A. PERSAMAAN LINIER DAN GRAFIKNYA

Bentuk umum persamaan linier adalah ax+by+c=0, dan grafiknya berbentuk garis lurus.

Persamaan garis melalui dua titik (x1, y1) dan (x2, y2) adalah y-y1y2-y1=x-x1x2-x1

Persamaan garis melalui ( x 1 , y 1 ) dan bergradien m adalah y-y1=m(x-x1)

Gradien dari sebuah garis :

jika diketahui dua titik yang dilaluinya yaitu (x1, y1) dan (x2, y2) adalah m=yx

m = y 2 - y 1 x 2 - x 1 (yx  dibaca delta y dibagi delta x)

jika diketahui persamaan garisnya ax+by+c=0, maka persamaan garisnya harus dinyatakan dalam y=-abx-cb dan gradiennya adalah koefisien x yaitu -ab.

Dua garis saling tegaklurus maka hasil kali kedua gradiennya -1 atau m1.m2=-1

Dua garis saling sejajar maka kedua gradiennya sama atau m1=m2

Persamaan garis yang memotong sumbu X di a, 0 dan sumbu Y di (0, b) adalah xa+yb=1 atau bisa ditulis bx+ay=ab



Sebagai contoh :

1.

Tentukan persamaan garis yang

a. melalui (2, 4) dan (6, 12)

b. melalui (1, 5) dan bergradien m=-2


Lihat Penyelesaian
2.

Tentukan persamaan garis yang berwarna merah pada gambar di bawah ini

a. Generic placeholder thumbnail

b. Generic placeholder thumbnail

c. Generic placeholder thumbnail


Lihat Penyelesaian
3.

Tentukan titik koordinat A pada gambar di bawah ini

a. Generic placeholder thumbnail

b. Generic placeholder thumbnail

c. Generic placeholder thumbnail


Lihat Penyelesaian
4.

Diketahui garis k3x-2y=18 , l2x+3y=18, dan h4x=72-6y

a. Tentukan gradien dari masing-masing garis.

b. Bagaimanakah hubungan dari ketiga garis tersebut ?

c. Gambar ketiga garis tersebut dalam sebuah bidang kartesius.


Lihat Penyelesaian
5.

Gambarlah garis-garis y=3, x= -2, y=3x , dan garis 2x+5y=20 pada satu bidang kartesius.


Lihat Penyelesaian
6.

Diketahui garis px+2y=10 , dan q2x+y=14 berpotongan di titik M, maka

a. gambar grafiknya pada bidang kartesius

b. Tentukan koordinat titik M


Lihat Penyelesaian
7.

Generic placeholder thumbnail

Pada gambar di samping, tentukan

a. Persamaan garis k, l, m.

b. Koordinati titik A, B, dan C.


Lihat Penyelesaian
8.

Diketahui garis k adalah garis yang melalui (15, 0) dan (0, 30), garis l adalah garis yang tegaklurus dengan garis k dan melalui (0, 5), dan garis m adalah garis yang melalui titik asal dan sejajar garis l.

a. Gambarkan ketiga garis k, l, dan m pada bidang kartesius ?

b. Tentukan persamaan ketiga garis k, l, dan m ?

c. Jika garis k, dan l berpotongan di titik A, maka tentukan koordinat titik A ?


Lihat Penyelesaian

B. PERTIDAKSAMAAN LINIER DAN HIMPUNAN PENYELESAIANNYA

Sebuah garis akan membagi bidang kartesius dua dimensi menjadi 2 bagian, salah satu bagian akan menjadi himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan liniernya.

Jika lambang pertidaksamaan yang dipakai > atau < maka gambar garisnya putus-putus.

Jika lambang pertidaksamaan yang dipakai atau maka gambar garisnya utuh.



Sebagai contoh :

1.

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linier

a. y>2

b. x+2y>20

c. 3x-y<12

Lihat Penyelesaian
2.

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linier

a. x0

b. 4x+3y24

c. y10+2x

Lihat Penyelesaian
3.

Tentukan Pertidaksamaan linier dari daerah yang di arsir di bawah ini

a. Generic placeholder thumbnail

b. Generic placeholder thumbnail

Lihat Penyelesaian
4.

Tentukan HP dari pertidaksamaan linier dari x2+2xy-3y2-8x+120


Lihat Penyelesaian
5.

Tentukan pertidaksamaan linier yang memenuhi daerah Himpunan penyelesaian (HP) yang diarsir di bawah ini

a. Generic placeholder thumbnail

b. Generic placeholder thumbnail

Lihat Penyelesaian

C. SISTIM PERTIDAKSAMAAN LINIER

Sistim pertidaksamaan linier adalah gabungan dari beberapa pertidaksamaan linier.

Karena dalam satu gambar kita harus menggambar banyak himpunan penyelesaian, maka untuk memudahkan daerah yang bukan himpunan penyelesaian yang diarsir.



Sebagai contoh :

1.

Gambar himpunan penyelesaian dari sistim pertidaksamaan linier x2, y0,
dan x+y8


Lihat Penyelesaian
2.

Gambar himpunan penyelesaian dari sistim pertidaksamaan linier x0, y1,
dan x+3y12 ?


Lihat Penyelesaian
3.

Gambar himpunan penyelesaian dari sistim pertidaksamaan linier y0, x0, x+y6,
dan 2x+y8, untuk x, y R (R adalah bilangan real) ?


Lihat Penyelesaian
4.

Gambar himpunan penyelesaian dari sistim pertidaksamaan linier y2, x0,
dan x+y5,

a. untuk x, y R (R adalah bilangan real) ?

b. untuk x, y Z (Z adalah bilangan bulat) ?


Lihat Penyelesaian
5.

Tentukan pertidaksamaan linier yang memenuhi daerah Himpunan penyelesaian (HP) yang diarsir di bawah ini

a. Generic placeholder thumbnail

b. Generic placeholder thumbnail


Lihat Penyelesaian

D. BENTUK OBYEKTIF ATAU FUNGSI TUJUAN

Bentuk obyektif adalah fungsi dua variabel x dan y (karena yang dipelajari adalah sistim pertidaksamaan dua variabel)

Contoh bentuk obyektif : fx, y=3x+5y

f x , y = 2 x - y dan seterusnya.

Nilai optimum (maksimum atau minimum) untuk bentuk obyektif dari sistem pertidaksamaan linier untuk daerah tertutup atau daerah terbuka terletak pada titik pojok dari Himpunan penyesaian.

Jika salah satu nilai optimumnya berada di dua titik, maka pada sepanjang garis yang menghubungkan kedua titik itu terletak semua nilai optimumnya. (asalkan berada dalam himpunan penyelesaian)


Sebagai contoh :

1.

Tentukan nilai maksimum dan minimum untuk bentuk obyektif fx, y=3x-2y dari himpunan penyelesaian pada gambar di bawah ini.

a. Generic placeholder thumbnail

b. Generic placeholder thumbnail


Lihat Penyelesaian
2.

Tentukan nilai maksimum dan minimum dari bentuk obyektif 3x-2y pada system pertidaksamaan linier x+y100, 2x+3y258, y0, dan x21.


Lihat Penyelesaian
3.

Tentukan nilai maksimum dan minimum dari bentuk obyektif fx, y=3x+5y pada system pertidaksamaan linier x+y30, 2x+y42, x+3y52, x0, dan y0 ?


Lihat Penyelesaian
4.

Tentukan nilai maksimum dari bentuk obyektif fx, y=4x+3y untuk nilai (x, y) pada daerah yang diarsir di bawah ini ?

Generic placeholder thumbnail


Lihat Penyelesaian
5.

Untuk daerah yang diarsir di bawah ini, tentukan

a. Sistem pertidaksamaan liniernya

b. nilai maksimum dan minimum dari fx, y=3x-2y

Generic placeholder thumbnail


Lihat Penyelesaian

E. PENYELESAIAN SOAL CERITA

Langkah yang diperlukan untuk menyelesaikan bentuk soal cerita adalah

a. Mengubah soal cerita tersebut dalam sistim pertidaksamaan linier beserta bentuk obyektifnya.

b. Menyelesaikan nilai optimum dari bentuk obyektif yang diminta.


Sebagai contoh :

1.

Untuk memenuhi kebutuhannya Amir setiap harinya berjualan Pisang dan singkong dengan gerobaknya yang hanya mampu memuat 200 kg. pisang yang dibeli dengan harga Rp 4000,- di jual dengan harga Rp 6500,- per kg dan singkong yang dibeli dengan harga Rp 2000,- per kg dijual dengan harga Rp 3500,-. Jika modal yang dibawa Amir setiap harinya tidak lebih dari Rp 666.000,- maka tentukan

a. Sistem pertidaksamaan linier beserta bentuk obyektifnya ?

b. Berapa banyaknya pisang dan singkong yang harus dijual Amir agar keuntungannya maksimum ?

c. Berapa keuntungan maksimumnya ?

Lihat Penyelesaian
2.

Seorang pengusaha property mau membangun rumah terdiri dari 2 tipe pada tanah seluas 20000 m 2 . Untuk rumah tipe A diperlukan luas tanah 200 m 2 dan tipe B diperlukan luas tanah 150 m 2 . Jumlah rumah yang dibangun paling banyak 125 unit. Keuntungan rumah tipe A adalahRp. 20.000.000,00/ unit dan tipe B adalah Rp. 16.000.000,00/ unit. Tentukan

a. Sistim pertidaksamaan linier beserta bentuk obyektifnya

b. gambarkan himpunan penyelesaian dari sistim pertidaksamaan liniernya pada bidang kartesius

c. Tentukan titik-titik pojok dari Hp dan tentukan keuntungan maksimumnya

Lihat Penyelesaian
3.

Pesawat boeng340-160 mampu mengangkut 500 orang penumpang, dan membawa 20200 kg bagasi. Jika penumpang dalam pesawat ini terdiri dari kelas VIP dengan harga tiket $800 dan ekonomi dengan harga tiket $450. Setiap penumpang VIP diperbolehkan membawa 50 kg bagasi dan kelas ekonomi 20 kg bagasi. Tentukan

a. Sistim pertidaksamaan liniernya ?

b. Penghasilan maksimum dari penjualan tiket ?

Lihat Penyelesaian
4.

Sebuah pabrik Handphone memproduksi 2 jenis Handphone yaitu Handpone merk Nokiman dan merk samsul. Setiap jenis handpone diproses melalui 3 tahap yaitu elektroser, setingser, dan casingser. Setiap buah Nokiman membutuhkan 5 jam elektroser, 1 jam setingser, dan 1 jam casingser. Setiap buah Samsul membutuhkan 2 jam elektroser, 1 jam setingser, dan 2 jam casingser. Waktu yang tersedia tiap bulan untuk elektroser 635 jam, setingser 145 jam, dan casingser 200 jam. Jika keuntungan tiap handpone Nokiman 100 ribu rupiah dan handpone samsul 70 ribu rupiah,-. Maka tentukan banyaknya masing-masing jenis Handpone yang harus diproduksi agar keuntungannya maksimum, dan berapa keuntungannya. ?

Lihat Penyelesaian
5.

Sebuah rombongan haji yang berjumlah 1660 akan dipindahkan dari penampungan sementara Ambarawa ke Jakarta dengan menggunakan bis yang bisa memuat 50 jemaah dan minibus yang bisa memuat 30 jemaah. Panitia sedikitnya akan menyewa 40 buah kendaraan. Jika harga sewa Bis 2,6 juta dan minibus 1,7 juta, maka berapa banyaknya masing-masing kendaraan yang di sewa, agar biayanya minimum dan berapa besarnya sewa minimum ?

Lihat Penyelesaian
6.

Untuk menjaga kesehatan burung ontanya, Pak Dullah harus memberikan sedikitnya suplemen vit A, vit B, dan vit C berturut-turut sebanyak 300 unit, 440 unit, dan 320 unit. Untuk itu Pak Dullah memberikan kapsul Bagong dan kapsul Semar. Kapsul bagong yang setiap butirnya harganya Rp 100,- mengandung vit A, vit B, vit C berturut-turut 2 unit, 2 unit, dan 1 unit. Kapsul semar yang setiap butirnya harganya Rp 200,- mengandung vit A, vit B, vit C berturut-turut 1 unit, 3 unit, dan 4 unit. Berapa banyaknya masing-masing kapsul yang harus dibeli Pak Dullah agar pengeluarannya minimum, dan berapa pengeluaran minimumnya?

Lihat Penyelesaian
7.

Sebuah pabrik Petasan setiap harinya membuat 3000 karton petasan yang terdiri dari 3 jenis yaitu kembang api, air mancur, dan petasan cabe rawit. Keuntungan setiap kembang api, air mancur, dan cabe rawit berturut-turut per karton adalah Rp 10000, Rp 8000, Rp 12000. Untuk Jenis petasan kembang Api maksimal diproduksi 1500 buah, air mancur maksimal 2000 buah, dan cabe rawit maksimal 1800 buah. Tentukan keuntungan maximum pabrik itu ?

Lihat Penyelesaian
8.

PT AJEG REKOSO yang memproduksi semen mempunyai tiga buah pabrik yaitu di Ambarawa, Ngawi, dan Bandungan. PT Ajeg Rekoso memasarkan semennya ke dua kota besar yaitu Surabaya dan Jakarta. Dari Ambarawa,Ngawi, dan Bandungan dihasilkan semen sebanyak berturut-turut 350 ton, 200 ton, dan 150 ton perhari. Permintaan di Surabaya dan Jakarta berturut-turut 300 ton dan 400 ton. Pengiriman semen dari Ngawi ke Jakarta tidak boleh melebihi 32 kali pengiriman dari Ambarawa ke Jakarta. Biaya pengiriman per ton semen dari Ambarawa, Ngawi, dan Bandungan ke Surabaya berturut-turut 200, 320, dan 300 (dalam ribu rupiah), dan ke Jakarta berturut-turut 320, 180, dan 250 (dalam ribu rupiah).

a. Tentukan banyaknya pengiriman dari Ambarawa, Ngawi, dan bandungan ke Surabaya dan Jakarta ?

b. Berapa ongkos minimum perharinya ?

Lihat Penyelesaian

F. PENGGUNAAN GARIS SELIDIK UNTUK MENENTUKAN NILAI OPTIMUM

Penggunaan garis selidik untuk mencari nilai optimum sangat membantu tetapi dalam menggambar skala harus cermat.

Terkadang dalam menggambar Himpunan penyelesaian untuk angka-angka yang besar, dalam menaruh angka hanya dengan kira-kira, ini yang harus kita hindari dalam penggunaan garis selidik.

Contoh garis selidik :

Misalnya kita ingin mencari nilai maksimum dari fx, y=2x+3y untuk gambar di bawah ini.

Generic placeholder thumbnail

Gambar-F

Gambar Selidik

i) Langkah pertama kita beri nilai 2x+3y sembarang angka, misalnya 60, jadi kita akan mendapatkan persamaan 2x+3y=60 (garis selidik)

ii) Langkah kedua, kita geser garis selidik ke salah satu arah, misalnya kearah (0,0) seperti yang ditunjukkan garis yang berwarna biru, dengan persamaan 2x+3y=0

iii) Karena di geser ke bawah nilai dari 2x+3y mengecil, maka untuk mencari yang maksimum kita harus geser ke atas.

iv) Titik terakhir pada himpunan penyelesaian yang kena garis selidik yang akan membuat bentuk obyektif fx, y=2x+3y menjadi maksimum. (titik C)

Keuntungan penggunaan garis selidik yaitu kita tidak perrlu mencari koordinat titik-titik yang bukan ditanya nilai optimumnya.


Sebagai contoh :

1.
Generic placeholder thumbnail

Pada gambar di samping ini tentukan

Titik, dimana bentuk obyektif fx, y

Di bawah ini mencapai maksimum

a. fx, y=x+y

b. fx, y=2x+y

c. fx, y=y-2x

Lihat Penyelesaian
2.

Tentukan nilai maksimum dari fx,y=3x+5y dari system pertidaksamaan linier x0, y0, x+y100, 2x+y170, 2x+3y260 ?

Lihat Penyelesaian
3.

Sebuah perusahaan mempunyai dua tempat pertambangan. Pertambangan pertama menghasilkan 1 ton bijih besi kadar tinggi, 3 ton bijih besi dengan kadar menengah dan 5 ton bijih besi dengan kadar rendah setiap harinya. Sedangkan pertambangan II menghasilkan 2 ton bijih besi kadar tinggi, 2 ton bijih besi kadar menengah dan 2 ton bijih besi kadar rendah. Perusahaan memerlukan 80 ton bijih besi kadar tinggi, 160 ton bijih besi kadar menengah dan 200 ton bijih besi kadar rendah. Jika biaya pengoperasian setiap pertambangan sama yaitu 2 juta rupiah setiap harinya. Berapa biaya minimum yang dikeluarkan agar kebutuhan bijih besi perusahaan terpenuhi ?

Lihat Penyelesaian