1. BERKAS LINGKARAN

Berkas lingkaran adalah sembarang lingkaran yang dibuat melalui dua buah titik potong dari dua lingkaran.

Misalnya lingkaran L 1 dan L 2 berpotongan di titik A dan B , maka persamaan berkas lingkaran yang melalui titik A dan B adalah

L 1 + λ L 2 = 0 atau

L 1 + λh = 0 atau L 2 + λh = 0 dimana garis h adalah garis potong L 1 dan L 2

Persamaan Lingkaran

Perhatikan contoh di bawah ini :

Tentukan persamaan lingkaran yang melalui kedua titik potong L 1 x 2 + y 2 = 25 dan L 2 x 2 + y 2 + 2 x + 4 y = 31 , serta melalui titik 7 , 6 !

Jawab :

Langkah pertama mencari garis potong dari L 1 x 2 + y 2 - 25 = 0 L 2 x 2 + y 2 + 2 x + 4 y - 31 = 0

Persamaannya L 2 - L 1 = 0

x 2 + y 2 + 2 x + 4 y - 31 - x 2 + y 2 - 25 = 0

2 x + 4 y - 6 = 0

x + 2 y - 3 = 0     anggap garis h

Kemudian buat persamaan berkas lingkarannya L 1 + λh = 0

x 2 + y 2 - 25 + λ x + 2 y - 3 = 0

Langkah terakhir mencari nilai λ dengan mensubstitusikan titik 7 , 6

7 , 6 x 2 + y 2 - 25 + λ x + 2 y - 3 = 0

49 + 36 - 25 + λ 7 + 12 - 3 = 0

60 + 16 λ = 0

λ = - 15 4

Jadi persamaan lingkarannya adalah :

x 2 + y 2 - 25 - 15 4 x + 2 y - 3 = 0    kedua ruas kalikan 4

4 x 2 + 4 y 2 - 15 x - 30 y - 55 = 0


Sebagai contoh :

1.

Pada gambar di bawah ini lingkaran berwarna merah L 1 x 2 + y 2 = 16 , Lingkaran berwarna hijau L 2 x 2 + y 2 - 14 x - 4 y + 28 = 0 , dan lingkaran yang berwarna biru semuanya berpotongan di titik A dan B .

  1. Tentukan persamaan garis yang melalui titik A dan B

  2. Tentukan persamaan dari semua lingkaran yang berwarna biru

  3. Salah satu lingkaran biru L 3 melalui titik asal, tentukan persamaannya

    Berkas Lingkaran

Lihat Penyelesaian
2.

Pada gambar di bawah ini lingkaran merah L 1 x 2 + y 2 - 20 x - 14 y + 113 = 0 , lingkaran biru L 2 x 2 + y 2 - 6 x - 6 y = 0 , lingkaran coklat L 3 , dan lingkaran hijau L 4 dan L 5 semuanya berpotongan di titik A dan B , tentukan

  1. Persamaan L 3 , L 4 dan L 5 dalam parameter λ

  2. Jika lingkaran L 3 berpusat di sumbu Y , maka tentukan persamaannya

  3. Jika lingkaran L 4 dan L 5 berjari-jari 1 2 33 , maka tentukan persamaannya

Berkas Lingkaran

Lihat Penyelesaian

3.

Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik potong kedua lingkaran x 2 + y 2 = 25 dan x 2 + y 2 + 6 x + 2 y - 55 = 0 serta melalui titik A ( 10 , 10 ) ?

Lihat Penyelesaian
4.

Tentukan persamaan lingkaran yang melalui dua titik potong lingkaran x 2 + y 2 - 2 x = 35 dan x 2 + y 2 - 2 y = 24 serta berpusat di 4 , - 3 ?

Lihat Penyelesaian
5.

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat pada garis x + y = 10 dan melalui titik potong kedua lingkaran x 2 + y 2 - 2 x - 2 y = 34 dan x 2 + y 2 + 8 x - 2 y - 100 = 0 ?

Lihat Penyelesaian
6.

Tentukan persamaan lingkaran yang menyinggung lingkaran x 2 + y 2 - 12 x - 20 y + 102 = 0 di titik 3 , 5 serta melalui - 5 , 3 !

Lihat Penyelesaian
7.

Tentukan persamaan lingkaran yang melalui kedua titik potong lingkaran x 2 + y 2 - 100 = 0 dan x 2 + y 2 - 12 x + 88 = 0 , serta berjari-jari 20 !

Lihat Penyelesaian
8.

Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik potong kedua lingkaran x 2 + y 2 - 6 x - 6 y = 7 dan x 2 + y 2 + 2 x + 4 y - 7 = 0 serta menyinggung garis x = 23 4 ?

Lihat Penyelesaian
9.

Lingkaran L 1 x 2 + y 2 - 3 x - 5 y - 7 = 0 , dan L 2 x 2 + y 2 + x + 2 y - 3 = 0 berpotongan di titik A dan B . Tentukan persamaan lingkaran yang berdiameter ruas garis B !

Lihat Penyelesaian
10.

Tentukan persamaan lingkaran yang berdiameter 248 dan melalui titik potong kedua lingkaran L 1 dan L 2 , dengan L 1 adalah lingkaran yang berpusat di titik asal serta melalui ( 3,4 ) , dan L 2 adalah lingkaran yang berpusat di ( 1,5 ) serta melalui ( - 1 , - 1 ) ?

Lihat Penyelesaian