A. RUMUS DASAR TURUNAN FUNGSI ALJABAR

Pada ringkasan materi limit dan kontinuitas bagian G, bisa pembaca lihat pengantar dari turunan sebuah fungsi.

Turunan dari fungsi f ( x ) adalah f ' x , sedangkan turunan kedua, ketiga, keempat dan seterusnya adalah f '' ( x ) f ''' ( x ) f '''' ( x ) dan seterusnya.

Di bawah ini di berikan rumus dasar turunan dari sebuah fungsi.

f ( x )

f ' ( x )

Untuk a konstanta sembarang

1

x

x n

0

1

n x n - 1

Sifat kelinieran turunan

u dan v adalah fungsi dari x , dan u' dan v' berturut-turut turunan dari u dan v maka

(1) f x = au f ' x = au'

(2) f x = u + v f ' x = u ' + v'

(3) f x = u - v f ' x = u ' - v'



Sebagai contoh :

1.

Tentukan f ' x dan f ' ( 2 ) dari fungsi-fungsi di bawah ini

a. f x = 4 x 11

b. f x = 10 x 3


Lihat Penyelesaian
2.

Tentukan f ' ( x ) dan f ' ( 3 ) dari fungsi-fungsi di bawah ini

a. f x = 2 x

b. f x = 1 4 x 6


Lihat Penyelesaian
3.

Tentukan f ' ( x ) dan f ' ( 64 ) dari fungsi-fungsi di bawah ini

a. f x = 3 x

b. f x = x 3 x 2 x 3


Lihat Penyelesaian
4.

Tentukan f ' ( x ) dan f ' ( 8 ) untuk fungsi-fungsi di bawah ini

a. f x = 5 x 3

b. f x = 4 x x


Lihat Penyelesaian
5.

Tentukan f ' ( x ) dan nilai m sehingga f ' m = 100 dari fungsi-fungsi di bawah ini

a. f x = 3 2 x 2 + 13 x + 11

b. f x = x 3 + 2 x 2 + 5 x + 6


Lihat Penyelesaian
6.

Tentukan f ' ( x ) dari fungsi-fungsi di bawah ini

a. f x = 2 x 3 x - 2

b. f x = x - 2 x - 3

c. f x = x + 2 2 3 x 3

d. f x = 2 x 3 - x 3 x


Lihat Penyelesaian
7.

Tentukan f ' ( x ) , dan f '' ( x ) dari fungsi-fungsi di bawah ini

a. f x = 1 x 2

b. f x = 1 x 3 + 1 x 2 3

c. f x = ( x 2 x - 1 ) 2

d. f x = x 4 + 2 x 3 + 6 x 2 + 10 x + 1


Lihat Penyelesaian
8.

Tentukan f ' ( x ) dan f ' (12) untuk fungsi-fungsi di bawah ini

a. f x = 4 x 3 + 2 x 2 + x - 1

b. f x = x 2 ( 3 x - 2 )

c. f x = ( x - 1 ) 3

d. f x = 3 x 2 + 5 2 x 2


Lihat Penyelesaian
9.

a. Jika f x = x 2 2 x + 10 dan f ' x = x ax + b maka tentukan a + b ?

b. Jika f x = x 2 x x + 3 x dan f' x = x ax x + b x maka tentukan a + b ?


Lihat Penyelesaian

B. TURUNAN DARI KOMPOSISI FUNGSI

Sebagai ilustrasi, untuk mencari turunan dari fungsi f x = 2 x + 1 10 , kita tidak perlu membongkar fungsinya terlebih dahulu.

Pada komposisi dua buah fungsi, f ( x ) dapat dinyatakan dalam h o g ( x ) , dimana g x = 2 x + 1 dan
h x = x 10 .

Turunan dari f x = h ( g x ) adalah f ' x = h ' g x . g ' ( x )

Jika U adalah fungsi dari x atau bisa ditulis U ( x ) dan untuk sembarang konstanta, maka

f x = a U n f ' x = an U n - 1



Sebagai contoh :

1.

Tentukan f ' ( x ) dan f '' ( x ) dari fungsi-fungsi di bawah ini (soal pengantar)

a. f x = ( 2 x - 1 ) 4

b. f x = 2 3 - 5 x 10


Lihat Penyelesaian
2.

Tentukan turunan dari fungsi-fungsi di bawah ini

a. f x = 2 x - 1 10

b. f x = 2 x 2 + 3 6

c. f x = 3 1 2 x - 10 12

d. f x = 5 x - 3 x 3 10


Lihat Penyelesaian
3.

Tentukan f ' ( x ) dan f ' ( 1 ) untuk fungsi-fungsi di bawah ini

a. f x = x 2 + 2 x 8

b. f x = 4 x x - 3 x 2 + 6 x + 1 5


Lihat Penyelesaian
4.

Tentukan f ' ( x ) dan f ' ( 5 ) untuk fungsi-fungsi di bawah ini

a. f x = 2 x + 6

c. f x = 6 x + 2 3 x + 1

b. f x = 5 1 4 x + 1

d. f x = 6 x 2 + 2 x 2 + 2 3


Lihat Penyelesaian
5.

Tentukan f ' ( x ) untuk fungsi-fungsi di bawah ini

a. f x = 4 6 x - 2

b. f x = 12 10 x + 2 5

c. f x = 2 11 - x 3

d. f x = 25 x 2 + 10 x + 1 2 5 x + 1


Lihat Penyelesaian
6.

Tentukan f ' ( x ) f '' ( x ) , dan f ''' ( x ) untuk fungsi-fungsi di bawah ini

a. f x = 10 5 x - 1 12

b. f x = 3 2 - 1 4 x 16

c. f x = 4 3 x + 5

d. f x = 8 2 x - 1


Lihat Penyelesaian
7.

Tentukan f ' ( x ) untuk fungsi-fungsi di bawah ini

a. f x = 2 x + 3 4 x 2 + 12 x + 9

b. f x = 2 x - 1 8 x 3 - 12 x 2 + 6 x - 1

c. f x = x + 1 x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1

d. f x = 1 - x 1 - 5 x + 10 x 2 - 10 x 3 + 5 x 4 - x 5


Lihat Penyelesaian

C. RUMUS TURUNAN UNTUK PERKALIAN DAN PEMBAGIAN DUA FUNGSI

Untuk turunan perkalian dan pembagian dua buah fungsi,

u dan v adalah fungsi dari x ,

a. Jika f x = uv maka f ' x = u ' v + uv'

b. Jika f x = u v maka f ' x = u'v - uv' v 2

uv ' = u ' v + uv'

u v ' = u ' v - uv' v 2

Secara umum untuk perkalian beberapa fungsi adalah

a. f x = uvw maka f ' x = u ' vw + u v ' w + uvw'

b. f x = uvwz maka f ' x = u ' vwz + u v ' wz + uv w ' z + uvwz'

dan seterusnya …



Sebagai contoh :

1.

Buktikan bahwa

a. uv ' = u ' v + uv'

b. u v ' = u ' v - uv' v 2


Lihat Penyelesaian
2.

Tentukan hasil turunan dari f x = x 2 ( 2 x - 1 ) 2 dengan cara menjabarkan terlebih dahulu, dan dengan menggunakan rumus perkalian, kemudian bandingkan hasilnya dengan mencari f ' ( 2 ) ?


Lihat Penyelesaian
3.

Tentukan hasil turunan dari f x = x x - 2 ( 2 x + 1 ) dengan cara menjabarkan terlebih dahulu, dan dengan menggunakan rumus perkalian, kemudian bandingkan hasilnya dengan mencari f ' ( 3 ) ?


Lihat Penyelesaian
4.

Tentukan hasil turunan dari f x = 1 3 x + 5 dengan mengubah bentuk menjadi U n , dan dengan menggunakan rumus pembagian, kemudian bandingkan hasilnya dengan mencari f' ( 1 ) ?


Lihat Penyelesaian
5.

Tentukan f ' ( 2 ) untuk fungsi-fungsi dibawah ini

a. f x = 2 x - 3 x + 1

b. f x = x 2 3 x - 4 5


Lihat Penyelesaian
6.

Tentukan f ' ( x ) untuk fungsi-fungsi di bawah ini

a. f x = x 2 3 x - 1 5

b. f x = ( 2 x - 3 ) 4 5 x + 1 5


Lihat Penyelesaian
7.

Tentukan f ' ( x ) untuk fungsi-fungsi di bawah ini

a. f x = x 2 2 x + 1 3 x - 1 7

b. f x = x 2 - 4 3 ( 2 x - 3 ) 4 5 x + 1 5


Lihat Penyelesaian
8.

Tentukan f' ( x ) untuk fungsi-fungsi di bawah ini

a. f x = 3 x + 10 x - 3

b. f x = x 2 + 3 x + 5 x 2 - x - 10


Lihat Penyelesaian
9.

Tentukan nilai x sehingga f ' x = 0

a. f x = ( 2 x - 3 ) 4 ( x - 2 ) 3

b. f x = x 2 + 2 x + 7 2 x + 3


Lihat Penyelesaian
10.

Jika f x = x 4 ( 2 x - 1 ) 6 , maka tentukan nilai x yang memenuhi persamaan

a. f ' x = 0

b. f '' x = 0


Lihat Penyelesaian
11.

Jika f x = x 2 - 2 2 x - 3 , maka tentukan nilai x yang memenuhi persamaan

a. f ' x = 0

b. f '' x = 0


Lihat Penyelesaian
12.

Diketahui f 1 = 3 f ' 1 = 5 g 1 = 1 , dan g ' 1 = 10 , maka tentukan nilai dari

a. f + g ' ( 1 )

b. ( f - g ) ' ( 1 )

c. f g ' ( 1 )

d. f × g '

e. fog ' ( 1 )


Lihat Penyelesaian
13.

Diketahui f x = 4 x x + 2 x , g 4 = 10 , dan g ' 4 = 8 . Maka nilai dari

a. f g ' ( 4 )

b. f × g ' ( 4 )


Lihat Penyelesaian

D. PENULISAN BEBERAPA TURUNAN

Jika y = f ( x ) maka y ' = f ' ( x ) , y '' = f '' x , dan seterusnya

dy dx artinya deferensial fungsi y terhadap x

Untuk lebih jelasnya perhatikan table di bawah ini jika y = f ( x )

Turunan pertama

f ' ( x )

y'

dy dx

Turunan kedua

f '' ( x )

y''

d 2 y dx 2

Turunan ketiga

f ''' ( x )

y'''

d 3 y dx 4

Turunan keempat

f '''' ( x )

y''''

d 4 y dx 4

Dan seterusnya

...

...

...



Sebagai contoh :

1.

Tentukan y' y'' , dan y''' untuk fungsi-fungsi di bawah ini

a. y = 5 x 6 + x 2 - 1

b. y = 7 x - 3 5


Lihat Penyelesaian
2.

Tentukan dy dx , d 2 y dx 2 , dan d 3 y dx 3 untuk fungsi-fungsi di bawah ini

a . y = x 4 - x 3

b. y = 2 3 x + 2 10


Lihat Penyelesaian
3.

Nyatakan dalam dx untuk bentuk-bentuk di bawah ini

a. d 2 x - 1

b. d x 3 - x 2 + x - 1

c. d 3 x - 1

d. d 1 x 3 - 1 x 2

e. d x - 8 x 4


Lihat Penyelesaian
4.

Diketahui y = 4 x 2 + 12 x + 3 , tentukan

a. dy dx

b. d 2 y dx 2

c. dy d ( 2 x )

d. dy d x 2

e. dy d x

f. dy d ( 2 x + 3 )


Lihat Penyelesaian

E. TURUNAN BENTUK IMPLISIT

Bentuk implisit adalah bentuk fungsi yang tidak dapat dinyatakan dalam y = f ( x )

Sedangkan bentuk yang dapat dinyatakan y = f ( x ) adalah bentuk eksplisit

Contoh pengerjaan :

Cara pertama

Cara kedua : anggap y fungsi dari x

Bentuk fungsi

Hasil turunan

Bentuk fungsi

Hasil turunan

y

y 2

10 y 3

x

5 x 2

2 x 3

dy

2 ydy

30 y 2 dy

dx

10 xdx

6 x 2 dx

y

y 2

10 y 3

x

5 x 2

2 x 3

y'

2 yy'

30 y 2 y'

1

10 x

6 x 2



Sebagai contoh :

1.

Tentukan dy dx untuk beberapa bentuk fungsi dibawah ini (ini bentuk eksplisit)

a. x 2 y = 5

b. xy = y + 2 x + 3


Lihat Penyelesaian
2.

Tentukan dy dx atau y' untuk fungsi 4 x 3 y 2 - 2 x y 3 + 3 x 2 - 2 y = 100


Lihat Penyelesaian
3.

Tentukan dy dx atau y' untuk fungsi 2 x 5 y + x y - 4 x + y = 212


Lihat Penyelesaian

F. ATURAN RANTAI

Yang dimaksud dengan aturan rantai adalah mengubah dy dx ke bentuk lain seperti

dy dx = dy du . du dx atau dy dx = dy du . du d v . dv dx atau dy dx = dy du . du dv . dv dw . dw dx , dan seterusnya.

Tapi sebelum memakai aturan rantai pembaca harus bisa mencari hasil dari

d x 6 dx , d x 6 d x 2 , d x 6 d x 3 , d x 6 d x , dan seterusnya.


Sebagai contoh :

1.

Tentukan hasil dari

a. d x 6 dx

b. d x 6 d x 2

c. d x 6 d x 3

d. d x 6 d x

e. d ( x 2 + 1 ) 3 d x 2 + 1

f. d ( x 2 + 1 ) 3 d ( x 2 + 1 )


Lihat Penyelesaian
2.

Tentukan turunan dari y = 2 x - 1 3 + 11


Lihat Penyelesaian
3.

Tentukan turunan dari y = 3 + 2 x 2 + 1 5


Lihat Penyelesaian

  1. TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI


Sebagai contoh :

1.

Tentukan f ' ( x ) dari fungsi-fungsi di bawah ini

a. f x = sin x + sin 2 x + sin 3 x

b. f x = sin x 2 + sin x 3 + sin x 4

c. f x = sin 2 x + π 2

d. f x = sin 2 5 x

Lihat Penyelesaian
2.

Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi di bawah ini

a. f x = 2 cos 10 x - cos 1 2 x

b. f x = cos πx - 2

c. f x = cos 3 2 x

d. f x = cos 10 x

Lihat Penyelesaian
3.

Tentukan f ' ( x ) , dan f ' (π4) untuk fungsi-fungsi di bawah ini

a. f x = tan x + cos x

b. f x = 4 sin12x cos12x

c. f x = 1 sin x

d. f x = tan x cos x

e. f x = tan x + cos x sin x

f. f x = sec x - 1 ( sec x + 1 )

Lihat Penyelesaian
4.

Tentukan f ' ( 2 ) untuk fungsi-fungsi dibawah ini

a. f x = x sinπ6x

b. f x = x cos πx

Lihat Penyelesaian
5.

Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi di bawah ini

a. f x = x sin x

b. f x = x 2 cos x

c. f x = x 3 tan 2 x

d. f x = cos 2 x sin x

Lihat Penyelesaian
6.

Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi di bawah ini

a. f x = 2 x cos 3 x

b. f x = cos 2 x πx

c. f x = x 3 tan x

d. f x = sin x + cos x sin x - cos x

Lihat Penyelesaian
7.

Tentukan hasil dari

a. d ( 2 x 2 + x - 1 ) dx

b. d 2 x 2 + x - 1 d 2 x 2 + x - 1

c. d sin 2 x 2 + x - 1 d 2 x 2 + x - 1

d. d sin 2 x 2 + x - 1 10 d sin 2 x 2 + x - 1

e. d sin 2 x 2 + x - 1 10 d x

f. f x = sin 10 2 x 2 + x - 1 cari f ' ( x )

Lihat Penyelesaian
8.

Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut

a. f x = sin 3 x 2 + 2 x

b. f x = sin 3 x 4 + 5 6 + 7 8

Lihat Penyelesaian
9.

Tentukan dy dx untuk

a. y sin x + x 3 + cos 2 y = 20

b. x cos 2 y + x 2 y + x sin y = 100

Lihat Penyelesaian
10.

Tentukan y' untuk fungsi x sin y + 2 y cos x = sin 2 x + cos 3 x

Lihat Penyelesaian
11.

Tentukan lim h 0 f x + h - f ( x ) h untuk fungsi-fungsi di bawah ini

  1. f x = sin 2 x - π

  2. f x = cos 3 x

  3. f x = tan 5 2 x

Lihat Penyelesaian
12.

Tentukan lim x π f x - f ( π ) x - π untuk fungsi-fungsi di bawah ini

  1. f x = cos 1 4 x

  2. f x = sin 3 1 3 x - π 2

Lihat Penyelesaian
13.

Tentukan f ' ( x ) untuk fungsi-fungsi di bawah ini

  1. f x = cos 2 x

  2. f x = sin 3 x

  3. f x = tan 4 x

Lihat Penyelesaian
14.

Tentukan turunan pertama dari

  1. y = tan 3 x tan 2 x tan x

  2. y = cos 3 x - sin 6 x - cos 9 x sin 9 x - cos 6 x - sin 3 x 3

Lihat Penyelesaian
15.

Tentukan turunan pertama dari

  1. y = x 2 - 2 sin x + 2 x cos x

  2. y = 6 x - 4 x 3 cos 2 x + 6 x 2 - 3 sin 2 x

Lihat Penyelesaian
16.

Tunjukkan bahwa

  1. Jika y = tan x sin 2 x , maka y ' = 2 sin 2 x

  2. Jika y = tan 3 x - 3 tan x + 3 x , maka y ' = 3 tan 4 x

Lihat Penyelesaian
17.

Tentukan turunan pertama dari

  1. f x = sin x - x cos x

  2. f x = 6 - 3 x 2 3 cos x 3 + 6 x 3 sin x 3

Lihat Penyelesaian
18.

Tunjukkan bahwa

  1. y = sin 2 x cos 2 x + 1 , maka y ' = sec 2 x

  2. y = sin 2 x - cos 2 x sin x cos x , maka y ' = 4 sin 2 2 x

Lihat Penyelesaian
19.

Tunjukkan bahwa

  1. y = 1 - sin 2 x 1 + sin 2 x , maka y ' = - 2 sin 2 x 1 + sin 2 x 2

  2. y = tan 2 2 x - 1 tan 2 x , maka y ' = 8 csc 2 4 x

Lihat Penyelesaian
20.

Tunjukkan bahwa

  1. y = 2 - cos x 2 + cos x 5 , maka y ' = 20 sin x 2 - cos x 4 2 + cos x 6

  2. y = 3 sin x - 4 3 sin x + 4 7 , maka y ' = 168 cos x 3 sin x - 4 6 3 sin x + 4 8

Lihat Penyelesaian
21.

Tunjukkan bahwa

  1. f x = sec x + tan x sec x - tan x , maka f ' x = sec 2 x + sec x tan x

  2. y = sec 2 x - 1 3 , maka y ' = 2 3 tan 2 x - 1 sec 2 x - 1 3

  3. y = 1 + sin 2 x 1 - sin 2 x , maka y ' = 2 1 - sin 2 x

Lihat Penyelesaian
22.

Tunjukkan bahwa

  1. y = sin 1 x 2 - 1 , maka y ' = - x cos 1 x 2 - 1 x 2 - 1 x 2 - 1

  2. y = csc 3 x 2 - 1 x 2 + 1 , maka y ' = - 6 x cos 2 x 2 - 1 x 2 + 1 x 2 + 1 x 4 - 1 sin 4 x 2 - 1 x 2 + 1

Lihat Penyelesaian
23.

Tentukan y' dari fungsi-fungsi di bawah ini

  1. y = sin x + y

  2. y = cos 2 x - y

  3. sin x + cos y = 1

  4. cos 3 y = tan 2 x

Lihat Penyelesaian
24.

Tentukan y'' dari

  1. sin y + cos x = 1

  2. sin 2 y = cos x

  3. y = cos 4 x

  4. y = tan 3 3 x + 2

Lihat Penyelesaian
25.

Tentukan turunan ke n dari f x = cos 2 x - sin x

Lihat Penyelesaian
26.

Tentukan dy dx dari

  1. y = sin 2 t - 2 , dan y = 1 + cos 2 t

  2. y = sin t 1 + 2 cos 2 t , dan y = cos t 1 - 2 cos 2 t

Lihat Penyelesaian
27.

tentukan f ' π 6 dan g ' π 4 untuk fungsi-fungsi di bawah ini

  1. f x = 12 sin x + 12 sin x + 12 sin x +

  2. g x = 2 tan x + 2 tan x + 2 tan x +

Lihat Penyelesaian
28.

Tentukan turunan pertama dari

  1. y = sin sin x

  2. y = cos x + sin x

Lihat Penyelesaian
29.

Diketahui f x = sin x 2 + cos x , g π 3 = 1 2 3 , dan g ' π 3 = 2 maka tentukan

  1. f + g ' π 3

  2. f - g ' π 3

  3. f × g ' π 3

  4. f g ' π 3

Lihat Penyelesaian

30.

Tentukan f ' 0 untuk fungsi-fungsi di bawah ini , 0 x π 2

  1. f sin 2 x = sin x cos 2 x

  2. f cos x = sin 2 x - π 3

Lihat Penyelesaian


H. TURUNAN FUNGSI EKSPONEN, DAN LOGARITMA

RUMUS TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI, EKSPONEN, DAN LOGARITMA

EKSPONEN DAN LOGARITMA

RUMUS SUBTITUSI u ( x )

KETERANGAN

f ( x )

f ' ( x )

f ( x )

f ' ( x )

e x

c x

ln x

log x c

e x

c x ln c

1 x

1 x ln c

e u

c u

ln u

log u c

u' e u

u' c u ln c

u' u

u' u ln c

ln x adalah logaritma dengan basis e , dimana e adalah natural number (bilangan alami).

e = 1 + 1 2 ! + 1 3 ! + 1 4 ! + 1 5 ! +

log x a = log x e log a 3 = ln x ln a


Sebagai contoh :

1.

Tentukan f ' ( x ) dan f ' ( 0 ) untuk fungsi-fungsi di bawah ini

a. f x = e x

b. f x = 2 x

c. f x = 3 3 x


Lihat Penyelesaian
2.

Tentukan f ' ( x ) , dan f ' ( 3 ) untuk fungsi-fungsi di bawah ini

a. f x = ln x 3

b. f x = ln x

c. f x = log x

d. f x = log x 5 3


Lihat Penyelesaian
3.

Tentukan f ' ( x ) dari fungsi-fungsi di bawah ini

a. f x = ln x 2 + 2 x + 5

b. f x = log x 3 - 1

c. f x = e x + 1 5

d. f x = 2 3 x 2 + 5


Lihat Penyelesaian
4.

Tentukan y' untuk fungsi x e y + y e 2 x = e x + e y (turunan fungsi implisit)


Lihat Penyelesaian
5.

Tentukan y' untuk fungsi ln y + y 2 ln x 3 = ln x + ln y (turunan fungsi implisit)


Lihat Penyelesaian
6.

Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut dengan aturan rantai

a. f x = cos 3 1 + ln x 5

b. f x = ln tan 3 e 2 x + 3 10


Lihat Penyelesaian

I. TURUNAN BENTUK   h ( x ) g ( x )


Sebagai contoh :

1.

Tentukan turunan dari f x = x x


Lihat Penyelesaian
2.

Tentukan turunan dari f x = sin x cos x


Lihat Penyelesaian
3.

Tentukan turunan dari f x = x x ln x


Lihat Penyelesaian

J. TURUNAN BENTUK PERKALIAN BANYAK SUKU

Misalkan u , v , w , adalah fungsi dari x , maka untuk mencari hasil dari turunan fungsi f x = uvw akan lebih mudah dengan bantuan penambahan ln .

f x = uvw

ln f ( x ) = ln uvw

ln f ( x ) = ln u + ln v + ln w +

f ' ( x ) f ( x ) = u' u + v' v + w' w + f ' x = u ' u + v ' v + w ' w + f ( x )


Sebagai contoh :

1.

Tentukan turunan dari f x = ( 2 x - 1 ) 4 3 x + 1 5 4 x - 1 5 5 x + 1 6


Lihat Penyelesaian
2.

Tentukan turunan dari f x = x 3   sin 3 x   cos 5 x   tan 6 x


Lihat Penyelesaian
3.

Tentukan turunan dari f x = x + 5 3 2 x + 4 6 3 x + 2 3 4 x + 1 3


Lihat Penyelesaian

  1. TURUNAN INVERS TRIGONOMETRI

Persamaan sin x = 1 2 maka 1 2 = arcsin x .

arc sin x artinya : sin berapa yang nilainya x .


arc adalah invers dari fungsi trigonometri

f x = cos x maka invers dari fungsi f x adalah f - 1 x = arc cos x

Jadi jika y = arc sin x maka sin y = x    

y = arc cos x maka cos y = x    

y = arc tan x maka tan y = x  

 

y = arc cot x maka cot y = x

y = arc sec x maka sec y = x

y = arc csc x maka csc y = x

Perhatikan contoh di bawah ini :

  • Mencari turunan pertama dari y = arc cos x

    Misal y = arc cos x maka

    cos y = x

    - sin y dy = dx

    dy dx = - 1 sin y

    = - 1 1 - x 2

     

    atau : cosy=x

    - sin y y' = 1

    y' = - 1 sin y

    = - 1 1 - x 2

Untuk mencari nilai dari sin y kita gunakan segitiga siku-siku bantuan .

TURUNAN INVERS TRIGONOMETRI

cos y = x

sin y = 1 - x 2 1

= 1 - x 2

  • Bagaimana dengan turunan dari

    y = arc sin 1 - x 2 , y = arc tan 1 - x 2 x , y = arc sec 1 x

    y = arc csc 1 1 - x 2 , y = arc cot x 1 - x 2

    Jawabannya adalah semua sama dengan hasil dari turunan y = arc cos x

    Karena dengan melihat segitiga siku-siku bantuan di bawah ini kita dapatkan :

    TURUNAN INVERS TRIGONOMETRI

    Sehingga sin y = 1 - x 2 atau y = arc sin 1 - x 2

    tan y = 1 - x 2 x atau y = arc tan 1 - x 2 x

    sec y = 1 x atau y = arc sec 1 x

    csc y = 1 1 - x 2 atau y = arc csc 1 1 - x 2

    cot x = x 1 - x 2 atau y = arc cot x 1 - x 2  


Sebagai contoh :

1.

Tentukan turunan pertama dari f x = arc   sin x !


Lihat Penyelesaian
2.

Tentukan turunan pertama dari f x = arc   cos 2 x !


Lihat Penyelesaian
3.

Tentukan turunan pertama dari f x = arc   tan 3 x !


Lihat Penyelesaian
4.

Tentukan turunan pertama dari f x = arc   sec x !


Lihat Penyelesaian
5.

Tentukan turunan pertama dari f x = arc   csc 2 x !


Lihat Penyelesaian
6.

Tentukan turunan pertama dari f x = arc   cot 3 x !


Lihat Penyelesaian
7.

Tentukan turunan pertama dari

  1. y = arc cos 3 x - 1

  2. y = arc sec 2 x - 3


Lihat Penyelesaian
8.

Tentukan turunan pertama dari

  1. y = arc sin x 2

  2. y = arc tan x 2


Lihat Penyelesaian
9.

Tentukan turunan pertama dari

  1. y = arc tan 1 - x 1 + x

  2. y = arc tan x 1 - x 2


Lihat Penyelesaian
10.

Tentukan turunan pertama dari y = x arc sin x + 1 - x 2 !


Lihat Penyelesaian
11.

Tentukan f ' x dan f ' 4 untuk fungsi f x = x 25 - x 2 + 25 arc sin x 5 !


Lihat Penyelesaian
12.

Tunjukkan bahwa

  1. y = 1 ab arc tan a b tan x , maka y ' = 1 a sin 2 x + b cos 2 x

  2. y = x a 2 - x 2 - arc cos a 2 - x 2 a maka y ' = x 2 a 2 - x 2 a 2 - x 2


Lihat Penyelesaian
13.

Tunjukkan bahwa

  1. Jika y = x - m 2 mx - x 2 + m 2 arc sin x - m m maka y ' = 2 2 mx - x 2

  2. Jika y = arc cot 1 - ax a + x maka y ' = 1 x 2 + 1


Lihat Penyelesaian
14.

Tunjukkan bahwa

  1. Jika y = arc cos cos x maka y ' = sin x 2 cos x - cos 2 x

  2. Jika y = arc sin sin x maka y ' = cos x 2 sin x - sin 2 x


Lihat Penyelesaian
15.

Tunjukkan bahwa

  1. Jika y = arc sin 1 - cos 4 x 2 maka y ' = 2

  2. Jika y = arc cos 1 + cos 4 x 2 maka y ' = 2


Lihat Penyelesaian
16.

Tunjukkan bahwa

  1. y = arc cos 1 1 + x 2 maka y ' = 1 1 + x 2

  2. y = arc csc x 2 x 2 - 1 maka y ' = 2 x 2 x 2 - 1


Lihat Penyelesaian
17.

Tunjukkan bahwa

  1. y = x arc cos x maka y ' = arc cos x - x 1 - x 2

  2. y = x arc sin x 1 - x 2 maka y ' = x 1 - x 2 + arc sin x 1 - x 2 1 - x 2


Lihat Penyelesaian
18.

Tunjukkan bahwa

  1. y = arc tan sin x 1 + cos x maka y ' = 1 2

  2. y = arc cos 1 - 2 sin 2 x maka y ' = 2


Lihat Penyelesaian
19.

Tunjukkan bahwa

  1. y = arc cos 1 - x 2 1 + x 2 maka y ' = 2 1 + x 2

  2. y = arc tan 2 x 1 - x 2 maka y ' = 2 1 + x 2


Lihat Penyelesaian
20.

Tunjukkan bahwa

  1. y = arc tan 1 - x 2 - 1 x maka y ' = 1 - 2 1 - x 2

  2. y = arc cot x maka y ' = - 1 4 x 1 + x y


Lihat Penyelesaian