1. LAJU PERUBAHAN

Laju perubahan ditulis dengan menggunakan lambang d , misalnya laju perubahan volume V adalah dV , laju perubahan jari-jari r adalah dr , laju perubahan waktu t adalah dt , dan seterusnya.

Sehingga

  • laju perubahan volume V terhadap waktu t ditulis dengan lambang dV dt

  • laju perubahan Jari-jari r terhadap waktu t ditulis dengan lambang dr dt

  • laju perubahan tinggi h terhadap waktu t ditulis dengan lambang dh dt

    dan seterusnya.


Perhatikan contoh di bawah ini :

Sebuah balok mempunyai ukuran panjang 2 x + 20 cm , lebarnya x + 10 cm , dan tingginya x cm . Jika nilai x saat t detik adalah x = 1 + 1 2 t maka tentukan laju perubahan volume balok saat t = 10 detik !

Jawab :

Volume balok V = p × l × t

= 2 x + 20 x + 10 x cm 3

= 2 x 3 + 40 x 2 + 200 x cm 3

Substitusikan x = 1 + 1 2 t

V = 2 1 + 1 2 t 3 + 40 1 + 1 2 t 2 + 200 1 + 1 2 t cm 3

Laju perubahan volume terhadap waktu adalah :

dV dt = d 2 1 + 1 2 t 3 + 40 1 + 1 2 t 2 + 200 1 + 1 2 t dt

= 6 1 + 1 2 t 2 1 2 + 80 1 + 1 2 t 1 2 + 100

= 3 1 + 1 2 t 2 + 40 1 + 1 2 t + 100 cm 3 / detik

Laju perubahan volume saat t = 10 detik:

dV dt = 3 1 + 5 2 + 40 1 + 5 + 100

= 108 + 240 + 100

= 448 cm 3 / detik


Sebagai contoh :

1.

Jari-jari r cm dari sebuah lingkaran pada saat t detik adalah r = 12 t - 2 t 3 . Tentukan perubahan jari-jari (membesar atau mengecil) pada saat

  1. t = 1 2 detik

  
  1. t = 2 detik

Lihat Penyelesaian

2.

Panjang l mm dari sebuah pegas elastic pada t detik diberikan dalam persamaan l = 3 t 3 - 12 t + 40 . Tentukan

  1. panjang mula-mula

  2. perubahan panjang saat t = 1 detik

  3. saat berapa detik laju pertambahan panjangnya 4 mm / s

  4. saat berapa detik laju pengurangan panjangnya 8 mm / s

Lihat Penyelesaian
3.

Jari-jari dari sebuah balon r cm pada saat t detik diberikan dalam fungsi r = 5 + 2 1 + 2 t , tentukan

  1. Jari-jari balon mula-mula

  2. Laju perubahan jari-jari saat t = 4 detik

Lihat Penyelesaian
4.

Diketahui volume air di bak V cm 3 yang tersisa saat kran pengurasan di buka pada saat t detik adalah V = 20 - t 3 untuk 0 t 20 . Tentukan

  1. Laju berkurangnya volume air di bak saat t = 5 detik

  2. Laju perubahan keluarnya air dari bak saat t = 5 detik

Lihat Penyelesaian
5.

Sebuah persegi panjang mempunyai panjang x + 5 cm dan lebarnya 2 x - 4 cm, dan panjang x saat t detik adalah x = 3 + 2 t . Tentukan laju perubahan luas dari persegi panjang saat t = 5 detik ?

Lihat Penyelesaian
6.

Variabel x dan y berelasi dengan persamaan x = 2 y - 1 3 - y , Jika nilai x setelah t detik adalah x = 2 t - 1 t - 2 , maka

  1. Nyatakan y sebagai fungsi dari waktu t

  2. Laju perubahan y saat t = 2 detik

Lihat Penyelesaian
7.

Volume sebuah kerucut dengan tinggi h adalah π h 3 12 . Jika h bertambah 0,2 cm / s dan mula-mula tingginya 2 cm , n yatakan v olume kerucut sebagai fungsi dari t , dan tentukan laju perubahan volume kerucut saat waktunya t ?

Lihat Penyelesaian
8.

Luas daerah sebuah lingkaran bertambah 2 cm 2 / detik , jika luasnya mula-mula L = 1 cm 2 , maka tunjukkan jari-jarinya pada saat waktunya t detik adalah r = 2 t + 1 π , kemudian tentukan laju perubahan jari-jari saat t = 12 detik !

Lihat Penyelesaian
9.

Sebuah partikel bergerak meninggalkan titik asal, dan setelah t detik jarak dari titik asal adalah S = t 3 + t 2 + t cm , tentukan

  1. Laju perubahan jarak dari titik asal saat t = 5 detik

  2. Laju perubahan kecepatan meninggalkan titik asal saat t = 5 detik

  3. Laju perubahan percepatan meninggalkan titik asal saat t = 5 detik

Lihat Penyelesaian
10.

Sebuah batu dijatuhkan dari ketinggian 100 meter, Jika H adalah ketinggian setelah t detik diukur dari permukaan tanah dan percepatan gravitasi g = 10 m / s 2 , maka

  1. Tentukan fungsi dari H sebagai fungsi dari waktu t

  2. Laju berkurangnya ketinggian saat t = 3 s

  3. Laju berkurangnya ketinggian saat H = 20 m

Lihat Penyelesaian

Penggunaan aturan rantai pada laju perubahan :

Misalkan

  1. dV dt = dV dr × dr dt

  2. dr dt = dr dA × dA dt

Perhatikan contoh di bawah ini :

Sebuah es berbentuk bola dengan laju berkurangnya luas permukaan bola es adalah 100 cm 2 / detik , tentukan laju berkurangnya volume bola es tersebut saat jari-jarinya tinggal 2 meter !

Jawab :

Volume bola es V = 4 3 π r 3 dV dr = 4 π r 2

Luas permukaan bola es L = 4 π r 2 dL dr = 8 πr

Laju berkurangnya volume bola es adalah :

Pada penjabaran rantainya harus ditutup dengan dL dt karena diketahui bahwa nilai dari dL dt = 100 cm 2 / detik

dV dt = dV dr × dr dL × dL dt

= 4 π r 2 1 8 πr 100

= 50 r cm 3 / detik

Laju berkurangnya volume bola es saat r = 2 m = 200 cm adalah :

dV dt = 50 200 cm 3 / detik

= 10000 cm 3 / detik

= 10 liter / detik


11.

Seorang pengamat melihat seseorang melepas balon udara dari jarak 200 meter. Balon tersebut naik secara vertical ke udara dengan kecepatan 2 m / s . Jika pengamat dan seseorang yang melepas balon dianggap tepat berada di atas tanah, maka tentukan kecepatan bertambahnya jarak antara pengamat dan balon saat

  1. Ketinggian balon mencapai 100 m

  2. Setelah 5 4 menit

Lihat Penyelesaian
12.

Sebuah bola es mencair dengan kecepatan berkurangnya jari-jari 0,1 cm / detik , maka tentukan

  1. Laju berkurangnya volume pada saat jari-jari es tertinggal 1 meter !

  2. Laju berkurangnya luas permukaan pada saat jari-jari es tertinggal 1 meter !

Lihat Penyelesaian
13.

Aplikasi Turunan Laju Perubahan

Sebuah gelas berbentuk kerucut terbalik dengan tinggi dan jari-jari kerucut berturut-turut 15 cm dan 4 cm. Jika gelas bocor tepat di bawahnya dengan debit keluarnya air 1cm3/detik, maka tentukan kecepatan menurunnya air saat ketinggian air di gelas tinggal 10 cm !

Lihat Penyelesaian

14.

Pada persamaan di bawah ini, jika diketahui laju perubahan x adalah 3 unit perdetik, maka tentukan laju perubahan y jika diberikan

  1. y = x 3 - 2 x - 5 4 saat x = 3

  
  1. y = 2 x - 3 , saat x = 6

Lihat Penyelesaian

15.

Pada persamaan di bawah ini, jika diketahui laju perubahan y adalah 2 unit perdetik, maka tentukan laju perubahan x jika diberikan

  1. y = 2 x + 3 x - 2 , saat x = 3

  
  1. y = x 5 x + 2 3 , saat x = 1

Lihat Penyelesaian

16.

Laju perubahan luas sebuah persegi adalah 8 cm 2 / detik , tentukan laju perubahan panjang sisi saat luasnya 20 cm 2 ?

Lihat Penyelesaian
17.

Jika laju bertambahnya luas permukaan 10 cm 2 / detik , tentukan laju bertambahnya volume bola saat

  1. Jari-jarinya 2 cm

  
  1. Volumenya 36 π cm 3

Lihat Penyelesaian

18.

Jika tinggi sebuah kerucut adalah tiga kali jari-jarinya. Jika jari-jarinya bertambah 2 cm / s tentukan laju perubahan volumenya, saat jari-jari alas kerucut 4 cm !

Lihat Penyelesaian
19.

Sebuah tabung, tingginya dua kali jari-jari alasnya, jika luas permukaan tabung bertambah 10 cm 2 / s , maka tentukan laju perubahan volumenya saat

  1. jari-jarinya 5 cm

  2. saat luas permukaannya 216 π cm 2

  3. saat volumenya 2 π liter

Lihat Penyelesaian
20.

Pada gambar di bawah ini, titik A ( 2 , 0 ) , titik B berada pada garis y = x dan bergerak dengan kecepatan 1 unit perdetik menjauhi titik asal, tentukan laju perubahan luas segitiga AOB , saat jarak OB adalah 10 unit.

Laju Perubahan

Lihat Penyelesaian

21.

Pada gambar di bawah ini, titik A ( - 2,0 ) , Q q , 0 , dan titik P terletak pada kurva y = x 2 sehingga garis PQ sejajar sumbu Y . Jika q bertambah 3 unit/detik, maka tentukan laju pertambahan luas segitiga saat titik Q 10 , 0 !

Laju Perubahan

Lihat Penyelesaian

22.

Luas sebuah persegi panjang adalah konstan 100 cm 2 , jika panjangnya p bertambah dengan laju 0,2 cm / detik maka tentukan laju berkurangnya lebar persegipanjang tersebut saat p = 20 cm .

Lihat Penyelesaian
23.

Pada gambar di bawah ini adalah jajaran genjang OPQR dengan jika x bertambah 1,5 unit/detik dan y = 2 x , maka tentukan

  1. laju pertambahan luas jajaran genjang OPQR saat x = 4

  2. Laju pertambahan panjang diagonal OQ saat x = 4

Laju Perubahan

Lihat Penyelesaian

24.

Pada gambar di bawah ini seseorang yang berdiri di samping lampu taman, berjalan menjauhi lampu dengan kecepatan 2 m / s .

  1. Tentukan laju pertambahan panjang bayangan

  2. Tentukan laju pertambahan panjang bayangan saat panjang bayangannya 6 meter.

Laju Perubahan

Lihat Penyelesaian

25.

Pada gambar di bawah ini, Titik P dan Q berada pada lingkaran dengan pusat O dan berjari-jari 8 cm . Jika ∡POQ = θ dan titik Q bergerak berlawanan arah dengan jarum jam sehingga θ bertambah π 2 radian perdetik, maka tentukan

  1. Laju perubahan panjang busur PQ

  2. Laju perubahan luas sektor POQ

Laju Perubahan

Lihat Penyelesaian


  1. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG DAN GARIS NORMAL

Pada ringkasan materi limit dan kontinuitas dijelaskan bahwa gradien garis singgung adalah turunan pertama dari sebuah fungsinya.

Jika garis l menyinggung kurva f ( x ) di titik dengan absis a maka gradiennya m = f ' ( a )

Sedangkan persamaan garis yang melalui ( x 1 , y 1 ) dan bergradien m adalah

y - y 1 = m x - x 1

Garis normal adalah garis yang tegak lurus dengan garis singgung dan melalui titik singgungnya.

Dua garis saling tegak lurus maka m 1 . m 2 = - 1 , jika saling sejajar maka m 1 = m 2 .

Karena garis normal tegak lurus dengan garis singgung , maka :

m n × m s = - 1 atau m n = - 1 m s

m s   gradient garis singgung, dan m n gradient garis normal

Perhatikan contoh di bawah ini :

  1. Mencari gradient garis singgung pada kurva y = x 3 di titik 3 , 27

    Solusinya :

    Gradien adalah turunan pertama dari kurvanya

    m = y' m = 3 x 2  

    substitusikan nilai x = 3 , diambil dari absis titik singgungnya 3 , 27

    m = 3 3 2

    = 27

  2. Mencari persamaan garis singgung pada kurva y = x 2 di titik yang berabsis 5

    Solusinya :

    Untuk mencari persamaan garis singgung dalam hal ini yang dibutuuhkan gradient m dan titiknya x , y .

    Untuk sementara yang diketahui baru titiknya 5 , y

    Kita lengkapi terlebih dahulu titik singgungnya

    x = 5 y = 5 2 = 25   Jadi titik singgungnya 5 , 25

    Kemudian kita cari gradient garis singgungnya :

    m = y' m = 2 x

    = 2 5   ambil nilai x di 5 , 25 x = 5

    = 10

    Langkah terakhir kita cari persamaan garis singgungnya yang melalui 5 , 25 dan bergradien m = 10

    y - y 1 = m x - x 1 y - 25 = 10 x - 5

    y = 10 x - 25


Sebagai contoh :

1.

Tentukan gradien-gradien garis singgung pada kurva

  1. y = x 2 + 2 di titik 2 , 6

  2. y = x x + 1 di titik yang berabsis 3

  3. y = x sin x di titik yang berabsis π 4

  4. x 2 + y 2 + 2 x - 4 y - 24 = 0 di titik - 3 , 7

Lihat Penyelesaian
2.

Tentukan koordinat titik singgungnya, jika gradient garis singgung pada kurva-kurva di bawah ini adalah m = 4

  1. y = x 2 + 2 x + 5

  2. y = x 3 - 3 x 2 + 7 x - 21

Lihat Penyelesaian
3.

Pada gambar di bawah ini, garis h menyingung kurva, maka tentukan persamaan garis h

  1. Aplikasi Turunan

  2. Aplikasi Turunan

Lihat Penyelesaian
4.

Tentukan persamaan garis h yang menyinggung kurva-kurva di bawah ini

  1. Aplikasi Turunan

  2. Aplikasi Turunan

Lihat Penyelesaian
5.

Jika garis h menyinggung kurva di bawah ini dan garis k adalah garis normalnya, tentukan persamaan garis h dan k

  1. Aplikasi Turunan

  2. Aplikasi Turunan

Lihat Penyelesaian
6.

Pada gambar di bawah ini, garis h menyinggung kurva di titik yang berada di sumbu Y dan garis k menyinggung kurva di titik A yang berabsis 4 . Tentukan titik potong antara garis h dan k !

Aplikasi Turunan

Lihat Penyelesaian

7.

Pada gambar di bawah ini , garis h adalah garis singgung pada kurva di titik A , sedangkan garis k adalah garis normal di titik A , tentukan

  1. persamaan garis h

  2. persamaan garis k

  3. koordinat titik B dan C

Aplikasi Turunan

Lihat Penyelesaian

8.

Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x 3 di titik A ( 1 , 1 ) dan B - 2 , 8 , kemudian tentukan titik potong antara kedua garis singgung tersebut.

Lihat Penyelesaian
9.

Tentukan Persamaan garis singgung dan garis normal

  1. Pada kurva y = x 2 dan melalui titik ( 2 , 4 )

  2. Pada kurva y = x - 9 2 x + 1 dan melalui titik ( 1 , - 8 3 )

Lihat Penyelesaian
10.

Tentukan Persamaan garis singgung dan garis normal

  1. Pada kurva y = x 2 + x + 1 dan melalui titik yang berabsis - 1

  2. Pada kurva y = x + 1 dan melalui titik yang berabsis 3

Lihat Penyelesaian
11.

Tentukan persamaan garis singgung

  1. Pada kurva y = 15 x + 1 di titik yang berordinat 3

  2. Pada kurva y = x 2 + 4 x - 5 dan melalui titik yang berordinat 7

Lihat Penyelesaian
12.

Garis l dan h adalah garis singgung pada kurva y = 2 x 2 - 3 x + 1 dan melalui titik yang berordinat 0 , Tentukan titik potong antara garis l dan h

Lihat Penyelesaian
13.

Garis normal pada kurva y = x 2 + 4 di titik yang berabsis 3 memotong sumbu X dan sumbu Y di titik A dan B, maka tentukan panjang ruas garis AB ?

Lihat Penyelesaian
14.

Tentukan persamaan garis singgung

  1. Pada kurva y = x 2 + 2 x - 10 dan bergradien m = 10

  2. Pada kurva y = x x - 2 dan bergradien m = - 2

Lihat Penyelesaian
15.

Tentukan persamaan garis singgung

  1. Pada kurva y = x 3 + 2 x dan sejajar garis y - 5 x + 10 = 0

  2. Pada kurva y = 3 x 2 + 10 x + 1 dan sejajar garis y + 2 x + 3 = 0

Lihat Penyelesaian
16.

Tentukan persamaan garis singgung

  1. Pada kurva y = x 2 + 2 x + 3 dan tegaklurus garis 4 y - x + 3 = 0

  2. Pada kurva y = x 2 + 9 dan tegak lurus garis 4 y + 5 x + 6 = 0

Lihat Penyelesaian
17.

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x 2 + y 2 - 2 x + 4 y - 5 = 0

  1. Melalui titik ( 2 , - 5 )

  2. Bergradien m = 3

Lihat Penyelesaian
18.

Jika garis singgung pada kurva y = x 2 + 2 x + c adalah y = 14 x - 33 , maka tentukan nilai c dan persamaan garis normalnya !

Lihat Penyelesaian
19.

Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal pada kurva y = 2 + 1 x di titik yang berordinat 2 !

Lihat Penyelesaian
20.

Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = 4 - x 2 yang ditarik dari garis - 1 , 7 !

Lihat Penyelesaian
21.

Jika garis singgung pada kurva y = ax + b x 2 pada titik - 1 , - 1 sejajar dengan garis 4 x = y - 65 , maka tentukan nilai dari a dan b !

Lihat Penyelesaian
22.

Garis h dan k masing-masing menyinggung kurva y = x 4 + a x 3 + b x 2 + cx + d di titik 1 , 11 dan ( - 2 , 5 ) . Jika garis h dan k berpotongan di titik - 1 2 , - 29 2 , maka nilai dari a - b + c - d =

Lihat Penyelesaian

  1. FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN

Jika kita menggambar kurva dari kiri ke kanan arahnya naik, maka grafik fungsinya naik, tapi bila arahnya turun maka grafik fungsinya turun.

Perhatikan kurva di bawah ini

Aplikasi Turunan, Aplikasi Deferensial

Aplikasi Deferensial

Pada gambar di atas semua garis singgung pada fungsi naik semua arahnya miring ke kanan (garis warna merah), dan pada fungsi turun semua arahnya miring ke kiri (garis warna hijau).

Karena semua garis yang miring ke kanan mempunyai gradien yang positif, dan semua garis yang miring ke kiri mempunyai gradien yang negatif maka

Grafik fungsi f ( x ) naik apabila m > 0 atau f ' x > 0

Grafik fungsi f ( x ) turun apabila m < 0 atau f ' x < 0

Grafik fungsi f ( x ) tidak naik apabila m 0 atau f ' x 0

Grafik fungsi f ( x ) tidak turun apabila m 0 atau f ' x 0

Perhatikan ilustrasi di bawah ini :

  1. Tentukukan batas nilai x agar f x = 4 x - x 2 kurvanya turun !

    Jawab :

    Syarat f x turun adalah f ' x < 0

    f ' x < 0 4 - 2 x < 0

    - 2 x < - 4

    x > 2

    Jadi f x = 4 x - x 2

    akan turun pada interval x > 2

     

    Fungsi naik dan turun

  1. Tunjukkan bahwa y = x 3 - 12 x 2 + 50 x - 100 kurvanya selalu naik !

    Jawab :

    Untuk menunjukkan bahwa kurva y = f x selalu naik , maka kita harus menunjukkan bahwa y ' > 0 untuk setiap x R

    y = x 3 - 12 x 2 + 50 x - 100

    y ' = 3 x 2 - 24 x + 50

    = 3 x 2 - 8 x + 50

    = 3 x - 4 2 - 16 + 50

    = 3 x - 4 2 + 2   Jelas bahwa 3 x - 4 2 0

    2

    Karena y' 2 maka y ' > 0

    Jadi memenuhi syarat bahwa kurva y = x 3 - 12 x 2 + 50 x - 100 selalu naik.


Sebagai contoh :

1.

Dengan memperhatikan gambar , tentukan batas nilai x sehingga

  1. f ( x ) merupakan fungsi turun

  2. f ( x ) merupakan fungsi naik

 

Fungsi naik dan turun

Lihat Penyelesaian

2.

Tentukan batas nilai x sehingga fungsi-fungsi dibawah ini naik

  1. f x = x 2 + 10 x - 3

  2. f x = x 3 2 x - 3 4

Lihat Penyelesaian
3.

Tentukan batas nilai x sehingga fungsi-fungsi dibawah ini turun

  1. f x = 2 x 2 - 6 x - 10

  2. f x = x 2 + 35 x - 1

Lihat Penyelesaian
4.

Tentukan interval dimana fungsi di bawah ini naik dan turun

  1. f x = x 2 + 4 x - 11

  2. f x = x 3 + 2 x 2 - 7 x + 8

Lihat Penyelesaian
5.

Tentukan interval nilai x sehingga fungsi di bawah ini

  1. f x = x 4 - 12 x 3 tidak naik

  2. f x = 3 x - 1 x + 2 tidak turun

Lihat Penyelesaian
6.

Bagaimana kondisi naik turunnya f x = 6 x 4 - 22 x 3 + 15 x 2 + 12 x + 1 pada interval 0 < x < 10 ?

Lihat Penyelesaian
7.

Tunjukkan bahwa grafik fungsi dari

  1. f x = x 3 + 6 x 2 + 12 x + 10 tidak pernah turun

  2. f x = 4 x 3 - 18 x 2 + 88 x - 100 selalu naik

Lihat Penyelesaian
8.

Tunjukkan bahwa

  1. f x = 100 - 2 x - x 3 selalu turun

  2. f x = - x 3 + 12 x 2 - 48 x + 400 tidak pernah naik

Lihat Penyelesaian
9.

Tentukan batas nilai a agar fungsi f x = - x 3 + a x 2 - x 2 - 3 x + 8 selalu turun untuk semua x bilangan real !

Lihat Penyelesaian
10.

Jika y = sin x + sin x cos x + sin x cos 2 x + sin x cos 3 x + Tentukan interval naik turunnya kurva y untuk π 2 x 3 π 2

Lihat Penyelesaian

  1. TITIK STASIONER DAN TITIK BELOK

Pada titik stasioner , garis singgungnya horizontal sehingga gradiennya m = 0

Karena m = 0 f ' x = 0   syarat mencari titik stasioner

Titik stasioner yang didapat dari f'x=0 terdiri dari :

  • Titik balik maksimum

  • Titik balik minimum

  • Titik belok horizontal

Sedangkan titik belok terdiri dari dua jenis yaitu

  • Titik belok horizontal (merupakan titik stasioner) didapat dari f'x=0

  • Titik belok vertical (bukan titik stasioner) didapat dari f'x0 dan f''x=0

Titik stasioner dan titik belok

Memahami titik stasioner dengan uji turunan pertama :

Untuk mencari titik stasioner syaratnya f ' x = 0

  • Jika perubahan grafiknya dari naik kemudian turun maka titik stasionernya ( titik ekstrimnya ) merupakan titik balik maksimum ( maksimum lokal )

  • tetapi jika dari turun kemudian naik maka titik stasionernya ( titik ekstrimnya ) merupakan titik balik minimum. (minimum lokal )

  • Sedangkan titik belok horisontal, grafik fungsinya setelah naik kemudian naik lagi, atau setelah turun kemudian turun lagi.

Menentukan jenis titik stasioner dengan uji turunan kedua

  • ( a , f a ) adalah titik stasioner dan f''a<0 maka (a, fa) titik balik maksimum

  • ( a , f a ) adalah titik stasioner dan f''a>0 maka (a, fa) titik balik minimum

  • ( a , f a ) adalah titik stasioner dan f''a=0 maka (a, fa) titik belok

Untuk mencari titik belok vertikal, syaratnya f'a0 dan f''a=0

f '' a = 0 (a, fa) merupakan titik belok vertical dengan syarat f''(a+) dan f''(a-) berbeda tanda

Perhatikan contoh di bawah ini :

Tentukan titik stasioner dan jenisnya dari kurva y = x 5 - 15 x 3 dengan uji turunan pertama dan dengan uji turunan kedua

Jawab :

y = x 5 - 15 x 3

y ' = 0 5 x 4 - 45 x 2 = 0

5 x 2 x 2 - 9 = 0

5 x 2 x - 3 x + 3 = 0

x = 0 atau x = 3 atau x = - 3

Substitusikan nilai x yang didapat ke y = x 5 - 15 x 3

x = 0 y = 0 5 - 15 0 3

= 0   didapat titik stasioner 0 , 0

x = 3 y = 3 5 - 15 3 3

= - 162   didapat titik stasioner 3 , - 162

x = - 3 y = - 3 5 - 15 - 3 3

= 162   didapat titik stasioner - 3 , 162

Menentukan jenis titik stasioner dengan uji turunan pertama

y ' = 5 x 2 x - 3 x + 3

Titik stasioner dan titik belok

- 3 , 162 titik balik maksimum ,

3 , - 162 titik balik maksimum , dan

0 , 0 titik belok horizontal.

Menentukan jenis titik stasioner dengan uji turunan kedua

y = x 5 - 15 x 3 y ' = 5 x 4 - 45 x 2 y '' = 20 x 3 - 90 x

Kita cek absis titik stasioner ke y '' = f'' x = 20 x 3 - 90 x

  • Titik - 3 , 162

    f'' - 3 = 20 - 3 3 - 90 - 3

    = - 2700

    Karena f '' - 3 < 0 maka - 3 , 162 merupakan titik balik maksimum

  • Titik 0 , 0

    f'' 0 = 20 0 3 - 90 0

    = 0

    Karena f '' 0 = 0 maka 0 , 0 merupakan titik belok horisontal

  • Titik 3 , - 162

    f'' 3 = 20 3 3 - 90 3

    = 2700

    Karena f '' 3 > 0 maka 3 , - 162 merupakan titik balik minimum


Sebagai contoh :

1.

Pada gambar di bawah ini, tentukan titik-titik stasioner dan jenisnya dan kemudian tentukan apakah bernilai positif , negative, atau bernilai 0 untuk bentuk-bentuk dibawah ini ?

  1. f' 0

  2. f ' ( 3 )

  3. f '' ( 8 )

  4. f ' ( - 7 )

  5. f ' ( 8 )

  6. f '' ( 3 )

 

Titik stasioner dan titik belok

Lihat Penyelesaian

2.

Pada gambar grafik fungsi kuadrat di bawah ini, tentukan koordinat titik puncak P beserta jenisnya dengan cara

  1. Analisa gambar

  2. Dengan rumus fungsi kuadrat

  3. Dengan turunan

 

Titik stasioner dan titik belok

Lihat Penyelesaian

3.

Tentukan nilai stasioner dan jenisnya untuk fungsi-fungsi di bawah ini

  1. f x = 6 - 2 x - x 2

  2. f x = x 3 - 3 x 2 - 9 x + 27

  3. f x = ( 2 x - 1 ) 4 x - 5 5

Lihat Penyelesaian
4.

Tentukan nilai-nilai ekstrim (stasioner) dan jenisnya untuk fungsi-fungsi

  1. y = x 1 - 2 x

  2. y = x x 2 + 1

  3. y = x + x + 4

Lihat Penyelesaian
5.

Tentukan titik ekstrim (titik balik atau titik belok) dan jenisnya dengan uji turunan kedua dari fungsi-fungsi dibawah ini !

  1. f x = x 2 + 2 x + 10

  2. f x = - x 2 + 6 x - 2

   
  1. f x = x 3 + 2

  2. f x = ln x

Lihat Penyelesaian

6.

Tentukan titik ekstrim dan jenisnya dengan uji turunan pertama dari fungsi di bawah ini !

  1. f x = x 4 2 x - 7 3

   
  1. f x = 2 x + 4 x 2 + x + 2

Lihat Penyelesaian

7.

Salah satu titik stasioner dari f x = 2 x 3 + a x 2 + 6 x + b adalah ( - 3 , 5 ) , maka tentukan titik stasioner yang lain !

Lihat Penyelesaian
8.

Tentukan nilai stasioner (nilai ekstrim) dan jenisnya dari fungsi-fungsi

  1. y = x 2 + 16 x 2

  
  1. y = 4 x 2 + 27 x

  
  1. y = x - 1 x

Lihat Penyelesaian

9.

Tentukan persamaan fungsi f x = x 3 + b x 2 + cx + d , jika kurvanya mempunyai koordinat titik balik maksimumnya - 1 , 10 , dan koordinat titik balik minimumnya 2 , k , maka tentukan nilai k !

Lihat Penyelesaian
10.

Jika nilai maksimum dari f ( x ) = 1 4 x + p - x untuk p > 0 adalah 3 , maka tentukan nilai dari f - 1 + f ' - 1 !

Lihat Penyelesaian
11.

Tentukan semua titik belok dari kurva y=x4-12x3 !

Lihat Penyelesaian
12.

Kurva y=ax3+bx2+cx+d mempunyai koordinat titik balik minimumnya adalah 3, -5 dan titik beloknya 1, 5 , maka tentukan persamaan kurvanya !

Lihat Penyelesaian

  1. NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM FUNGSI

NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM FUNGSI

Perhatikan gambar di samping, nilai dari f(x) pada interval axb akan mencapai maksimum di ujung kiri interval (saat nilai x=a) dan nilai minimumnya ada di titik stasionernya.

Keterangan :

( x , y ) adalah titik, dan nilainya y saja.

Jadi langkah-langkah untuk mencari nilai maksimum dan minimum dari sebuah fungsi f x pada interval a x b adalah :

  1. Cari nilai x pembuat nilai stasioner pada interval x b , misalnya didapat x 1 , x 2 , dan seterusnya .

  2. Cek nilai dari fungsinya untuk nilai x pembuat stasioner dan nilai x di ujung interval, yaitu dengan cara mencari nilai dari x 1 , f x 2 , ….. , dan f a , f b .

  3. Bandingkan nilai-nilai yang dicari , yang terbesar adalah nilai maksimum , dan yang terkecil adalah nilai minimum.

Perhatikan contoh di bawah ini :

Tentukan nilai maksimum dan minimum dari f x = x 3 - 4 x 2 - 3 x - 1 pada interval 0 x 4 !

  1. Langkah pertama kita cari nilai x pembuat stasioner pada interval 0 x 4

    f ' x = 0 3 x 2 - 8 x - 3 = 0

    1 3 3 x - 9 3 x + 1 = 0

    x = 3 atau x = - 1 3

    Untuk x = 3 masuk pada interval 0 x 4

    Untuk x = - 1 3 tidak masuk pada interval 0 x 4

  1. Langkah kedua kita cek nilai fungsinya di stasioner dan di ujung interval

    f 3 = 3 3 - 4 3 2 - 3 3 - 1

    = - 19     Nilai stasioner

    f 0 = 0 3 - 4 0 2 - 3 0 - 1

    = - 1     Nilai di ujung interval kiri

    f 4 = 4 3 - 4 4 2 - 3 4 - 1

    = - 13     Nilai di ujung interval kanan

  1. Jadi nilai maksimumnya - 1 dan minimumnya - 19

    Ilustrasi gambarnya :

    NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM FUNGSI


Sebagai contoh :

1.

NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM FUNGSI

  1. Pada gambar di atas, tentukan nilai maksimum dan minimum dari f ( x )

    1. Pada interval - < x <

    2. Pada interval 0 x 18

    3. Pada interval - 3 x 8

  2. Tentukan range dari f ( x ) jika domainnya

    1. D = x - 8 x 18

    2. D = x x 0

    3. D = x x 0

Lihat Penyelesaian
2.

Tentukan nilai maksimum dan minimum dari kurva-kurva di bawah ini pada interval - 2 x 5

  1. NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM FUNGSI

  2. NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM FUNGSI

Lihat Penyelesaian
3.

Tentukan nilai maksimum dan minimum dari

  1. f x = x 2 + 4 x - 1 , - 5 x 5

  2. f x = x 3 + 3 x 2 - 9 x + 2 , 0 x 10

Lihat Penyelesaian
4.

Tentukan range dari fungsi di bawah ini untuk domain yang sudah ditentukan

  1. f x = 8 x - x 2 - 1 , D f = x 0 < x < 5

  2. f x = x + 3 4 2 x - 3 5 , D f = x - 5 < x < 1

Lihat Penyelesaian
5.

Tentukan Range dari fungsi fungsi berikut

  1. f x = 2 x 3 - 9 x 2 + 12 x + 15 , jika domainnya D f = x 0 x 2 , x R

  2. f x = 2 x 6 - 9 x 4 + 12 x 2 + 15 , jika domainnya D f = x - 1 x 2 , x R

Lihat Penyelesaian
6.

Jika nilai maksimum dari y = 3 x 4 - 8 x 3 + k pada interval - 1 x 3 adalah 2 , maka tentukan nilai minimumnya!

Lihat Penyelesaian
7.

Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi-fungsi di bawah ini

  1. f x = x - 1 - 2 x pada interval 1 , 2

  2. f x = 8 + 2 x - x 2 pada interval 0 , 4

  3. f x = x - 1 - x 2 pada interval - 1 , 1

Lihat Penyelesaian
8.

Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi-fungsi di bawah ini

  1. f x = sin 2 x - cos 2 x pada interval 0 , π

  2. f x = 2 sin x - x pada interval 0 , π 2

Lihat Penyelesaian
9.

Tentukan nilai maksimum dan minimum dari f x = x 3 2 x - 14 4 pada interval - 2 , 4

Lihat Penyelesaian
10.

Tentukan nilai maksimum dan minimum dari f x = 2 x - 1 x 2 + 2 x + 5 pada interval - 5 , 5

Lihat Penyelesaian

  1. PENYELESAIAN SOAL CERITA

Langkah-langkah menyelesaikan soal cerita yang berhubungan dengan nilai maksimum atau minimum adalah sebagai berikut :

  • Nyatakan permasalahan soal cerita yang ditanya maksimum atau minimumnya dalam bentuk fungsi satu variable.

  • Cari pembuat nilai ekstrimnya dengan turunan pertama fungsinya sama dengan nol.

  • Cari nilai maksimum dan minimum yang diminta.

Sebagai ilustrasinya :

Sebuah kawat yang panjangnya 60 cm dibuat kerangka bangun datar yang terdiri dari empat buah persegi panjang yang identik seperti gambar di bawah ini, tentukan ukuran panjang dan lebarnya agar luasnya maksimum, serta tentukan luas maksimumnya !

Aplikasi Turunan

Pembahasan :

langkah pertama kita nyatakan luasnya dalam fungsi satu variable

misal panjangnya x dan lebarnya y

Panjang kawat 6 x + 7 y = 60

y = 60 - 6 x 7

Luasnya L = 4 xy

= 4 x 60 - 6 x 7

= 240 7 x - 24 7 x 2

Aplikasi Turunan

Sudah berbentuk fungsi luas L dalam variabel x

Langkah kedua kita kita cari nilai x dengan cara L ' = 0

L ' = 0 240 7 - 48 7 x = 0  

48 7 x = 240 7   atau x = 5

Dengan mensubstitusikan ke 6 x + 7 y = 60 diperoleh y = 30 7

Jadi agar luasnya maksimum , maka panjangnya x = 5 cm dan lebarnya y = 30 7 cm

Luas maksimumnya L = 5 xy

= 5 5 30 7

= 750 7 cm 2


Sebagai contoh :

1.

Dua buah bilangan jumlahnya 40 , tentukan nilai minimum dari kuadrat bilangan pertama ditambah enam kali bilangan kedua.

Lihat Penyelesaian
2.

Sebuah persegi panjang mempunyai panjang ( 20 - a ) dan lebarnya 2 a , maka tentukan luas maksimum persegi panjang tersebut.

Lihat Penyelesaian
3.

Sebuah kotak tanpa tutu p mempunyai luas permukaan luarnya 108 cm 2 , jika alasnya persegi maka tentukan volume maksimumnya.

Lihat Penyelesaian
4.

Tentukan luas maksimum persegipanjang yang dapat dibuat pada daerah yang dibatasi oleh kurva y = 12 - x 2 , dan sumbu X.

Lihat Penyelesaian
5.

Tentukan jarak terdekat titik ( 0 , 10 ) ke kurva y = x 2 + 1

Lihat Penyelesaian
6.

Sebuah Industri rumah tangga memproduksi x buah donat dengan biaya total Rp (2x2-200x+1000 ) rupiah, Jika tiap donat dijual dengan harga Rp (1000-10x) maka tentukan keuntungan maksimum yang akan didapat.

Lihat Penyelesaian
7.
PENYELESAIAN SOAL CERITA APLIKASI TURUNAN

Aplikasi Deferensial

Sebuah kawat yang panjangnya 100 cm dibuat kerangka seperti pada gambar di samping, yaitu gabungan persegipanjang dan seperempat lingkaran (yang berwarna merah). Tentukan luas daerah maksimum dari kerangka yang terbentuk.


Lihat Penyelesaian
8.

Sebuah kertas karton berbentuk persegi panjang berukuran panjang 32 cm dan lebarnya 20 cm, dipotong ujung-ujungnya berbentuk persegi, dan kemudian dilipat membentuk balok tanpa tutup. Tentukan volume maksimum balok yang terbentuk.

Lihat Penyelesaian
9.
PENYELESAIAN SOAL CERITA APLIKASI TURUNAN

Aplikasi Deferensial

Gambar disamping ini adalah persegipanjang dengan panjang PS = 10 dan lebarnya PQ = 6 . Di dalam persegipanjang dibuat segi empat ABCD dengan DQ = BS = x dan = AR = 2 x . Tentukan luas minimum segiempat ABCD.

Lihat Penyelesaian

10.
  1. Tentukan volume tabung maksimum yang dapat dibuat didalam bola berjari- jari R.

  2. Kemudian tentukan perbandingan volume tabung dan volume bola tersebut.

Lihat Penyelesaian
11.

Jumlah dua bilangan positif adalah 40 , tentukan nilai

  1. Minimum dari jumlah kuadrat kedua bilangan

  2. Minimum dari lima kali bilangan pertama ditambah kuadrat bilangan kedua

  3. Maksimum dari hasil kali bilangan pertama dan kuadrat bilangan kedua

  4. Maksimum dari hasil kali bilangan pertama dan pangkat tiga bilangan kedua

Lihat Penyelesaian
12.

Sepotong kawat yang panjangnya 52 centimeter dibuat trapezium sama kaki seperti pada gambar di bawah ini,

  1. Tunjukkan bahwa luasnya L = 104 x - 20 x 2

  2. Tentukan nilai x dan y agar luasnya maksimum

  3. Tentukan luas maksimumnya

Aplikasi Turunan

Lihat Penyelesaian

13.

Sebuah danau berbentuk lingkaran dengan radius 1 km, seekor katak ingin berpindah tempat dari titik A ke titik B , dengan cara berenang lurus ke titik C kemudian meloncat menyusuri pinggir danau dari C ke B . Jika kecepatan berenang 3 m / s dan kecepatan berjalan 4 m / s , dan total waktu yang dibutuhkan adalah T detik , maka

  1. Tunjukkan bahwa T = 2000 cos α 3 + 500 α

  2. Tentukan θ supaya T minimum

  3. Tentukan nilai T minimum

Aplikasi Turunan

Lihat Penyelesaian

14.

Pada gambar di bawah ini adalah persegipanjang dengan panjang 2 x dan lebarnya x , dan ∡DAM = ∡ADM = ∡BCN = ∡CBN = θ . Jika = AM + DM + MN + BN + CN , maka

  1. Tunjukkan S = 2 x cos θ + 2 x - x tan θ

  2. Tentukan nilai θ sehingga S minimum

  3. Tentukan nilai S minimumnya

Aplikasi Turunan

Lihat Penyelesaian

15.

Sepotong kawat dibuat sebuah kerangka bangun datar gabungan persegi panjang dan segitiga siku-siku dengan luas 300 cm 2 seperti pada gambar di bawah ini.

  1. Tentukan nilai x dan y sehingga panjang kawat yang dibutuhkan minimum

  2. Tentukan panjang kawat minimumnya

Aplikasi Turunan

Lihat Penyelesaian

16.

Sebuah perusahaan akan membuat lembaran kertas dengan luas 864 cm 2 seperti gambar di bawah ini, dari lembaran kertas tersebut akan dibuat bidang gambar dengan menyisakan batas atas-bawah 3 cm dan batas kanan-kiri 2 cm .

  1. Tentukan nilai x dan y agar luas bidang gambar maksimum

  2. Tentukan luas bidang gambar maksimumnya

Aplikasi Turunan

Lihat Penyelesaian

17.

Pada gambar di bawah ini, titik A ( a , 0 ) , B ( 0 , b ) , dan titik P ( 2 , 16 ) terletak pada sebuah garis, jika θ = ∡OAB , maka tentukan

  1. Nilai θ sehingga AB minimum

  2. Tentukan jarak AB minimum

Aplikasi Turunan

Lihat Penyelesaian

18.

Pada gambar di bawah ini titik M dan N berturut-turut terletak pada garis y = x dan kurva y = 6 x - x 2 sehingga garis MN sejajar sumbu Y untuk 0 x 5 .Tentukan jarak antara titik M dan N maksimumnya !

Aplikasi Turunan

Lihat Penyelesaian

19.

Sebuah kotak dibuat dari selembar kertas berukuran 80 × 50 seperti pada gambar dibawah ini dengan membuang daerah kertas berwarna biru.

  1. Tentukan nilai x sehingga volume kotaknya maksimum

  2. Tentukan volume maksimumnya

Aplikasi Turunan

Lihat Penyelesaian

20.

Sebuah kemasan susu berbentuk silinder dengan volume 5 liter terbuat dari seng tipis.

  1. Tentukan jari-jari alas silinder agar bahan yang diperlukan sedikit mungkin

  2. Luas minimum bahan yang diperlukan

Lihat Penyelesaian

  1. APLIKASINYA PADA LIMIT (Dalil L’Hospital)

Jika f a = 0 dan g a = 0 , maka lim x a f ( x ) g ( x ) = lim x a f' ( x ) g' ( x )

Jika turunan pertama masih menghasilkan bentuk 0 0 , maka kita turunkan lagi.

lim x a f ( x ) g ( x ) = lim x a f' ( x ) g' ( x ) = lim x a f'' ( x ) g'' ( x ) = lim x a f'' ( x ) g'' ( x ) =

sampai tidak menghasilkan bentuk 0 0

Tidak semua limit bentuk 0 0 akan lebih mudah dikerjakan dengan dalil L’Hospital.

Contoh : lim x 7 x - 42 + x x + 2 - 2 x - 5 akan lebih mudah dikerjakan dengan dalil L’Hospital dari pada dengan cara biasa.

lim x 0 x 3 2 x 3 + 3 x 4 + 4 x 5 akan lebih mudah dikerjakan dengan cara biasa.

Perhatikan contoh-contoh di bawah ini :

  • Selesaikan lim x 0 1 - cos 2 x x 2

    f x = 1 - cos 2 x f 0 = 1 - cos 2 0 = 1 - 1 = 0

    g x = x 2 g 0 = 0 2 = 0

    lim x 0 1 - cos 2 x x 2 = lim x 0 2 cos x sin x 2 x      sin 2 x = 2 sin x cos x

    = lim x 0 sin 2 x 2 x   masih berbentuk 0 0

    = lim x 0 2 cos 2 x 2

    = 2 cos 0 2

    = 2 2

    = 1

  • Jika lim x 4 ax + b - x x 2 - 16 = 3 32 maka tentukan nilai a dan b

    Karena penyebutnya g x = x 2 - 16 dan 4 = 0 ,

    Maka pembilangnya f x = ax + b - x juga harus memenuhi f 4 = 0

    Karena nilai limitnya terdefinisi .

    Jadi 4 a + b - 4 = 0 atau 4 a + b = 2 …( 1)

    lim x 4 ax + b - x x 2 - 16 = 3 32 lim x 4 a - 1 2 x 2 x = 3 32

    a - 1 4 8 = 3 32

    32 a - 8 = 24

    32 a = 32

    a = 1

    Substitusikan nilai a = 1 ke persamaan (1 ) : 4 a + b = 2

    4 + b = 2 diperoleh b = - 2

    Jadi a = 1 dan b = - 2


Sebagai contoh :

1.

Tentukan hasil dari lim x 4 2 x 2 + x - 36 x 2 - x - 12

  1. Dengan dalil L’Hospital

  2. Dengan cara biasa

Lihat Penyelesaian
2.

Tentukan hasil dari lim x 1 2 x 4 + x - 3 2 x 3 + x - 3

  1. Dengan dalil L’Hospital.

  2. Dengan cara biasa.

Lihat Penyelesaian
3.

Tentukan hasil dari lim x 2 x - 2 x 2 3 - 4 3

  1. Dengan dalil L’Hospital.

  2. Dengan cara biasa.

Lihat Penyelesaian
4.

Tentukan hasil dari lim x 5 x - x + 20 25 - x 2

  1. Dengan dalil L’Hospital.

  2. Dengan cara biasa.

Lihat Penyelesaian
5.

Tentukan hasil dari lim x - 3 5 - x 2 + 16 x + x + 12

  1. Dengan dalil L’Hospital.

  2. Dengan cara biasa.

Lihat Penyelesaian
6.

Jika lim x 7 x 2 + ax + b x 2 - 49 = 25 7 maka tentuka nilai dari 3 a - 2 b dengan

  1. Dengan dalil L’Hospital.

  2. Dengan cara biasa.

Lihat Penyelesaian
7.

Tentukan hasil dari lim x π 6 cos 9 x tan π - 6 x

  1. Dengan dalil L’Hospital.

  2. Dengan cara biasa.

Lihat Penyelesaian
8.

Tentukan hasil dari limit-limit di bawah ini

  1. lim x 0 3 x - 1 2 x

  2. lim x 1 ln x x - 1

 
  1. lim x 0 sin x + cos x - 1 sin x - cos x + 1

  2. lim x 5 4 x + 5 - x + 4 - x - 1 5 x - 9 - x + 4 - x - 4

Lihat Penyelesaian

9.

lim x 2 2 x 2 + ax + b x - 1 - 1 = 10 maka nilai dari 3 a + b =

Lihat Penyelesaian
10.

Tentukan hasil dari lim x π 4 cos 2 x sin 2 x - 4 cos 2 x + 1 !

Lihat Penyelesaian