1. TURUNAN INVERS TRIGONOMETRI

Persamaan sin x = 1 2 maka 1 2 = arcsin x .

arc sin x artinya : sin berapa yang nilainya x .


arc adalah invers dari fungsi trigonometri

f x = cos x maka invers dari fungsi f x adalah f - 1 x = arc cos x

Jadi jika y = arc sin x maka sin y = x    

y = arc cos x maka cos y = x    

y = arc tan x maka tan y = x  

 

y = arc cot x maka cot y = x

y = arc sec x maka sec y = x

y = arc csc x maka csc y = x

Perhatikan contoh di bawah ini :

  • Mencari turunan pertama dari y = arc cos x

    Misal y = arc cos x maka

    cos y = x

    - sin y dy = dx

    dy dx = - 1 sin y

    = - 1 1 - x 2

     

    atau : cosy=x

    - sin y y' = 1

    y' = - 1 sin y

    = - 1 1 - x 2

Untuk mencari nilai dari sin y kita gunakan segitiga siku-siku bantuan .

TURUNAN INVERS TRIGONOMETRI

cos y = x

sin y = 1 - x 2 1

= 1 - x 2

  • Bagaimana dengan turunan dari

    y = arc sin 1 - x 2 , y = arc tan 1 - x 2 x , y = arc sec 1 x

    y = arc csc 1 1 - x 2 , y = arc cot x 1 - x 2

    Jawabannya adalah semua sama dengan hasil dari turunan y = arc cos x

    Karena dengan melihat segitiga siku-siku bantuan di bawah ini kita dapatkan :

    TURUNAN INVERS TRIGONOMETRI

    Sehingga sin y = 1 - x 2 atau y = arc sin 1 - x 2

    tan y = 1 - x 2 x atau y = arc tan 1 - x 2 x

    sec y = 1 x atau y = arc sec 1 x

    csc y = 1 1 - x 2 atau y = arc csc 1 1 - x 2

    cot x = x 1 - x 2 atau y = arc cot x 1 - x 2  


Sebagai contoh :

1.

Tentukan turunan pertama dari f x = arc   sin x !


Lihat Penyelesaian
2.

Tentukan turunan pertama dari f x = arc   cos 2 x !


Lihat Penyelesaian
3.

Tentukan turunan pertama dari f x = arc   tan 3 x !


Lihat Penyelesaian
4.

Tentukan turunan pertama dari f x = arc   sec x !


Lihat Penyelesaian
5.

Tentukan turunan pertama dari f x = arc   csc 2 x !


Lihat Penyelesaian
6.

Tentukan turunan pertama dari f x = arc   cot 3 x !


Lihat Penyelesaian
7.

Tentukan turunan pertama dari

  1. y = arc cos 3 x - 1

  2. y = arc sec 2 x - 3


Lihat Penyelesaian
8.

Tentukan turunan pertama dari

  1. y = arc sin x 2

  2. y = arc tan x 2


Lihat Penyelesaian
9.

Tentukan turunan pertama dari

  1. y = arc tan 1 - x 1 + x

  2. y = arc tan x 1 - x 2


Lihat Penyelesaian
10.

Tentukan turunan pertama dari y = x arc sin x + 1 - x 2 !


Lihat Penyelesaian
11.

Tentukan f ' x dan f ' 4 untuk fungsi f x = x 25 - x 2 + 25 arc sin x 5 !


Lihat Penyelesaian
12.

Tunjukkan bahwa

  1. y = 1 ab arc tan a b tan x , maka y ' = 1 a sin 2 x + b cos 2 x

  2. y = x a 2 - x 2 - arc cos a 2 - x 2 a maka y ' = x 2 a 2 - x 2 a 2 - x 2


Lihat Penyelesaian
13.

Tunjukkan bahwa

  1. Jika y = x - m 2 mx - x 2 + m 2 arc sin x - m m maka y ' = 2 2 mx - x 2

  2. Jika y = arc cot 1 - ax a + x maka y ' = 1 x 2 + 1


Lihat Penyelesaian
14.

Tunjukkan bahwa

  1. Jika y = arc cos cos x maka y ' = sin x 2 cos x - cos 2 x

  2. Jika y = arc sin sin x maka y ' = cos x 2 sin x - sin 2 x


Lihat Penyelesaian
15.

Tunjukkan bahwa

  1. Jika y = arc sin 1 - cos 4 x 2 maka y ' = 2

  2. Jika y = arc cos 1 + cos 4 x 2 maka y ' = 2


Lihat Penyelesaian
16.

Tunjukkan bahwa

  1. y = arc cos 1 1 + x 2 maka y ' = 1 1 + x 2

  2. y = arc csc x 2 x 2 - 1 maka y ' = 2 x 2 x 2 - 1


Lihat Penyelesaian
17.

Tunjukkan bahwa

  1. y = x arc cos x maka y ' = arc cos x - x 1 - x 2

  2. y = x arc sin x 1 - x 2 maka y ' = x 1 - x 2 + arc sin x 1 - x 2 1 - x 2


Lihat Penyelesaian
18.

Tunjukkan bahwa

  1. y = arc tan sin x 1 + cos x maka y ' = 1 2

  2. y = arc cos 1 - 2 sin 2 x maka y ' = 2


Lihat Penyelesaian
19.

Tunjukkan bahwa

  1. y = arc cos 1 - x 2 1 + x 2 maka y ' = 2 1 + x 2

  2. y = arc tan 2 x 1 - x 2 maka y ' = 2 1 + x 2


Lihat Penyelesaian
20.

Tunjukkan bahwa

  1. y = arc tan 1 - x 2 - 1 x maka y ' = 1 - 2 1 - x 2

  2. y = arc cot x maka y ' = - 1 4 x 1 + x y


Lihat Penyelesaian