4 , 6 )

Lihat Penyelesaian

4.

Tentukan Persamaan-persamaan lingkaran pada gambar di bawah ini yang belum diketahui

a.Persamaan Lingkaran

b.Persamaan Lingkaran

Lihat Penyelesaian

5.

Tentukan persamaan lingkaran yang berada di kuadran pertama, menyinggung garis
3 x + 4 y = 120 dan menyinggung kedua sumbu koordinat ?

Lihat Penyelesaian

6.

Tentukan persamaan lingkaran yang berjari-jari 3 dan menyinggung lingkaran
x 2 + y 2 - 4 x - 6 y - 12 = 0 di titik yang berabsis 6

Lihat Penyelesaian

7.

Tentukan persamaan lingkaran yang memotong sumbu X positif pada suatu segmen garis sepanjang 16 satuan dan memotong sumbu Y positif pada suatu segmen garis sepanjang 12 satuan dan melalui titik asal?

Lihat Penyelesaian

8.

Tentukan persamaan lingkaran yang berjari-jari 5 13 dan memotong sumbu X positif pada suatu segmen garis sepanjang 36 satuan dan memotong sumbu Y positif pada suatu segmen garis sepanjang 20 ?

Lihat Penyelesaian

9.

Pada gambar di bawah ini, jika persamaan L 1 x 2 + y 2 - 14 x - 8 y + 49 = 0 , dan L 2 x 2 + y 2 - 38 x - 18 y + 361 = 0 , maka tentukan persamaan lingkaran L 3 ?

Persamaan Lingkaran

Lihat Penyelesaian

10.

a. Tunjukkan bahwa x - 3 + y + 1 = 5 berbentuk segiempat ?

b. Tentukan persamaan lingkaran yang menyinggung sisi-sisi segiempat pada soal a?

c. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik sudut segiempat pada soal a?

Lihat Penyelesaian

C. KEDUDUKAN TITIK PADA LINGKARAN

Diketahui titik Q x 1 , y 1 dan lingkaran L x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0

a. Jika x 1 2 + y 1 2 + A x 1 + B y 1 + C > 0 maka titik Q di luar lingkaran L

b. Jika x 1 2 + y 1 2 + A x 1 + B y 1 + C < 0 maka titik Q di dalam lingkaran L

c. Jika x 1 2 + y 1 2 + A x 1 + B y 1 + C = 0 maka titik Q terletak pada lingkaran L



Sebagai contoh :

1.

Tentukan kedudukan titik-titik di bawah ini pada lingkaran x 2 + y 2 + 8 x + 10 y - 95 = 0

a. A ( 2 , 5 ) b. B ( 3 , 3 ) c. C ( 8 , 10 )

Lihat Penyelesaian

2.

Titik A ( 2 , a ) terletak pada lingkaran x 2 + y 2 + 2 x + y - 20 = 0 , maka tentukan nilai a ?

Lihat Penyelesaian

3.

. Tentukan nilai a agar titik a , a + 7 terletak di dalam lingkaran x 2 + y 2 + 4 y - 41 = 0 ?

Lihat Penyelesaian

4.

Tentukan nilai a agar titik ( a , 2 a + 5 ) terletak diluar lingkaran yang berpusat di ( 2 , 11 ) dan berjari-jari 5 ?

Lihat Penyelesaian

5.

Jika titik A ( 2 , 3 ) terletak pada lingkaran x 2 + y 2 + mx - 10 y + m + 4 = 0 maka tentukan pusat dan jari-jari lingkarannya.

Lihat Penyelesaian

D. KEDUDUKAN GARIS PADA LINGKARAN

Jika D adalah diskriminan dari persamaan kuadrat hasil substitusi garis h px + qy + r = 0 dan lingkaran L x 2 + y 2 + Ax + By + c = 0 dan

a. D > 0 maka garis h memotong lingkaran L di dua titik yang berbeda.

b. D = 0 maka garis h menyinggung lingkaran L

c. D < 0 maka garis h tidak memotong lingkaran L atau di luar lingkaran L



Sebagai contoh :

1.

Tentukan kedudukan garis h terhadap lingkaran L jika

a. h x + y = 2 dan L x 2 + y 2 - 6 x - 6 y + 8 = 0

b. h x + y + 6 = 0 dan L ( x - 2 ) 2 + ( y - 6 ) 2 = 64

c. h x - 2 y + 5 = 0 dan L x 2 + y 2 - 10 y + 20 = 0

Lihat Penyelesaian

2.

Jika garis 2 x - y + m = 0 menyinggung lingkaran x 2 + ( y + m ) 2 = 2 m + 100 , maka tentukan nilai m ?

Lihat Penyelesaian

3.

Jika garis x + 3 y - a = 0 memotong lingkaran ( x - 2 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = a + 1 di dua titik yang berbeda, maka tentukan a ?

Lihat Penyelesaian

4.

Garis y = mx + 2 berada di luar lingkaran 4 x 2 + 4 y 2 - 6 y + m = 1 , maka tentukan batas nilai m yang memenuhi?

Lihat Penyelesaian

E. GARIS POLAR (GARIS KUTUB)

Jika lingkaran L kita bayangkan sebagai planet di ruang dimensi 2, dan sebuah titik A yang tidak berada di dalam lingkaran, maka dari titik A kita bisa melihat sebagian busur lingkaran L. Ujung-ujung busur lingkaran L yang masih bisa terlihat dari titik A kita hubungkan dengan garis, maka garis tersebut disebut sebagai garis kutub (polar)

Persamaan Lingkaran

Jika titiknya di luar lingkaran maka garis polarnya memotong lingkaran di dua titik berlainan, tetapi jika titiknya pada lingkaran, maka garis polarnya merupakan garis singgung lingkaran.

Jadi persamaan garis polar melalui titik x 1 , y 1 pada lingkaran

a. x 2 + y 2 = r 2 adalah x 1 x + y 1 y = r 2

b. ( x - a ) 2 + ( y - b ) 2 = r 2 adalah x 1 - a x - a + y 1 - b y - b = r 2

c. x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 adalah x 1 x + y 1 y + A 2 x 1 + x + B 2 y 1 + y + C = 0

Yang perlu di ingat : jika titiknya ada di dalam lingkaran, maka tidak ada garis polar.



Sebagai contoh :

1.

Tentukan persamaan garis polar pada gambar di bawah ini

a. Persamaan Lingkaran

b. Persamaan Lingkaran

Lihat Penyelesaian

2.

Tentukan persamaan garis polar pada gambar di bawah ini

a. Persamaan Lingkaran

b. Persamaan Lingkaran

Lihat Penyelesaian

3.

Diketahui titik A ( 4 , 6 ) dan lingkaran L x 2 + y 2 + 2 x + 4 y - 11 = 0

a. Tentukan persamaan garis polar pada lingkaran L dari titik A

b. Jika lingkaran L berpusat di P, tentukan persamaan garis yang melalui AP

c. Tunjukkan garis polar pada soal a. tegak lurus dengan garis AP

Lihat Penyelesaian

4.

Jika garis x + y = 12 adalah garis polar pada lingkaran x - 2 2 + y 2 = 50 , tentukan titik polarnya ?

Lihat Penyelesaian

5.

L 1 adalah lingkaran yang berpusat di P 1 0 , 4 dan berjari-jari 82 , dan L 2 adalah lingkaran yang berpusat di P 2 6 , 7 dan berjari-jari 5.

a. Jika A dan B adalah titik potong antara L 1 dan L 2 , maka tentukan koordinat titik A dan B , serta persamaan garis AB ?

b. Jika garis AB adalah garis polar lingkaran L 1 yang ditarik dari titik C dan lingkaran L 2 yang ditarik dari titik D, maka tentukan panjang ruas garis CD

Lihat Penyelesaian

F. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG

1. Persamaan garis singgung melalui titik pada lingkaran

Gunakan rumus belah dua :

Misalnya : x 2 x 1 x ,       y 2 y 1 y ,       2 x x 1 + x .

Jadi persamaan garis singgung melalui titik x 1 , y 1 pada lingkaran

a. x 2 + y 2 = r 2 adalah x 1 x + y 1 y = r 2

b. ( x - a ) 2 + ( y - b ) 2 = r 2 adalah x 1 - a x - a + y 1 - b y - b = r 2

c. x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 adalah x 1 x + y 1 y + A 2 x 1 + x + B 2 y 1 + y + C = 0

Garis singgung melalui titik pada lingkaran sama dengan garis polar yang melalui titik pada lingkaran tersebut.



Sebagai contoh :

1.

Tentukan persamaan garis singgung melalui titik ( 2 , 1 ) pada lingkaran

a. x 2 + y 2 = 5

b. x 2 + y 2 + 6 x - 12 y - 5 = 0

c. ( x + 6 ) 2 + ( y - 7 ) 2 = 100

d. ( x + 3 ) 2 + ( y + 12 ) 2 = 169

Lihat Penyelesaian

2.

Titik A ( k , k - 3 ) dengan k > 0 terletak pada lingkaran L x 2 + y 2 + x + y = 36 . Tentukan persamaan garis singgung melalui titik A pada lingkaran L ?

Lihat Penyelesaian

3.

Kedua garis singgung pada lingkaran x 2 + y 2 + 10 x = 36 di titik yang berordinat 5 berpotongan di titik A, tentukan koordinat titik A ?

Lihat Penyelesaian

4.

Lingkaran L berpusat di ( 4 , 3 ) menyinggung garis y = - 2 dan memotong sumbu Y di titik A dan B. Tentukan

a. Koordinat titik A dan B

b. Persamaan garis singgung melalui titik A dan B pada lingkaran

Lihat Penyelesaian

5.

Lingkaran x 2 + y 2 - 4 x + 8 y = 52 menyinggung garis x - y - 18 = 0 di titik A , tentukan koordinat titik A ?

Lihat Penyelesaian

2. Persamaan garis singgung pada lingkaran dan bergradien m

Persamaan garis singgung yang bergradien m pada lingkaran

a. x 2 + y 2 = r 2 adalah y = mx ± r m 2 + 1

b. ( x - a ) 2 + ( y - b ) 2 = r 2 adalah y - b = m ( x - a ) ± r m 2 + 1


Sebagai Contoh :

6.

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran

a. x 2 + y 2 = 2 dan bergradien 7

b. x 2 + y 2 + 2 x - 22 y + 18 = 0 dan bergradien 5

Lihat Penyelesaian

7.

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran

a. x 2 + ( y + 3 ) 2 = 40 dan sejajar garis 3 x + y = 50

b. x 2 + y 2 - 14 x - 16 y + 33 = 0 dan sejajar garis x + 2 y + 3 = 0

Lihat Penyelesaian

8.

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran

a. ( x - 1 ) 2 + y 2 = 10 dan tegak lurus garis 3 x + y = 5

b. x 2 + y 2 + 8 x - 2 y + 12 = 0 dan tegak lurus garis x + 2 y - 6 = 0

Lihat Penyelesaian

9.

Persamaan Lingkaran

Pada gambar di samping, lingkaran L berpusat di (20, 12) dan menyinggung sumbu X. Garis h melalui (0, 12) dan (-9, 0). Garis k dan l sejajar garis h dan menyinggung L. Garis m dan n tegaklurus garis h dan menyunggung L.

Tentukan :

a. Persamaan garis h dan lingkaran L

b. Persamaan garis k dan l

c. Persamaan garis m dan n

Lihat Penyelesaian

3. Persamaan garis singgung melalui titik di luar lingkaran

Ada dua cara mencari persamaan garis singgung pada lingkaran yang melalui titik di luar lingkaran, yaitu

a. Dengan menggunakan rumus garis singgung bergradien tertentu

b. Dengan menggunakan bantuan garis polar (kutub) dengan langkah-langkah sebagai berikut :

mencari persamaan garis singgung pada lingkaran L melalui titik A (di luar lingkaran)

  • Tentukan persamaan garis polar

  • Tentukan titik potong antara garis polar dan lingkaran

  • Cari persamaan garis singgung melalui titik-titik potong antara garis polar dan lingkaran.


Sebagai Contoh :

10.

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x 2 + y 2 = 10 yang melalui titik
( 5 , - 5 ) dengan menggunakan cara biasa (syarat menyinggung Diskriminan = 0) ?

Lihat Penyelesaian

11.

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x 2 + y 2 = 10 yang melalui titik
( 5 , - 5 ) dengan menggunakan rumus garis singgung pada lingkaran dengan gradient tertentu ?

Lihat Penyelesaian

12.

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x 2 + y 2 = 10 yang melalui titik
( 5 , - 5 ) dengan menggunakan bantuan garis polar ?

Lihat Penyelesaian

13.

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x 2 + y 2 - 2 y - 24 = 0 melalui titik ( 5 , 8 ) dengan menggunakan bantuan garis polar ?

Lihat Penyelesaian

14.

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x 2 + y 2 - 2 y - 24 = 0 melalui titik ( 5 , 8 ) dengan menggunakan rumus garis singgung bergradien tertentu ?

Lihat Penyelesaian

G. KUASA TITIK, GARIS KUASA, DAN TITIK KUASA

Kuasa titik A pada lingkaran L adalah “kuadrat dari panjang garis singgung yang ditarik dari titik A ke lingkaran L. (Jika titiknya berada di luar lingkaran)

Kuasa dari titik A terhadap lingkaran ditulis K A

Secara analit :

Kuasa titik Q x 1 , y 1 pada lingkaran L x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 adalah

K Q = x 1 2 + y 1 2 + A x 1 + B y 1 + C

Secara geometri :

Persamaan Lingkaran

Kuasa titik A terhadap lingkaran L adalah

KA=AB2 atau KA=AC2 atau

K A = AU × AV atau KA=AM×AN

Jadi dapat juga di simpulkan jika kuasa titik Q pada lingkaran L

a. hasilnya positif ( K Q > 0 ) maka titik Q terletak di luar lingkaran L

b. hasilnya negatif ( K Q < 0 ) maka titik Q terletak di dalam lingkaran L

c. hasilnya nol ( K Q = 0 ) maka titik Q terletak pada lingkaran L



Sebagai contoh :

1.

Persamaan Lingkaran

Pada gambar di atas tentukan

a. Panjang ruas garis AB

b. panjang ruas garis TC

Lihat Penyelesaian

2.

Tentukan kuasa titik A ( 2 , - 5 ) pada lingkaran

a. x 2 + y 2 = 25

b. x 2 + y 2 - 12 x + 14 y = 100

c . 2 x 2 + 2 y 2 - x + 4 y = 6

d. x - 3 2 + y - 1 2 = 100

Lihat Penyelesaian

3.

Diketahui lingkaran L 1 x 2 + y 2 - 4 x + 20 y = 122 dan L 2 x 2 + y 2 + 4 x = 30

a . Tentukan kuasa titik A ( 1,5 ) terhadap kedua lingkaran ?

b. nilai a jika titik B ( - 4 , a ) mempunyai kuasa sama terhadap dua lingkaran ini ?

Lihat Penyelesaian

4.

Tentukan titik pada garis y = 2 x - 1 yang mempunyai kuasa 17 terhadap lingkaran
x 2 + y 2 + 6 x + 8 y = 75 ?

Lihat Penyelesaian

5.

Tentukan titik yang berada pada sumbu Y yang mempunyai kuasa sama terhadap lingkaran x 2 + y 2 = 40 dan x 2 + y 2 - 10 x + 20 y = 200

Lihat Penyelesaian

GARIS KUASA

Garis kuasa adalah kedudukan titik-titik yang mempunyai kuasa sama terhadap kedua lingkaran.

Cara mencari garis kuasa cukup dengan mengurangkan persamaan lingkaran yang satu dengan lingkaran kedua.

Jika kedua lingkaran berpotongan maka garis kuasanya adalah garis potong kedua lingkaran.

Jika kedua lingkaran sekonsentris (pusatnya sama) maka tidak mempunyai garis kuasa.

Contoh gambar garis kuasa :

Persamaan Lingkaran

Pada gambar di samping, garis yang berwarna merah adalah garis kuasa dari L1 dan L2.

Semua titik yang berada pada garis kuasa misalnya titik A dan B, mempunyai kuasa sama terhadap kedua lingkaran.


Sebagai Contoh :

6.

Persamaan Lingkaran

Pada gambar di atas, garis k adalah garis kuasa lingkaran 1 dan lingkaran 2. Tentukan

a. Persamaan lingkaran 1 (L1) dan persamaan lingkaran 2 (L2)

b. Persamaan garis h dan k

c. buktikan garis h dan k tegak lurus

Lihat Penyelesaian

7.

Diketahui L1x2+y2-10y-75=0 dan L2x2+y2+ 12x+6y+9=0. Tentukan tempat kedudukan titik-titik yang kuasanya sama terhadap lingkaran L1 dan L2 ?

Lihat Penyelesaian

8.

Diketahui lingkaran L1x2+y2=5 dan L2x2+y2-2x+5y=7. Titik A berada pada sumbu X, dan titik B berada pada sumbu Y. Jika titik A mempunyai kuasa sama terhadap L1 dan L2, dan titik B juga mempunyai kuasa sama terhadap L1 dan L2, maka

a. tentukan koordinat titik A dan B

b. Tentukan persamaan garis melalui titik A dan B

c. Tentukan garis kuasa L 1 dan L 2 , kemudian bandingkan jawabannya dengan soal b.

Lihat Penyelesaian

9.

Diketahui lingkaran L 1 ( x - 2 ) 2 + ( y - 1 ) 2 = 10 dan
L 2 ( x + 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 40 .

a. Tentukan garis kuasa dari kedua lingkaran L 1 dan L 2 ?

b. Tentukan koordinat pada garis kuasa L 1 dan L 2 yang mempunyai kuasa 0 terhadap L 1 dan L 2 ?

Lihat Penyelesaian

10.

Tentukan tempat kedudukan titik-titik dimana kuasa titik-titik tersebut terhadap lingkaran x 2 + y 2 - 3 x + 5 y = 7 sama dengan kuadrat jaraknya titik-titik tersebut terhadap titik asal ?

Lihat Penyelesaian

TITIK KUASA

Titik kuasa : adalah titik yang mempunyai kuasa sama terhadap 3 lingkaran.

Titik kuasa merupakan titik potong antara ketiga garis kuasa antara L 1 , L 2 , dan L 3 . Untuk mencari titik kuasa, cukup mencari titik potong antara 2 garis kuasa dari ketiga lingkaran

Persamaan Lingkaran

Sebagai Contoh :

11.

Diketahui lingkaran L 1 x 2 + y 2 = 25 , L 2 x 2 + y 2 - 4 x - 4 y - 1 = 0 , dan
L 3 x 2 + y 2 - 4 x - 2 y - 20 = 0 .

a. Garis kuasa dari L 1 dan L 2 adalah garis h 12 , tentukan persamaannya ?

b. Garis kuasa dari L 1 dan L 3 adalah garis h 13 , tentukan persamaannya ?

c. Garis kuasa dari L 2 dan L 3 adalah garis h 23 , tentukan persamaannya ?

d. Titik A adalah titik potong antara h 12 dan h 13 , tentukan koordinatnya ?

e. Titik B adalah titik potong antara h 12 dan h 23 , tentukan koordinatnya ?

f. Titik C adalah titik potong antara h 13 dan h 23 , tentukan koordinatnya ?

g. Berikan kesimpulan tentang titik A, B, C yang merupakan titik kuasa ketiga lingkaran ?

Lihat Penyelesaian

12.

Diketahui L 1 x 2 + y 2 + 6 y - 39 = 0 , L 2 x 2 + y 2 + 4 x + 2 y + 1 = 0 , dan
L 3 x 2 + y 2 - 2 x - 2 y - 3 = 0 . Tentukan titik yang mempunyai kuasa sama terhadap L 1 , L 2 , dan L 3 ?

Lihat Penyelesaian

13.

Diketahui L 1 x 2 + y 2 + 8 x = 0 , L 2 x 2 + y 2 + 8 y = 0 , dan
L 3 x 2 + y 2 - 10 x - 4 y + 28 = 0 . Dari titik A ditarik 3 buah garis dan masing-masing menyinggung lingkaran L 1 di titik D, menyinggung lingkaran L 2 di titik E, dan menyinggung L 3 di titik F. Jika panjang ruas garis AD = AE = AF maka tentukan koordinat titik A ?

Lihat Penyelesaian

  1. BERKAS LINGKARAN

Berkas lingkaran adalah sembarang lingkaran yang dibuat melalui dua buah titik potong dari dua lingkaran.

Misalnya lingkaran L 1 dan L 2 berpotongan di titik A dan B , maka persamaan berkas lingkaran yang melalui titik A dan B adalah

L 1 + λ L 2 = 0 atau

L 1 + λh = 0 atau L 2 + λh = 0 dimana garis h adalah garis potong L 1 dan L 2

Persamaan Lingkaran

Perhatikan contoh di bawah ini :

Tentukan persamaan lingkaran yang melalui kedua titik potong L 1 x 2 + y 2 = 25 dan L 2 x 2 + y 2 + 2 x + 4 y = 31 , serta melalui titik 7 , 6 !

Jawab :

Langkah pertama mencari garis potong dari L 1 x 2 + y 2 - 25 = 0 L 2 x 2 + y 2 + 2 x + 4 y - 31 = 0

Persamaannya L 2 - L 1 = 0

x 2 + y 2 + 2 x + 4 y - 31 - x 2 + y 2 - 25 = 0

2 x + 4 y - 6 = 0

x + 2 y - 3 = 0     anggap garis h

Kemudian buat persamaan berkas lingkarannya L 1 + λh = 0

x 2 + y 2 - 25 + λ x + 2 y - 3 = 0

Langkah terakhir mencari nilai λ dengan mensubstitusikan titik 7 , 6

7 , 6 x 2 + y 2 - 25 + λ x + 2 y - 3 = 0

49 + 36 - 25 + λ 7 + 12 - 3 = 0

60 + 16 λ = 0

λ = - 15 4

Jadi persamaan lingkarannya adalah :

x 2 + y 2 - 25 - 15 4 x + 2 y - 3 = 0    kedua ruas kalikan 4

4 x 2 + 4 y 2 - 15 x - 30 y - 55 = 0


Sebagai contoh :

1.

Pada gambar di bawah ini lingkaran berwarna merah L 1 x 2 + y 2 = 16 , Lingkaran berwarna hijau L 2 x 2 + y 2 - 14 x - 4 y + 28 = 0 , dan lingkaran yang berwarna biru semuanya berpotongan di titik A dan B .

  1. Tentukan persamaan garis yang melalui titik A dan B

  2. Tentukan persamaan dari semua lingkaran yang berwarna biru

  3. Salah satu lingkaran biru L 3 melalui titik asal, tentukan persamaannya

    Berkas Lingkaran

Lihat Penyelesaian
2.

Pada gambar di bawah ini lingkaran merah L 1 x 2 + y 2 - 20 x - 14 y + 113 = 0 , lingkaran biru L 2 x 2 + y 2 - 6 x - 6 y = 0 , lingkaran coklat L 3 , dan lingkaran hijau L 4 dan L 5 semuanya berpotongan di titik A dan B , tentukan

  1. Persamaan L 3 , L 4 dan L 5 dalam parameter λ

  2. Jika lingkaran L 3 berpusat di sumbu Y , maka tentukan persamaannya

  3. Jika lingkaran L 4 dan L 5 berjari-jari 1 2 33 , maka tentukan persamaannya

Berkas Lingkaran

Lihat Penyelesaian

3.

Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik potong kedua lingkaran x 2 + y 2 = 25 dan x 2 + y 2 + 6 x + 2 y - 55 = 0 serta melalui titik A ( 10 , 10 ) ?

Lihat Penyelesaian
4.

Tentukan persamaan lingkaran yang melalui dua titik potong lingkaran x 2 + y 2 - 2 x = 35 dan x 2 + y 2 - 2 y = 24 serta berpusat di 4 , - 3 ?

Lihat Penyelesaian
5.

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat pada garis x + y = 10 dan melalui titik potong kedua lingkaran x 2 + y 2 - 2 x - 2 y = 34 dan x 2 + y 2 + 8 x - 2 y - 100 = 0 ?

Lihat Penyelesaian
6.

Tentukan persamaan lingkaran yang menyinggung lingkaran x 2 + y 2 - 12 x - 20 y + 102 = 0 di titik 3 , 5 serta melalui - 5 , 3 !

Lihat Penyelesaian
7.

Tentukan persamaan lingkaran yang melalui kedua titik potong lingkaran x 2 + y 2 - 100 = 0 dan x 2 + y 2 - 12 x + 88 = 0 , serta berjari-jari 20 !

Lihat Penyelesaian
8.

Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik potong kedua lingkaran x 2 + y 2 - 6 x - 6 y = 7 dan x 2 + y 2 + 2 x + 4 y - 7 = 0 serta menyinggung garis x = 23 4 ?

Lihat Penyelesaian
9.

Lingkaran L 1 x 2 + y 2 - 3 x - 5 y - 7 = 0 , dan L 2 x 2 + y 2 + x + 2 y - 3 = 0 berpotongan di titik A dan B . Tentukan persamaan lingkaran yang berdiameter ruas garis B !

Lihat Penyelesaian
10.

Tentukan persamaan lingkaran yang berdiameter 248 dan melalui titik potong kedua lingkaran L 1 dan L 2 , dengan L 1 adalah lingkaran yang berpusat di titik asal serta melalui ( 3,4 ) , dan L 2 adalah lingkaran yang berpusat di ( 1,5 ) serta melalui ( - 1 , - 1 ) ?

Lihat Penyelesaian

I. SUDUT DUA LINGKARAN

Jika salah satu titik potong kedua lingkaran L 1 dan L 2 adalah titik A , maka sudut antara kedua lingkaran L 1 dan L 2 adalah besarnya sudut antara kedua garis si nggung yang ditarik dari titik A pada kedua lingkaran L 1 dan L 2 .

Persamaan Lingkaran

Diameter =248

= 2 62

Jari-jari =62

1. Dua buah lingkaran dikatatakan saling tegak lurus jika sudut kedua lingkaran 90 ° atau kedua garis singgung dari titik sekutunya melalui pusat lingkaran.

Persamaan Lingkaran

Keterangan :

P 1 P 2 adalah jarak antara kedua pusat lingkaran

Pada gambar disamping berlaku hubungan :

P 1 P 2 = r 1 2 + r 2 2

2. Jika dua lingkaran saling bersinggungan maka sudutnya 0 °

Persamaan Lingkaran

Titik A adalah titik singgung dari kedua lingkaran.

h adalah garis singgung melalui titik A pada lingkaran L1 sekaligus L2.

Karena kedua garis singgungnya adalah garis h maka kedua garis singgungnya berimpit sehingga sudutnya 0°



Sebagai contoh :

1.

Jika θ adalah sudut antara kedua lingkaran L 1 dan L 2 maka tentukan tan θ untuk

L 1 x 2 + y 2 = 25 dan L 2 x 2 + y 2 - 14 x - 8 y + 49 = 0 ?

Lihat Penyelesaian

J. HUBUNGAN DUA LINGKARAN

Diketahui dua buah lingkaran L1 dengan pusat P1 dan berjari-jari R, dan lingkaran L2 dengan jari-jar r . P1P2 adalah jarak antara kedua pusat lingkaran dan Rr.

1. P1P2>R+r

kedua lingkaran tidak berpotongan.

Persamaan Lingkaran

2. P1P2=R+r

kedua lingkaran saling bersinggungan di luar.

Persamaan Lingkaran

3. R-r<P1P2<R+r

kedua lingkaran saling berpotongan.

Persamaan Lingkaran

4. P1P2=R-r

kedua lingkaran saling bersinggungan di dalam.

Persamaan Lingkaran

5. P1P2=R2+r2

kedua lingkaran saling tegak lurus

Persamaan Lingkaran

6. P1P2=R2-r2

Lingkaran yang satu membagi dua lingkaran yang lain

Persamaan Lingkaran

Atau garis potong kedual lingkaran (garis kuasanya) merupakan diameter dari lingkaran yang dibagi.


K. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN DUA LINGKARAN

Persamaan Lingkaran

Pada gambar di samping, AB adalah garis singgung persekutuan luarnya.

Panjang AB=A'P1

Pada segitiga A'P1P2 didapat

P 1 P 2 = AB 2 + r 2 - r 1 2

Persamaan Lingkaran

Pada gambar di samping, AB adalah garis singgung persekutuan dalamnya.

Panjang AB=A'P2

Pada segitiga A'P1P2 didapat

P 1 P 2 = AB 2 + r 2 + r 1 2