1. TITIK STASIONER DAN TITIK BELOK

Pada titik stasioner , garis singgungnya horizontal sehingga gradiennya m = 0

Karena m = 0 f ' x = 0   syarat mencari titik stasioner

Titik stasioner yang didapat dari f'x=0 terdiri dari :

  • Titik balik maksimum

  • Titik balik minimum

  • Titik belok horizontal

Sedangkan titik belok terdiri dari dua jenis yaitu

  • Titik belok horizontal (merupakan titik stasioner) didapat dari f'x=0

  • Titik belok vertical (bukan titik stasioner) didapat dari f'x0 dan f''x=0

Titik stasioner dan titik belok

Memahami titik stasioner dengan uji turunan pertama :

Untuk mencari titik stasioner syaratnya f ' x = 0

  • Jika perubahan grafiknya dari naik kemudian turun maka titik stasionernya ( titik ekstrimnya ) merupakan titik balik maksimum ( maksimum lokal )

  • tetapi jika dari turun kemudian naik maka titik stasionernya ( titik ekstrimnya ) merupakan titik balik minimum. (minimum lokal )

  • Sedangkan titik belok horisontal, grafik fungsinya setelah naik kemudian naik lagi, atau setelah turun kemudian turun lagi.

Menentukan jenis titik stasioner dengan uji turunan kedua

  • ( a , f a ) adalah titik stasioner dan f''a<0 maka (a, fa) titik balik maksimum

  • ( a , f a ) adalah titik stasioner dan f''a>0 maka (a, fa) titik balik minimum

  • ( a , f a ) adalah titik stasioner dan f''a=0 maka (a, fa) titik belok

Untuk mencari titik belok vertikal, syaratnya f'a0 dan f''a=0

f '' a = 0 (a, fa) merupakan titik belok vertical dengan syarat f''(a+) dan f''(a-) berbeda tanda

Perhatikan contoh di bawah ini :

Tentukan titik stasioner dan jenisnya dari kurva y = x 5 - 15 x 3 dengan uji turunan pertama dan dengan uji turunan kedua

Jawab :

y = x 5 - 15 x 3

y ' = 0 5 x 4 - 45 x 2 = 0

5 x 2 x 2 - 9 = 0

5 x 2 x - 3 x + 3 = 0

x = 0 atau x = 3 atau x = - 3

Substitusikan nilai x yang didapat ke y = x 5 - 15 x 3

x = 0 y = 0 5 - 15 0 3

= 0   didapat titik stasioner 0 , 0

x = 3 y = 3 5 - 15 3 3

= - 162   didapat titik stasioner 3 , - 162

x = - 3 y = - 3 5 - 15 - 3 3

= 162   didapat titik stasioner - 3 , 162

Menentukan jenis titik stasioner dengan uji turunan pertama

y ' = 5 x 2 x - 3 x + 3

Titik stasioner dan titik belok

- 3 , 162 titik balik maksimum ,

3 , - 162 titik balik maksimum , dan

0 , 0 titik belok horizontal.

Menentukan jenis titik stasioner dengan uji turunan kedua

y = x 5 - 15 x 3 y ' = 5 x 4 - 45 x 2 y '' = 20 x 3 - 90 x

Kita cek absis titik stasioner ke y '' = f'' x = 20 x 3 - 90 x

  • Titik - 3 , 162

    f'' - 3 = 20 - 3 3 - 90 - 3

    = - 2700

    Karena f '' - 3 < 0 maka - 3 , 162 merupakan titik balik maksimum

  • Titik 0 , 0

    f'' 0 = 20 0 3 - 90 0

    = 0

    Karena f '' 0 = 0 maka 0 , 0 merupakan titik belok horisontal

  • Titik 3 , - 162

    f'' 3 = 20 3 3 - 90 3

    = 2700

    Karena f '' 3 > 0 maka 3 , - 162 merupakan titik balik minimum


Sebagai contoh :

1.

Pada gambar di bawah ini, tentukan titik-titik stasioner dan jenisnya dan kemudian tentukan apakah bernilai positif , negative, atau bernilai 0 untuk bentuk-bentuk dibawah ini ?

  1. f' 0

  2. f ' ( 3 )

  3. f '' ( 8 )

  4. f ' ( - 7 )

  5. f ' ( 8 )

  6. f '' ( 3 )

 

Titik stasioner dan titik belok

Lihat Penyelesaian

2.

Pada gambar grafik fungsi kuadrat di bawah ini, tentukan koordinat titik puncak P beserta jenisnya dengan cara

  1. Analisa gambar

  2. Dengan rumus fungsi kuadrat

  3. Dengan turunan

 

Titik stasioner dan titik belok

Lihat Penyelesaian

3.

Tentukan nilai stasioner dan jenisnya untuk fungsi-fungsi di bawah ini

  1. f x = 6 - 2 x - x 2

  2. f x = x 3 - 3 x 2 - 9 x + 27

  3. f x = ( 2 x - 1 ) 4 x - 5 5

Lihat Penyelesaian
4.

Tentukan nilai-nilai ekstrim (stasioner) dan jenisnya untuk fungsi-fungsi

  1. y = x 1 - 2 x

  2. y = x x 2 + 1

  3. y = x + x + 4

Lihat Penyelesaian
5.

Tentukan titik ekstrim (titik balik atau titik belok) dan jenisnya dengan uji turunan kedua dari fungsi-fungsi dibawah ini !

  1. f x = x 2 + 2 x + 10

  2. f x = - x 2 + 6 x - 2

   
  1. f x = x 3 + 2

  2. f x = ln x

Lihat Penyelesaian

6.

Tentukan titik ekstrim dan jenisnya dengan uji turunan pertama dari fungsi di bawah ini !

  1. f x = x 4 2 x - 7 3

   
  1. f x = 2 x + 4 x 2 + x + 2

Lihat Penyelesaian

7.

Salah satu titik stasioner dari f x = 2 x 3 + a x 2 + 6 x + b adalah ( - 3 , 5 ) , maka tentukan titik stasioner yang lain !

Lihat Penyelesaian
8.

Tentukan nilai stasioner (nilai ekstrim) dan jenisnya dari fungsi-fungsi

  1. y = x 2 + 16 x 2

  
  1. y = 4 x 2 + 27 x

  
  1. y = x - 1 x

Lihat Penyelesaian

9.

Tentukan persamaan fungsi f x = x 3 + b x 2 + cx + d , jika kurvanya mempunyai koordinat titik balik maksimumnya - 1 , 10 , dan koordinat titik balik minimumnya 2 , k , maka tentukan nilai k !

Lihat Penyelesaian
10.

Jika nilai maksimum dari f ( x ) = 1 4 x + p - x untuk p > 0 adalah 3 , maka tentukan nilai dari f - 1 + f ' - 1 !

Lihat Penyelesaian
11.

Tentukan semua titik belok dari kurva y=x4-12x3 !

Lihat Penyelesaian
12.

Kurva y=ax3+bx2+cx+d mempunyai koordinat titik balik minimumnya adalah 3, -5 dan titik beloknya 1, 5 , maka tentukan persamaan kurvanya !

Lihat Penyelesaian