G. KUASA TITIK, GARIS KUASA, DAN TITIK KUASA

Kuasa titik A pada lingkaran L adalah “kuadrat dari panjang garis singgung yang ditarik dari titik A ke lingkaran L. (Jika titiknya berada di luar lingkaran)

Kuasa dari titik A terhadap lingkaran ditulis K A

Secara analit :

Kuasa titik Q x 1 , y 1 pada lingkaran L x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 adalah

K Q = x 1 2 + y 1 2 + A x 1 + B y 1 + C

Secara geometri :

Persamaan Lingkaran

Kuasa titik A terhadap lingkaran L adalah

KA=AB2 atau KA=AC2 atau

K A = AU × AV atau KA=AM×AN

Jadi dapat juga di simpulkan jika kuasa titik Q pada lingkaran L

a. hasilnya positif ( K Q > 0 ) maka titik Q terletak di luar lingkaran L

b. hasilnya negatif ( K Q < 0 ) maka titik Q terletak di dalam lingkaran L

c. hasilnya nol ( K Q = 0 ) maka titik Q terletak pada lingkaran L



Sebagai contoh :

1.

Persamaan Lingkaran

Pada gambar di atas tentukan

a. Panjang ruas garis AB

b. panjang ruas garis TC

Lihat Penyelesaian

2.

Tentukan kuasa titik A ( 2 , - 5 ) pada lingkaran

a. x 2 + y 2 = 25

b. x 2 + y 2 - 12 x + 14 y = 100

c . 2 x 2 + 2 y 2 - x + 4 y = 6

d. x - 3 2 + y - 1 2 = 100

Lihat Penyelesaian

3.

Diketahui lingkaran L 1 x 2 + y 2 - 4 x + 20 y = 122 dan L 2 x 2 + y 2 + 4 x = 30

a . Tentukan kuasa titik A ( 1,5 ) terhadap kedua lingkaran ?

b. nilai a jika titik B ( - 4 , a ) mempunyai kuasa sama terhadap dua lingkaran ini ?

Lihat Penyelesaian

4.

Tentukan titik pada garis y = 2 x - 1 yang mempunyai kuasa 17 terhadap lingkaran
x 2 + y 2 + 6 x + 8 y = 75 ?

Lihat Penyelesaian

5.

Tentukan titik yang berada pada sumbu Y yang mempunyai kuasa sama terhadap lingkaran x 2 + y 2 = 40 dan x 2 + y 2 - 10 x + 20 y = 200

Lihat Penyelesaian

GARIS KUASA

Garis kuasa adalah kedudukan titik-titik yang mempunyai kuasa sama terhadap kedua lingkaran.

Cara mencari garis kuasa cukup dengan mengurangkan persamaan lingkaran yang satu dengan lingkaran kedua.

Jika kedua lingkaran berpotongan maka garis kuasanya adalah garis potong kedua lingkaran.

Jika kedua lingkaran sekonsentris (pusatnya sama) maka tidak mempunyai garis kuasa.

Contoh gambar garis kuasa :

Persamaan Lingkaran

Pada gambar di samping, garis yang berwarna merah adalah garis kuasa dari L1 dan L2.

Semua titik yang berada pada garis kuasa misalnya titik A dan B, mempunyai kuasa sama terhadap kedua lingkaran.


Sebagai Contoh :

6.

Persamaan Lingkaran

Pada gambar di atas, garis k adalah garis kuasa lingkaran 1 dan lingkaran 2. Tentukan

a. Persamaan lingkaran 1 (L1) dan persamaan lingkaran 2 (L2)

b. Persamaan garis h dan k

c. buktikan garis h dan k tegak lurus

Lihat Penyelesaian

7.

Diketahui L1x2+y2-10y-75=0 dan L2x2+y2+ 12x+6y+9=0. Tentukan tempat kedudukan titik-titik yang kuasanya sama terhadap lingkaran L1 dan L2 ?

Lihat Penyelesaian

8.

Diketahui lingkaran L1x2+y2=5 dan L2x2+y2-2x+5y=7. Titik A berada pada sumbu X, dan titik B berada pada sumbu Y. Jika titik A mempunyai kuasa sama terhadap L1 dan L2, dan titik B juga mempunyai kuasa sama terhadap L1 dan L2, maka

a. tentukan koordinat titik A dan B

b. Tentukan persamaan garis melalui titik A dan B

c. Tentukan garis kuasa L 1 dan L 2 , kemudian bandingkan jawabannya dengan soal b.

Lihat Penyelesaian

9.

Diketahui lingkaran L 1 ( x - 2 ) 2 + ( y - 1 ) 2 = 10 dan
L 2 ( x + 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 40 .

a. Tentukan garis kuasa dari kedua lingkaran L 1 dan L 2 ?

b. Tentukan koordinat pada garis kuasa L 1 dan L 2 yang mempunyai kuasa 0 terhadap L 1 dan L 2 ?

Lihat Penyelesaian

10.

Tentukan tempat kedudukan titik-titik dimana kuasa titik-titik tersebut terhadap lingkaran x 2 + y 2 - 3 x + 5 y = 7 sama dengan kuadrat jaraknya titik-titik tersebut terhadap titik asal ?

Lihat Penyelesaian

TITIK KUASA

Titik kuasa : adalah titik yang mempunyai kuasa sama terhadap 3 lingkaran.

Titik kuasa merupakan titik potong antara ketiga garis kuasa antara L 1 , L 2 , dan L 3 . Untuk mencari titik kuasa, cukup mencari titik potong antara 2 garis kuasa dari ketiga lingkaran

Persamaan Lingkaran

Sebagai Contoh :

11.

Diketahui lingkaran L 1 x 2 + y 2 = 25 , L 2 x 2 + y 2 - 4 x - 4 y - 1 = 0 , dan
L 3 x 2 + y 2 - 4 x - 2 y - 20 = 0 .

a. Garis kuasa dari L 1 dan L 2 adalah garis h 12 , tentukan persamaannya ?

b. Garis kuasa dari L 1 dan L 3 adalah garis h 13 , tentukan persamaannya ?

c. Garis kuasa dari L 2 dan L 3 adalah garis h 23 , tentukan persamaannya ?

d. Titik A adalah titik potong antara h 12 dan h 13 , tentukan koordinatnya ?

e. Titik B adalah titik potong antara h 12 dan h 23 , tentukan koordinatnya ?

f. Titik C adalah titik potong antara h 13 dan h 23 , tentukan koordinatnya ?

g. Berikan kesimpulan tentang titik A, B, C yang merupakan titik kuasa ketiga lingkaran ?

Lihat Penyelesaian

12.

Diketahui L 1 x 2 + y 2 + 6 y - 39 = 0 , L 2 x 2 + y 2 + 4 x + 2 y + 1 = 0 , dan
L 3 x 2 + y 2 - 2 x - 2 y - 3 = 0 . Tentukan titik yang mempunyai kuasa sama terhadap L 1 , L 2 , dan L 3 ?

Lihat Penyelesaian

13.

Diketahui L 1 x 2 + y 2 + 8 x = 0 , L 2 x 2 + y 2 + 8 y = 0 , dan
L 3 x 2 + y 2 - 10 x - 4 y + 28 = 0 . Dari titik A ditarik 3 buah garis dan masing-masing menyinggung lingkaran L 1 di titik D, menyinggung lingkaran L 2 di titik E, dan menyinggung L 3 di titik F. Jika panjang ruas garis AD = AE = AF maka tentukan koordinat titik A ?

Lihat Penyelesaian