1. PENYELESAIAN SOAL CERITA

Langkah-langkah menyelesaikan soal cerita yang berhubungan dengan nilai maksimum atau minimum adalah sebagai berikut :

  • Nyatakan permasalahan soal cerita yang ditanya maksimum atau minimumnya dalam bentuk fungsi satu variable.

  • Cari pembuat nilai ekstrimnya dengan turunan pertama fungsinya sama dengan nol.

  • Cari nilai maksimum dan minimum yang diminta.

Sebagai ilustrasinya :

Sebuah kawat yang panjangnya 60 cm dibuat kerangka bangun datar yang terdiri dari empat buah persegi panjang yang identik seperti gambar di bawah ini, tentukan ukuran panjang dan lebarnya agar luasnya maksimum, serta tentukan luas maksimumnya !

Aplikasi Turunan

Pembahasan :

langkah pertama kita nyatakan luasnya dalam fungsi satu variable

misal panjangnya x dan lebarnya y

Panjang kawat 6 x + 7 y = 60

y = 60 - 6 x 7

Luasnya L = 4 xy

= 4 x 60 - 6 x 7

= 240 7 x - 24 7 x 2

Aplikasi Turunan

Sudah berbentuk fungsi luas L dalam variabel x

Langkah kedua kita kita cari nilai x dengan cara L ' = 0

L ' = 0 240 7 - 48 7 x = 0  

48 7 x = 240 7   atau x = 5

Dengan mensubstitusikan ke 6 x + 7 y = 60 diperoleh y = 30 7

Jadi agar luasnya maksimum , maka panjangnya x = 5 cm dan lebarnya y = 30 7 cm

Luas maksimumnya L = 5 xy

= 5 5 30 7

= 750 7 cm 2


Sebagai contoh :

1.

Dua buah bilangan jumlahnya 40 , tentukan nilai minimum dari kuadrat bilangan pertama ditambah enam kali bilangan kedua.

Lihat Penyelesaian
2.

Sebuah persegi panjang mempunyai panjang ( 20 - a ) dan lebarnya 2 a , maka tentukan luas maksimum persegi panjang tersebut.

Lihat Penyelesaian
3.

Sebuah kotak tanpa tutu p mempunyai luas permukaan luarnya 108 cm 2 , jika alasnya persegi maka tentukan volume maksimumnya.

Lihat Penyelesaian
4.

Tentukan luas maksimum persegipanjang yang dapat dibuat pada daerah yang dibatasi oleh kurva y = 12 - x 2 , dan sumbu X.

Lihat Penyelesaian
5.

Tentukan jarak terdekat titik ( 0 , 10 ) ke kurva y = x 2 + 1

Lihat Penyelesaian
6.

Sebuah Industri rumah tangga memproduksi x buah donat dengan biaya total Rp (2x2-200x+1000 ) rupiah, Jika tiap donat dijual dengan harga Rp (1000-10x) maka tentukan keuntungan maksimum yang akan didapat.

Lihat Penyelesaian
7.
PENYELESAIAN SOAL CERITA APLIKASI TURUNAN

Aplikasi Deferensial

Sebuah kawat yang panjangnya 100 cm dibuat kerangka seperti pada gambar di samping, yaitu gabungan persegipanjang dan seperempat lingkaran (yang berwarna merah). Tentukan luas daerah maksimum dari kerangka yang terbentuk.


Lihat Penyelesaian
8.

Sebuah kertas karton berbentuk persegi panjang berukuran panjang 32 cm dan lebarnya 20 cm, dipotong ujung-ujungnya berbentuk persegi, dan kemudian dilipat membentuk balok tanpa tutup. Tentukan volume maksimum balok yang terbentuk.

Lihat Penyelesaian
9.
PENYELESAIAN SOAL CERITA APLIKASI TURUNAN

Aplikasi Deferensial

Gambar disamping ini adalah persegipanjang dengan panjang PS = 10 dan lebarnya PQ = 6 . Di dalam persegipanjang dibuat segi empat ABCD dengan DQ = BS = x dan = AR = 2 x . Tentukan luas minimum segiempat ABCD.

Lihat Penyelesaian

10.
  1. Tentukan volume tabung maksimum yang dapat dibuat didalam bola berjari- jari R.

  2. Kemudian tentukan perbandingan volume tabung dan volume bola tersebut.

Lihat Penyelesaian
11.

Jumlah dua bilangan positif adalah 40 , tentukan nilai

  1. Minimum dari jumlah kuadrat kedua bilangan

  2. Minimum dari lima kali bilangan pertama ditambah kuadrat bilangan kedua

  3. Maksimum dari hasil kali bilangan pertama dan kuadrat bilangan kedua

  4. Maksimum dari hasil kali bilangan pertama dan pangkat tiga bilangan kedua

Lihat Penyelesaian
12.

Sepotong kawat yang panjangnya 52 centimeter dibuat trapezium sama kaki seperti pada gambar di bawah ini,

  1. Tunjukkan bahwa luasnya L = 104 x - 20 x 2

  2. Tentukan nilai x dan y agar luasnya maksimum

  3. Tentukan luas maksimumnya

Aplikasi Turunan

Lihat Penyelesaian

13.

Sebuah danau berbentuk lingkaran dengan radius 1 km, seekor katak ingin berpindah tempat dari titik A ke titik B , dengan cara berenang lurus ke titik C kemudian meloncat menyusuri pinggir danau dari C ke B . Jika kecepatan berenang 3 m / s dan kecepatan berjalan 4 m / s , dan total waktu yang dibutuhkan adalah T detik , maka

  1. Tunjukkan bahwa T = 2000 cos α 3 + 500 α

  2. Tentukan θ supaya T minimum

  3. Tentukan nilai T minimum

Aplikasi Turunan

Lihat Penyelesaian

14.

Pada gambar di bawah ini adalah persegipanjang dengan panjang 2 x dan lebarnya x , dan ∡DAM = ∡ADM = ∡BCN = ∡CBN = θ . Jika = AM + DM + MN + BN + CN , maka

  1. Tunjukkan S = 2 x cos θ + 2 x - x tan θ

  2. Tentukan nilai θ sehingga S minimum

  3. Tentukan nilai S minimumnya

Aplikasi Turunan

Lihat Penyelesaian

15.

Sepotong kawat dibuat sebuah kerangka bangun datar gabungan persegi panjang dan segitiga siku-siku dengan luas 300 cm 2 seperti pada gambar di bawah ini.

  1. Tentukan nilai x dan y sehingga panjang kawat yang dibutuhkan minimum

  2. Tentukan panjang kawat minimumnya

Aplikasi Turunan

Lihat Penyelesaian

16.

Sebuah perusahaan akan membuat lembaran kertas dengan luas 864 cm 2 seperti gambar di bawah ini, dari lembaran kertas tersebut akan dibuat bidang gambar dengan menyisakan batas atas-bawah 3 cm dan batas kanan-kiri 2 cm .

  1. Tentukan nilai x dan y agar luas bidang gambar maksimum

  2. Tentukan luas bidang gambar maksimumnya

Aplikasi Turunan

Lihat Penyelesaian

17.

Pada gambar di bawah ini, titik A ( a , 0 ) , B ( 0 , b ) , dan titik P ( 2 , 16 ) terletak pada sebuah garis, jika θ = ∡OAB , maka tentukan

  1. Nilai θ sehingga AB minimum

  2. Tentukan jarak AB minimum

Aplikasi Turunan

Lihat Penyelesaian

18.

Pada gambar di bawah ini titik M dan N berturut-turut terletak pada garis y = x dan kurva y = 6 x - x 2 sehingga garis MN sejajar sumbu Y untuk 0 x 5 .Tentukan jarak antara titik M dan N maksimumnya !

Aplikasi Turunan

Lihat Penyelesaian

19.

Sebuah kotak dibuat dari selembar kertas berukuran 80 × 50 seperti pada gambar dibawah ini dengan membuang daerah kertas berwarna biru.

  1. Tentukan nilai x sehingga volume kotaknya maksimum

  2. Tentukan volume maksimumnya

Aplikasi Turunan

Lihat Penyelesaian

20.

Sebuah kemasan susu berbentuk silinder dengan volume 5 liter terbuat dari seng tipis.

  1. Tentukan jari-jari alas silinder agar bahan yang diperlukan sedikit mungkin

  2. Luas minimum bahan yang diperlukan

Lihat Penyelesaian