1. LAJU PERUBAHAN

Laju perubahan ditulis dengan menggunakan lambang d , misalnya laju perubahan volume V adalah dV , laju perubahan jari-jari r adalah dr , laju perubahan waktu t adalah dt , dan seterusnya.

Sehingga

  • laju perubahan volume V terhadap waktu t ditulis dengan lambang dV dt

  • laju perubahan Jari-jari r terhadap waktu t ditulis dengan lambang dr dt

  • laju perubahan tinggi h terhadap waktu t ditulis dengan lambang dh dt

    dan seterusnya.


Perhatikan contoh di bawah ini :

Sebuah balok mempunyai ukuran panjang 2 x + 20 cm , lebarnya x + 10 cm , dan tingginya x cm . Jika nilai x saat t detik adalah x = 1 + 1 2 t maka tentukan laju perubahan volume balok saat t = 10 detik !

Jawab :

Volume balok V = p × l × t

= 2 x + 20 x + 10 x cm 3

= 2 x 3 + 40 x 2 + 200 x cm 3

Substitusikan x = 1 + 1 2 t

V = 2 1 + 1 2 t 3 + 40 1 + 1 2 t 2 + 200 1 + 1 2 t cm 3

Laju perubahan volume terhadap waktu adalah :

dV dt = d 2 1 + 1 2 t 3 + 40 1 + 1 2 t 2 + 200 1 + 1 2 t dt

= 6 1 + 1 2 t 2 1 2 + 80 1 + 1 2 t 1 2 + 100

= 3 1 + 1 2 t 2 + 40 1 + 1 2 t + 100 cm 3 / detik

Laju perubahan volume saat t = 10 detik:

dV dt = 3 1 + 5 2 + 40 1 + 5 + 100

= 108 + 240 + 100

= 448 cm 3 / detik


Sebagai contoh :

1.

Jari-jari r cm dari sebuah lingkaran pada saat t detik adalah r = 12 t - 2 t 3 . Tentukan perubahan jari-jari (membesar atau mengecil) pada saat

  1. t = 1 2 detik

  
  1. t = 2 detik

Lihat Penyelesaian

2.

Panjang l mm dari sebuah pegas elastic pada t detik diberikan dalam persamaan l = 3 t 3 - 12 t + 40 . Tentukan

  1. panjang mula-mula

  2. perubahan panjang saat t = 1 detik

  3. saat berapa detik laju pertambahan panjangnya 4 mm / s

  4. saat berapa detik laju pengurangan panjangnya 8 mm / s

Lihat Penyelesaian
3.

Jari-jari dari sebuah balon r cm pada saat t detik diberikan dalam fungsi r = 5 + 2 1 + 2 t , tentukan

  1. Jari-jari balon mula-mula

  2. Laju perubahan jari-jari saat t = 4 detik

Lihat Penyelesaian
4.

Diketahui volume air di bak V cm 3 yang tersisa saat kran pengurasan di buka pada saat t detik adalah V = 20 - t 3 untuk 0 t 20 . Tentukan

  1. Laju berkurangnya volume air di bak saat t = 5 detik

  2. Laju perubahan keluarnya air dari bak saat t = 5 detik

Lihat Penyelesaian
5.

Sebuah persegi panjang mempunyai panjang x + 5 cm dan lebarnya 2 x - 4 cm, dan panjang x saat t detik adalah x = 3 + 2 t . Tentukan laju perubahan luas dari persegi panjang saat t = 5 detik ?

Lihat Penyelesaian
6.

Variabel x dan y berelasi dengan persamaan x = 2 y - 1 3 - y , Jika nilai x setelah t detik adalah x = 2 t - 1 t - 2 , maka

  1. Nyatakan y sebagai fungsi dari waktu t

  2. Laju perubahan y saat t = 2 detik

Lihat Penyelesaian
7.

Volume sebuah kerucut dengan tinggi h adalah π h 3 12 . Jika h bertambah 0,2 cm / s dan mula-mula tingginya 2 cm , n yatakan v olume kerucut sebagai fungsi dari t , dan tentukan laju perubahan volume kerucut saat waktunya t ?

Lihat Penyelesaian
8.

Luas daerah sebuah lingkaran bertambah 2 cm 2 / detik , jika luasnya mula-mula L = 1 cm 2 , maka tunjukkan jari-jarinya pada saat waktunya t detik adalah r = 2 t + 1 π , kemudian tentukan laju perubahan jari-jari saat t = 12 detik !

Lihat Penyelesaian
9.

Sebuah partikel bergerak meninggalkan titik asal, dan setelah t detik jarak dari titik asal adalah S = t 3 + t 2 + t cm , tentukan

  1. Laju perubahan jarak dari titik asal saat t = 5 detik

  2. Laju perubahan kecepatan meninggalkan titik asal saat t = 5 detik

  3. Laju perubahan percepatan meninggalkan titik asal saat t = 5 detik

Lihat Penyelesaian
10.

Sebuah batu dijatuhkan dari ketinggian 100 meter, Jika H adalah ketinggian setelah t detik diukur dari permukaan tanah dan percepatan gravitasi g = 10 m / s 2 , maka

  1. Tentukan fungsi dari H sebagai fungsi dari waktu t

  2. Laju berkurangnya ketinggian saat t = 3 s

  3. Laju berkurangnya ketinggian saat H = 20 m

Lihat Penyelesaian

Penggunaan aturan rantai pada laju perubahan :

Misalkan

  1. dV dt = dV dr × dr dt

  2. dr dt = dr dA × dA dt

Perhatikan contoh di bawah ini :

Sebuah es berbentuk bola dengan laju berkurangnya luas permukaan bola es adalah 100 cm 2 / detik , tentukan laju berkurangnya volume bola es tersebut saat jari-jarinya tinggal 2 meter !

Jawab :

Volume bola es V = 4 3 π r 3 dV dr = 4 π r 2

Luas permukaan bola es L = 4 π r 2 dL dr = 8 πr

Laju berkurangnya volume bola es adalah :

Pada penjabaran rantainya harus ditutup dengan dL dt karena diketahui bahwa nilai dari dL dt = 100 cm 2 / detik

dV dt = dV dr × dr dL × dL dt

= 4 π r 2 1 8 πr 100

= 50 r cm 3 / detik

Laju berkurangnya volume bola es saat r = 2 m = 200 cm adalah :

dV dt = 50 200 cm 3 / detik

= 10000 cm 3 / detik

= 10 liter / detik


11.

Seorang pengamat melihat seseorang melepas balon udara dari jarak 200 meter. Balon tersebut naik secara vertical ke udara dengan kecepatan 2 m / s . Jika pengamat dan seseorang yang melepas balon dianggap tepat berada di atas tanah, maka tentukan kecepatan bertambahnya jarak antara pengamat dan balon saat

  1. Ketinggian balon mencapai 100 m

  2. Setelah 5 4 menit

Lihat Penyelesaian
12.

Sebuah bola es mencair dengan kecepatan berkurangnya jari-jari 0,1 cm / detik , maka tentukan

  1. Laju berkurangnya volume pada saat jari-jari es tertinggal 1 meter !

  2. Laju berkurangnya luas permukaan pada saat jari-jari es tertinggal 1 meter !

Lihat Penyelesaian
13.

Aplikasi Turunan Laju Perubahan

Sebuah gelas berbentuk kerucut terbalik dengan tinggi dan jari-jari kerucut berturut-turut 15 cm dan 4 cm. Jika gelas bocor tepat di bawahnya dengan debit keluarnya air 1cm3/detik, maka tentukan kecepatan menurunnya air saat ketinggian air di gelas tinggal 10 cm !

Lihat Penyelesaian

14.

Pada persamaan di bawah ini, jika diketahui laju perubahan x adalah 3 unit perdetik, maka tentukan laju perubahan y jika diberikan

  1. y = x 3 - 2 x - 5 4 saat x = 3

  
  1. y = 2 x - 3 , saat x = 6

Lihat Penyelesaian

15.

Pada persamaan di bawah ini, jika diketahui laju perubahan y adalah 2 unit perdetik, maka tentukan laju perubahan x jika diberikan

  1. y = 2 x + 3 x - 2 , saat x = 3

  
  1. y = x 5 x + 2 3 , saat x = 1

Lihat Penyelesaian

16.

Laju perubahan luas sebuah persegi adalah 8 cm 2 / detik , tentukan laju perubahan panjang sisi saat luasnya 20 cm 2 ?

Lihat Penyelesaian
17.

Jika laju bertambahnya luas permukaan 10 cm 2 / detik , tentukan laju bertambahnya volume bola saat

  1. Jari-jarinya 2 cm

  
  1. Volumenya 36 π cm 3

Lihat Penyelesaian

18.

Jika tinggi sebuah kerucut adalah tiga kali jari-jarinya. Jika jari-jarinya bertambah 2 cm / s tentukan laju perubahan volumenya, saat jari-jari alas kerucut 4 cm !

Lihat Penyelesaian
19.

Sebuah tabung, tingginya dua kali jari-jari alasnya, jika luas permukaan tabung bertambah 10 cm 2 / s , maka tentukan laju perubahan volumenya saat

  1. jari-jarinya 5 cm

  2. saat luas permukaannya 216 π cm 2

  3. saat volumenya 2 π liter

Lihat Penyelesaian
20.

Pada gambar di bawah ini, titik A ( 2 , 0 ) , titik B berada pada garis y = x dan bergerak dengan kecepatan 1 unit perdetik menjauhi titik asal, tentukan laju perubahan luas segitiga AOB , saat jarak OB adalah 10 unit.

Laju Perubahan

Lihat Penyelesaian

21.

Pada gambar di bawah ini, titik A ( - 2,0 ) , Q q , 0 , dan titik P terletak pada kurva y = x 2 sehingga garis PQ sejajar sumbu Y . Jika q bertambah 3 unit/detik, maka tentukan laju pertambahan luas segitiga saat titik Q 10 , 0 !

Laju Perubahan

Lihat Penyelesaian

22.

Luas sebuah persegi panjang adalah konstan 100 cm 2 , jika panjangnya p bertambah dengan laju 0,2 cm / detik maka tentukan laju berkurangnya lebar persegipanjang tersebut saat p = 20 cm .

Lihat Penyelesaian
23.

Pada gambar di bawah ini adalah jajaran genjang OPQR dengan jika x bertambah 1,5 unit/detik dan y = 2 x , maka tentukan

  1. laju pertambahan luas jajaran genjang OPQR saat x = 4

  2. Laju pertambahan panjang diagonal OQ saat x = 4

Laju Perubahan

Lihat Penyelesaian

24.

Pada gambar di bawah ini seseorang yang berdiri di samping lampu taman, berjalan menjauhi lampu dengan kecepatan 2 m / s .

  1. Tentukan laju pertambahan panjang bayangan

  2. Tentukan laju pertambahan panjang bayangan saat panjang bayangannya 6 meter.

Laju Perubahan

Lihat Penyelesaian

25.

Pada gambar di bawah ini, Titik P dan Q berada pada lingkaran dengan pusat O dan berjari-jari 8 cm . Jika ∡POQ = θ dan titik Q bergerak berlawanan arah dengan jarum jam sehingga θ bertambah π 2 radian perdetik, maka tentukan

  1. Laju perubahan panjang busur PQ

  2. Laju perubahan luas sektor POQ

Laju Perubahan

Lihat Penyelesaian