A. PENGERTIAN BARISAN DAN DERET

Barisan adalah sekumpulan bilangan yang di susun dari kiri ke kanan dan dipisahkan dengan tanda koma ( , ) dan memiliki pola tertentu.

Setiap bilangan yang berada pada barisan adalah merupakan suku-suku dari barisan dan dilambangkan Un yang artinya suku ke n, dengan n bilangan asli

Deret adalah penjumlahan dari suku-suku sebuah barisan yang dimulai dari suku yang paling kiri sampai suku yang ke n dan dilambangkan dengan Sn

S n = U 1 + U 2 + U 3 + + U n S 1 = U 1

S 2 = U 1 + U 2

S 3 = U 1 + U 2 + U 3

dan seterusnya

U n = S n - S n - 1



Sebagai contoh :

1.

Tulislah barisan dan deret dari


a. 10 bilangan kubik pertama


b. 8 bilangan prima pertama


Lihat Penyelesaian
2.

Nyatakan

a. S5 dalam bentuk Uk

c. U5 dalam bentuk Sk

b. S7-S5 dalam bentuk Uk

d. U10+U1 dalam bentuk Sk


Lihat Penyelesaian
3.

Diketahui barisan : 1, -3, 5, -7, 9, -11, 13, -15, 17, ...

a. U4

b. S4


Lihat Penyelesaian
4.

a. Diketahui Un=2n4, tentukan nilai dari S3 ?


b. Diketahui Sn=15-1n+n2, tentukan U25 ?


Lihat Penyelesaian
5.

Diketahui Sn=n3 , tentukan Un ?


Lihat Penyelesaian

B. NAMA-NAMA BARISAN

Dari puluhan hingga ratusan barisan yang ada, di sini ada beberapa nama barisan yang spesial

1. Barisan aritmatika : adalah barisan yang mempunyai ciri-ciri selisih antara setiap suku (mulai U2) dengan suku sebelumnya konstan bukan 0.

2. Barisan gometri : adalah barisan yang mempunyai ciri-ciri rasio/perbandingan antara setiap suku (mulai U2)dengan suku sebelumnya konstan bukan 0 dan 1.

3. Barisan bilangan segitiga : adalah barisan bilangan yang pola nilai bilangannya sama dengan banyaknya dari banyaknya titik-titik segitiga di bawah ini

 Dan seterusnya

Jadi barisannya : 1, 3, 6, 10, 15, 21, ...

dan rumus suku ke n nya Un=12nn+1 dan rumus deretnya Sn=16nn+1n+2

4. Barisan kuadrat dari bilangan asli : 1, 4, 9, 16, 25, 36, ...

U n = n 2 dan Sn=16n2n+1(n+1)

5. Barisan kubik dari bilangan asli : 1, 8, 27, 64, 125, ...

U n = n 3 dan Sn=14n2n+12

6. Barisan fibonaci : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... pola barisannya Un+2=Un+1+Un

U n = 1 5 1 + 5 2 n - 1 - 5 2 n

Dan masih banyak lagi

7. Barisan berbentuk fungsi kombinatorik

U n = C k n + p dan Sn=Ck+1n+p+1-Ck+1p+1

Dan masih banyak lagi



Sebagai contoh :

1.

Tentukan rumus suku ke n dan rumus jumlah n suku pertama dari barisan

1, 7, 13, 19, 25, 31, …


Lihat Penyelesaian
2.

Tentukan rumus suku ke n dan rumus jumlah n suku pertama dari barisan

3, 7, 13, 21, 31, 43,


Lihat Penyelesaian
3.

Tentukan rumus suku ke n dan rumus jumlah n suku pertama dari barisan

4, 25, 74, 163, 304, 509,


Lihat Penyelesaian
4.

dan seterusnya...

Pada pola di atas, barisanya adalah jumlah lingkaran kecil tiap-tiap kelompok. Tentukan

a. U4

c. Sn

b. Un

d. U10+S10


Lihat Penyelesaian
5.

dan seterusnya...

Pada gambar di atas adalah batang korek api yang disusun, sehingga jumlah korek api tiap susunan membentuk barisan bilangan. Dari barisan yang terbentuk, tentukan

a. U3

c. Un

e. U30

b. S3

d. Sn

f. S30


Lihat Penyelesaian
6.

Diketahui rumus suku ke n barisan fibonaci adalah Un=151+52n-1-52n, Tunjukkan bahwa U4=3 dengan memasukkan nilai n ke rumus Un ?


Lihat Penyelesaian
7.

Barisan dengan banyaknya suku terbatas :

C311,C312,C313,C314,C315,C316,C317,C318,C319,C320,C321,C322,...,C3100

Tentukan

a. Rumus suku ke n

c. Rumus jumlah n suku pertamanya

b. Banyaknya suku barisan ini

d. Jumlah semua sukunya


Lihat Penyelesaian
8.

Tentukan hasil dari 122+322+522+722+...+99922 ?


Lihat Penyelesaian
9.

Diketahui Un=an+bn , dengan U1=-2 dan U2=14.


a. Nyatakan U3 dalam U2 dan U1


b. Nyatakan Un+2 dalam Un+1 dan Un


c. Tulislah 7 suku pertama barisan ini


Lihat Penyelesaian
10.

Jika Un=1216C2n-1-3C2n-7+3C2n-13+C2n-19 (dengan Crk=0 untuk <r ) adalah menyatakan peluang dari pelemparan 3 buah dadu dengan jumlah ketiga mata dadu sama dengan n. Tentukan


a. Suku ke 10 nya


b. Suku ke 30 nya


c. Rumus jumlah n suku pertamanya


d. Jumlah 15 suku pertamanya


e. Jumlah 1000 suku pertamanya


Lihat Penyelesaian

C. BARISAN ARITMATIKA

Barisan aritmatika : adalah barisan yang monoton naik atau monoton turun dengan selisih antara setiap suku konstan dan bukan 0.

Jadi

U 2 - U 1 = U 3 - U 2 = U 4 - U 3 = U 5 - U 4 = ... = U n - U n - 1 = b , dengan b0

Jika suku pertama barisan aritmatika adalah a, dan selisih (beda) b, maka

Rumus umum barisan aritmatika : Un=a+n-1b



Sebagai contoh :

1.

Diantara barisan-barisan di bawah ini mana yang merupakan barisan aritmatika ?

a. 3, 7, 11, 15, 19, 23, ...

c. 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, ...

b. 1, 3, 5, 3, 5, 7, 9, 7, 9, ...

d. 1, 12, 0, -12,-1, -32, -2, ...

Lihat Penyelesaian
2.

Tunjukkan bahwa rumus suku ke n barisan aritmatika adalah Un=a+n-1b ?


Lihat Penyelesaian
3.

Jika 11, 7+x, 24-x adalah tiga suku pertama barisan aritmatika, tentukan nilai x dan beda barisan ini ?


Lihat Penyelesaian
4.

Diketahui barisan aritmatika : 1, 4, 7, 11, ...

Tentukan

a. U20

b. Un

c. Suku keberapakah yang nilainya 10000


Lihat Penyelesaian
5.

Diketahui suku ketiga dan suku ke lima belas barisan aritmatika berturut-turut 20 dan -4, tentukan

a. Rumus suku ke n nya

b. suku keberapakah yang nilainya - 88


Lihat Penyelesaian
6.

Diketahui barisan aritmatika, suku ke limanya adalah 656, jumlah suku ke enam dan suku ke tujuhnya adalah 1279, tentukan suku negatif yang pertamanya ?


Lihat Penyelesaian
7.

Diketahui barisan aritmatika terbatas : 1, 12, 23, 34, 45, ..., 1530. Tentukanlah

a. Rumus suku ke n nya

b. Banyaknya suku barisan ini


Lihat Penyelesaian
8.

Jika panjang sisi sebuah segitiga siku-siku membentuk barisan aritmatika, dan kelilingnya adalah 84, maka tentukan luas segitiga tersebut ?


Lihat Penyelesaian
9.

Diketahui 5 suku pertama barisan aritmatika : x, y, z, 10x, w . Maka tentukan

a. Beda barisan ini

b. Nilai dari yx

c. Nilai dari wz


Lihat Penyelesaian
10.

Jika a, b, c, x, d, e, f, y, ... dan x, p, q, r, s, t, y, u, ... adalah barisan aritmatika, maka tentukan nilai dari c-au-q ?


Lihat Penyelesaian

Sisipan pada barisan aritmatika

Jika diantara bilangan p dan q disisipkan k buah bilangan seperti

p , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , ... , x k , q k buah bilangan

maka beda barisan yang terbentuk adalah b'=q-pk+1

sebagai contoh :

11.

Antara bilangan 5 dan 11 disisipkan 8 buah bilangan sehingga membentuk barisan aritmatika,

a. Tentukan beda barisan yang terbentuk

b. Tuliskan suku-suku yang disisipkan

Lihat Penyelesaian
12.

Di antara bilangan 10 dan 19 disisipkan 20 buah bilangan sehingga membentuk barisan aritmatika, tentukan beda barisan, dan suku terkecil yang disisipkan ?


Lihat Penyelesaian
13.

Diantara bilangan -8 dan 13 disisipkan 100 buah bilangan sehingga membentuk barisan aritmatika, tentukan rumus barisan aritmatika yang terbentuk, dan suku yang bernilai positif terkecil yang disisipkan ?


Lihat Penyelesaian
14.

Diantara bilangan -25 dan 68 disisipkan 251 buah bilangan sehingga membentuk barisan aritmatika, tentukan rumus barisan aritmatika yang terbentuk, dan suku yang bernilai negatif terbesar yang disisipkan ?


Lihat Penyelesaian
15.

Sebuah barisan aritmatika mempunyai rumus suku ke n nya adalah n nya adalah Un=2n+5. Jika dari setiap dua suku yang berdekatan disisipkan 5 buah bilangan sehingga terbentuk barisan yang baru,maka

a. Tentukan suku pertama dan beda dari barisan yang baru

b. Rumus suku ke n dari barisan yang baru

Lihat Penyelesaian

Rumus suku tengah

Barisan aritmatika dengan banyaknya suku ganjil mempunyai suku tengah Ut, dengan

U t = U 1 + U n 2 , Un adalah suku terakhirnya

Untuk barisan aritmatika yang terbatas dengan banyaknya suku genap, tidak mempunyai suku tengah.

sebagai contoh :

16.

Diketahui barisan aritmatika : 3, 10, 17, 24, ..., 297

Apakah barisan ini mempunyai suku tengah, seandainya punya tentukanlah suku tengahnya ?


Lihat Penyelesaian
17.

Diketahui barisan aritmatika terbatas dengan suku tengah dan suku terakhirnya berturut-turut adalah 94 dan 178. Jika suku keduanya 17, maka tentukan

a. Rumus suku ke n nya

b. Suku keberapakah yang bernilai 105

c. Suku keberapakah yang bernilai 122


Lihat Penyelesaian
18.

Diketahui barisan aritmatika terbatas dengan banyaknya suku 43 buah, jika suku tengahnya 99 dan suku ketujuhnya 24, maka tentukan suku terakhirnya ?


Lihat Penyelesaian

D. DERET ARITMATIKA

Rumus deret aritmatika S n = n 2 2 a + n - 1 b atau Sn=n2U1+Un

Bukti :

Akan kita tunjukkan bahwa rumus deret aritmatika S n = n 2 2 a + n - 1 b atau Sn=n2U1+Un ?

Kita jumlahkan dua buah deret barisan aritmatika yang di susun dari kiri dan kanan

S n = a + a + b + ... + a + n - 2 b + a + n - 1 b S n = a + n - 1 b + a + n - 2 b + ... + a + b + a S n = a + n - 1 b + a + n - 1 b + ... + a + n - 1 b + a + n - 1 b +

Jadi 2Sn=n2a+n-1b

S n = n 2 2 a + n - 1 b

Selanjutnya S n = n 2 2 a + n - 1 b

= n 2 a + a + n - 1 b karena U n = a + n - 1 b

= n 2 U 1 + U n



Sebagai contoh :

1.

Tentukan jumlah 100 suku pertama barisan

a. 4 , 7 , 10 , 13 , ...

b. 12 , 4 , - 4 , - 12 , ...

Lihat Penyelesaian
2.

Diketahui deret aritmatika dengan S 6 = 228 dan S 10 = 700 , maka tentukan S 100 ?


Lihat Penyelesaian
3.

Tentukan hasil dari deret aritmatika 100 + 94 + 88 + 82 + ...+ (- 488) ?


Lihat Penyelesaian
4.

Diketahui barisan aritmatika dengan jumlah 10 suku pertama 210, dan suku ke lima ditambah suku ke tujuh sama dengan 46. Tentukan rumus suku ke n dari barisan ini ?


Lihat Penyelesaian
5.

Diketahui barisan aritmatika : 3132, 3119, 3106, 3093, ...

Tentukan jumlah semua suku yang bernilai positif ?


Lihat Penyelesaian
6.

Diantara bilangan 30 dan -20 disisipkan 249 buah bilangan sehingga membentuk barisan aritmatika, tentukan

a. Jumlah semua suku yang disisipkan

b. Jumlah semua suku yang bernilai positif yang disisipkan

Lihat Penyelesaian
7.

Diketahui barisan aritmatika terbatas dengan suku tengahnya 67 dan jumlah semua sukunya 1273. Jika suku keduanya adalah 3 maka tentukan

a. Banyaknya suku barisan ini

c. Suku ke berapakah yang nilainya 100

b. Suku ke lima barisan ini

d. Suku ke berapakah yang nilainya 107

Lihat Penyelesaian
8.
  1. Diketahui barisan aritmatika dengan suku ke 18 nya adalah 30, maka tentukan jumlah 35 suku pertamanya ?

  2. Diketahui barisan aritmatika dengan jumlah suku kedua dan suku ke delapannya 20, tentukan jumlah 9 suku pertamanya ?

  3. Diketahui barisan aritmatika dengan jumlah 100 suku pertamanya adalah 3000, maka tentukan nilai dari U50+U51?

Lihat Penyelesaian
9.

Tentukan nilai m, jika

a. 3+10+17+24+31+...+m=1533

b. 11+15+19+23+27+...+m=4455

Lihat Penyelesaian
10.

Diketahui jumlah n suku pertama dari barisan aritmatika adalah Sn=3n2-7n , tentukan Un?


Lihat Penyelesaian

E. RUMUS CEPAT BARISAN DAN DERET ARITMATIKA

Dari rumus suku ke n dari barisan aritmatika

U n = a + n - 1 b kita bongkar menjadi U n = bn + a - b

Rumus suku ke n ini merupakan fungsi linier dengan koefisien n adalah b

Dari rumus jumlah n suku pertama dari barisan aritmatika

S n = n 2 2 a + n - 1 b kita bongkar menjadi S n = b 2 n 2 + a - b 2 n

Rumus jumlah n suku pertamanya merupakan fungsi kuadrat dengan koefisien n 2 adalah b 2 dan tidak ada konstantanya.

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh-contoh soalnya.


Sebagai contoh :

1.

Tentukan rumus suku ke n dan jumlah n suku pertama dari barisan-barisan aritmatika

a. 1, 5, 9, 13, 17, 21, ...

c. 10, 4, -2, -8, -14, -20, ...

b. 2, 12, 22, 32, 42, 52, ...

d. 7, 4, 1, -2, -5, -8, -11, ...

Lihat Penyelesaian
2.

Tentukan rumus suku ke n nya, jika diketahui jumlah n suku pertamanya adalah

a. Sn=n2+11n

b. Sn=4n-5n2

Lihat Penyelesaian
3.

Tentukan rumus jumlah n suku pertamanya jika diketahui rumus suku ke n nya adalah

a. Un=20n-3

b. Un=7-2n

Lihat Penyelesaian
4.

Diketahui rumus jumlah n suku pertama dari deret aritmatika : Sn=p-2n2+3pn+7-p. Tentukan

a. nilai p

b. S10

c. Un

Lihat Penyelesaian

F. BARISAN GEOMETRI

Barisan geometri adalah barisan yang mempunyai ciri-ciri : Perbandingan (rasio) dari setiap suku dengan suku sebelumnya (mulai U2 ) adalah tetap, dan rasionya tidak boleh sama dengan 0 dan ±1

Jadi : U2U1=U3U2=U4U3=U5U4=...=UnUn-1=r (r0 dan r±1 )

Rumus umum barisan geometri Un=arn-1 dengan a adalah suku pertamanya.



Sebagai contoh :

1.

Dari beberapa barisan di bawah ini, mana yang merupakan barisan geometri ?

a. 9, 3, 1, 13, 19, 127, ...

c. 1, 2, 4, 2, 1, 12, 14, ...

b. 2,- 22, 4, -42, 8,...

d. 100, 10, 110, 1100, 11000, ...

Lihat Penyelesaian
2.

Tunjukkan bahwa rumus suku ke n barisan geometri adalah U n = a r n - 1 ?


Lihat Penyelesaian
3.

Tentukan rumus suku ke n dan suku ke 8 dari barisan geometri di bawah ini ?

a. 8, 2, 12 , 18, ....

b. 29, -23, 2, -6, ...

Lihat Penyelesaian
4.

Jika 4 ,x+7, 41-x adalah tiga suku pertama barisan geometri, maka tentukan

a. Nilai x

b. Rasio barisannya

c. Rumus suku ke n nya

Lihat Penyelesaian
5.

Diketahui barisan geometri : 64, 48, 36, 27,... , tentukan

a. Rumus suku ke n

b. suku ke berapakah yang nilainya 3 2

c. Suku keberapakah yang nilainya 729 64

Lihat Penyelesaian
6.

Diketahui barisan geometri dengan suku-suku positif, jika suku kelimanya 6 dan suku ke sebelasnya 48, maka suku keberapakah yang nilainya 3 072 2 ?


Lihat Penyelesaian
7.

Diketahui barisan geometri dengan suku-suku positif mempunyai U 1 + U 2 = 28
dan U 3 + U 4 = 175 . Tentukan

a. rasio dan suku pertama dari barisan ini

b. rumus suku ke n dan suku ke 6 nya

c. Suku ke berapakah yang nilainya 2 - 110 5 113

Lihat Penyelesaian
8.

Suku pertama, kedua, dan keenam dari barisan aritmatika dengan beda 3 membentuk barisan geometri, Tentukan rumus suku ke n dari barisan geometri yang terbentuk ?


Lihat Penyelesaian
9.

Tiga bilangan jumlahnya 18 membentuk barisan aritmatika, jika suku ketiganya ditambah 2 akan membentuk barisan geometri, maka tentukan ketiga bilangan ini ?


Lihat Penyelesaian
10.

Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 100 meter, setiap kali memantul ketinggiannya berkurang 20 % , maka tentukan ketinggiannya setelah pantulan ke 8 ?


Lihat Penyelesaian

SISIPAN BARISAN GEOMETRI

Jika diantara bilangan p dan q disisipkan k buah bilangan sehingga membentuk barisan geometri

p , y 1 , y 2 , y 3 , y 4 , y 5 , ... , y k , q k buah bilangan

maka rasio barisan yang terbentuk adalah r'=±qpk+1


Sebagai contoh :

11.

Di antara bilangan 2 dan 16 disisipkan 5 buah bilangan sehingga membentuk barisan geometri, tentukan rasio barisan yang terbentuk dan jumlah semua bilangan yang disisipkan ?


Lihat Penyelesaian
12.

Sebuah barisan dengan rumus suku ke n nya U n = 2 3 n + 1 , diantara setiap dua suku yang berdekatan dari barisan ini disisipkan dua buah bilangan sehingga membentuk barisan geometri yang baru, tentukan rumus suku ke n barisan geometri yang terbentuk ?


Lihat Penyelesaian
13.

Diketahui barisan geometri dengan rumus suku ke n nya adalah U n = 9 n - 1 2 , tentukan rumus barisan geometri yang baru jika setiap dua suku yang berdekatan disisipkan

a. 1 bilangan

b. 3 bilangan

Lihat Penyelesaian

SUKU TENGAH BARISAN GEOMETRI

Barisan aritmatika dengan banyaknya suku ganjil mempunyai suku tengah Ut, dengan

U t 2 = U 1 U n , denganUn adalah suku terakhirnya


Sebagai contoh :

14.

Sebuah barisan geometri terbatas dengan suku pertama 8 dan suku terakhirnya7298. Tentukan suku tengahnya ?


Lihat Penyelesaian
15.

Sebuah barisan geometri dengan suku-suku terbatas dengan suku kedua 18, suku tengahnya 8, dan suku terakhirnya 1024. Tentukan jumlah 3 suku pertamanya ?


Lihat Penyelesaian
16.

Barisan geometri berbatas dengan suku tengahnya 36 dan suku terakhirnya dikurangi suku pertamanya adalah 43,75. Jika rasionya 233, tentukan bentuk barisannya ?


Lihat Penyelesaian
17.

Barisan geometri dengan banyak suku terbatas, jika suku terakhirnya 2187, suku keempatnya - 3 dan suku ke tujuhnya 9 maka tentukan banyaknya suku barisan ini dan suku tengahnya ?


Lihat Penyelesaian

G. DERET GEOMETRI

Rumus jumlah n suku pertama dari barisan geometri adalah

S n = a r n - 1 r - 1 atau S n = a 1 - r n 1 - r

Bukti :

Akan ditunjukkan bahwa rumus deret geometri adalah S n = a r n - 1 r - 1 atau S n = a 1 - r n 1 - r ?

S n = a + ar + a r 2 + ar 3 + ... + ar n - 1 ....(1)

rS n = ar + a r 2 + ar 3 + ... + ar n ....(2)

Persamaan pertama di kurangi persamaan kedua didapat

Persamaan (1) dikurangi (2)

S n - r S n = a - a r n

S n 1 - r = a ( 1 - r n )

S n = a 1 - r n 1 - r

Biasanya dipakai untuk r < 1

    

Persamaan (1) dikurangi (2)

r S n - S n = a r n - ar

S n r - 1 = a r n - 1

S n = a r n - 1 r - 1

Biasanya dipakai untuk r > 1

Sebenarnya kedua rumus di atas sama.



Sebagai contoh :

1.

Tentukan jumlah 8 suku pertama barisan geometri di bawah ini

a. 1 , 3 , 9 , ...

b. 81 , 54 , 36 , ...

Lihat Penyelesaian
2.

Tentukan rumus jumlah n suku pertama ( S n ) dari barisan geometri, jika

a. U n = 2 n - 1

b. U n = 3 2 - n

Lihat Penyelesaian
3.

Tentukan rumus suku ke n dari barisan geometri, jika diketahui

a. S n = 10 n + 1 - 10

b. S n = 3 n + 2 - 9

c. S n = 9 - 3 2 - n


Lihat Penyelesaian
4.

Diketahui barisan geometri, dengan suku pertama dan rasionya berturut-turut adalah 64 dan - 3 2 , maka tentukan jumlah 6 suku pertamanya ?


Lihat Penyelesaian
5.

Diketahui deret geometri dengan S 6 = 40 dan S 12 = 2600 , tentukan rasio, suku pertama, dan jumlah 10 suku pertamanya , jika suku-sukunya ada yang positif dan negatif ?


Lihat Penyelesaian
6.

Sebuah tali yang panjangnya 7,65 meter dipotong menjadi 8 bagian sehingga panjang dari setiap potongannya membentuk barisan geometri. Jika rasio dari barisan yang terbentuk adalah 2 , maka tentukan panjang dari potongan tali yang terpanjang ?


Lihat Penyelesaian

  1. DERET GEOMETRI KONVERGEN

Sebuah barisan dikatakan konvergen apabila barisan barisan tersebut menuju ke sebuah nilai tertentu.

Untuk barisan geometri yang konvergen nilai tertentu tersebut adalah 0.

Untuk deret geometri konvergen limit jumlah tak hingganya (jumlah semua sukunya) adalah

S = a 1 - r dengan r < 1 , r 0

Atau : - 1 < r < 1 dan r 0


Contoh :

  1. Tentukan hasil dari

    a. 81 + 54 + 36 + 24 + 16 +

    b. 8 - 4 + 2 - 1 + 1 2 - 1 4 + 1 8 - 1 16 +

    c. p = - 1 4 3 - p

    Jawab :

    a. 81 + 54 + 36 + 24 + 16 +

    suku pertamanya a = 81 dan rasionya adalah r = 54 81 = 2 3

    S = a 1 - r S = 81 1 - 2 3 jadi S = 243

    Sehingga : 81 + 54 + 36 + 24 + 16 + = 243

    b. 8 - 4 + 2 - 1 + 1 2 - 1 4 + 1 8 - 1 16 +

    suku pertamanya a = 8 dan rasionya adalah r = - 4 8 = - 1 2

    S = a 1 - r S = 8 1 - - 1 2 jadi S = 16 3

    Sehingga : 8 - 4 + 2 - 1 + 1 2 - 1 4 + 1 8 - 1 16 + = 16 3

    c. p = - 1 4 3 - p = 4 3 1 + 4 3 0 + 4 3 - 1 + 4 3 - 2 +

    = 4 3 + 1 + 3 4 + 9 16 +  

    deret geometri kovergen dengan a = 4 3 dan r = 3 4

    = 4 3 1 - 3 4   S = a 1 - r

    = 16 3

  1. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 10 meter, setiap kali memantul ketinggiannya akan berkurang 20%, tentukan panjang lintasan bola sampai berhenti !

    Jawab :

    DERET GEOMETRI TAK HINGGA

    Panjang lintasan = 10 + 2 8 + 6,4 +

    = 10 + 2 8 1 - 0,8     S = a 1 - r dengan a = 8 dan r = 0,8

    = 10 + 2 40

    = 90 meter

  1. Diketahui deret geometri konvergen dengan limit jumlah tak hingganya adalah 256 dan jumlah semua suku bernomor ganjil adalah 1024 7 . Tentukan jumlah 4 suku pertamanya !

    Jawab :

    Deret geometri : a + ar + a r 2 + a r 3 + a r 4 + a r 5 + a r 6 +

    limit jumlah tak hingganya adalah 256

    a 1 - r = 256      atau a = 256 1 - r

    jumlah semua suku bernomor ganjil adalah

    1024 7 a 1 - r 2 = 1024 7      atau a = 1024 7 1 - r 2

    Suku-suku bernomor ganjilnya : a + a r 2 + a r 4 + a r 6 +

    Jadi a = 256 1 - r a = 1024 7 1 - r 1 + r ( 1 ) ( 2 )

    Dengan membagi persamaan 2 dengan persamaan 1 didapat :

    1 = 4 7 1 + r 1 = 4 7 + 4 7 r

    4 7 r = 3 7 didapat r = 3 4

    Dengan mensubstitusikan r = 3 4 ke persamaan a = 256 1 - r didapat a = 64

    S 4 = 64 + 48 + 36 + 27

    = 175

  1. Tentukan batas nilai x agar : x + 1 + x 2 - 1 + x 2 - 1 x - 1 + merupakan deret geometri konvergen !

    Jawab :

    x + 1 u 1 + x 2 - 1 u 2 + x 2 - 1 x - 1 u 3 +

    Rasionya : r = u 2 u 1 = x 2 - 1 x + 1 = x + 1 x - 1 x + 1 = x - 1

    Syarat deret geometri konvergen adalah - 1 < r < 1 dan r 0

    • Syarat pertama - 1 < r < 1

      - 1 < x - 1 < 1      kedua ruas ditambah 1

      0 < x < 2

    • Syarat kedua : r 0

      x - 1 0

      x 0

      Jadi batas nilai x adalah : 0 < x < 2 , dan x 1

Sebagai contoh :

1.

Barisan dikatakan konvergen jika nilai barisan ini menuju ke sebuah nilai tertentu. Beberapa buah barisan ini, mana yang merupakan barisan geometri konvergen ?

a. 4, 2, 1, 1 2 , 1 4 , ...

c. 1 , 2 , 4 , 8 , 16 , ...

b. 256, -192, 144, -108, 81, ...

d. 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 , 5 6 , 6 7 , ...

Lihat Penyelesaian
2.

Tentukan jumlah tak hingga dari deret geometri dibawah ini

a. 4 + 2 + 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + ...

b. 27 - 9 + 3 - 1 + 1 3 - 1 9 + ...

c. 256 - 128 2 + 128 - 64 2 + 64 - 32 2 + 32 -

d. 1.2 + 0,02 + 0,002 + 0,0002 + 0,00002 + 0,000002 +

Lihat Penyelesaian
3.

Tentukan limit jumlah tak hingga dari deret geometri jika diketahui

  1. Jumlah n suku pertamanya adalah S n = 6 1 - 1 2 n

  2. Rumus suku ke n nya adalah u n = 3 n + 1 2 2 n - 1

Lihat Penyelesaian
4.

Tentukan limit jumlah tak hinnga dari deret geometri di bawah ini jika diketahui

  1. S 4 = 150 dan S 8 = 200

  2. U 3 = 500 dan U 6 = 32

Lihat Penyelesaian
5.

Untuk x k 2 π dengan k bilangan bulat maka tunjukkan

  1. cos x + sin x cos x + sin 2 x cos x + sin 3 x cos x + = 1 + sin x cos x

  2. sin x + sin x cos x + sin x cos 2 cos 2 x + sin x cos 3 cos 3 x + = csc x + cot x

Lihat Penyelesaian
6.

Tentukan batas nilai x agar deret geometri di bawah ini konvergen

  1. 3 + 6 x + 1 + 12 x + 1 2 + 24 x + 1 3 + 48 x + 1 4 +

  2. 4 x 2 + 4 x + 1 + 2 x + 1 + 1 + 1 2 x + 1 + 1 4 x 2 + 4 x + 1 +

  3. log x + 2 + log 2 x + 2 + log 3 x + 2 + log 4 x + 2 +

Lihat Penyelesaian
7.

Tentukan batas nilai m yang memenuhi, jika diketahui

  1. deret geometri konvergen dengan suku pertamanya m dan limit jumlah tak hingganya adalah 10

  2. deret geometri konvergen dengan suku pertamanya 12 - 2 m dan limit jumlah tak hingganya adalah 6

Lihat Penyelesaian
8.

Deret geometri konvergen dengan limit jumlah takhingganya 81 4 dan jumlah semua suku bernomor genapnya - 81 8 , Tentukan suku kelimanya !


Lihat Penyelesaian
9.

Jika 2 x , x - 5 , 33 - x adalah tiga suku pertama barisan geometri yang konvergen, maka tentukan limit jumlah tak hingganya !


Lihat Penyelesaian
10.

Tentukan hasil dari

  1. 1 3 + 2 9 + 3 27 + 4 81 + 5 243 + 6 729 + 7 2187 + ...

  2. 1 4 + 3 16 + 5 64 + 7 256 + 9 1024 +

  3. 1 5 - 4 25 + 7 125 - 10 625 + 13 3125 -

Lihat Penyelesaian
11.

Jika α dan β adalah akar-akar dari persamaan 3 x 2 - 6 x + 1 = 0 , maka tentukan limit jumlah tak hingga dari deret

  1. α + β + α 2 β + α β 2 + α 3 β + α β 3 + α 4 β + α β 4 +

  2. α 2 + β 2 + α 2 + β 2 α + β + α 2 + β 2 α + β 2 + α 2 + β 2 α + β 3 + α 2 + β 2 α + β 4 + α 2 + β 2 α + β 5 +

Lihat Penyelesaian
12.

Jika a , bc ¯ artinya a , bcbcbcbcbcbcbcbcbcbcb dengan tak hingga pengulangan bc maka tentukan nilai dari

a. 3 , 12 ¯

b. 6,1 234 ¯

Lihat Penyelesaian
13.

Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian tertentu, dan setiap kali memantul ketinggiannya berkurang 25 % , Jika panjang seluruh lintasan bola sampai berhenti adalah 56 m , maka tentukan tinggi pantulan ketiga !

Lihat Penyelesaian
14.

Diketahui segitiga pertama adalah segitiga samasisi dengan keliling 18 cm , di dalam segitiga tersebut dibuat sebuah segitiga kedua di mana titik-titik sudut segitiga kedua berada di tengah masing masing sisi segitiga pertama. Di dalam segitiga kedua terdapat segitiga ketiga dengan pola yang sama dengan segitiga kedua yang berada di segitiga pertama. Dan seterusnya dibuat segitiga keempat, kelima,... dengan pola sama. Tentukan luas seluruh segitiga yang terbentuk !

Lihat Penyelesaian
15.

Pada lingkaran berjari-jari 20 cm didalamnya dibuat segitiga sama sisi yang titik sudutnya terletak pada lingkaran, kemudian pada segitiga sama sisi dibuat lingkaran kedua yang menyinggung sisi-sisi segitiga, kemudian pada lingkaran kedua dibuat segitiga sama sisi yang kedua dimana titik sudutnya terletak pada lingkaran kedua. Proses ini dilanjutkan terus menerus, maka tentukan jumlah luas semua lingkaran dan semua segitiga !

Lihat Penyelesaian

  1. NOTASI SIGMA

i = p q U i adalah penjumlahan suku-suku U i mulai dari i = p sampai dengan i = q dimana p dan q adalah bilangan bulat, dan q p .

Sehingga i = p q U i = U p + U p + 1 + U p + 2 + U p + 3 + U p + 4 + ... + U q

Banyaknya suku-suku yang dijumlahkan adalah q - p + 1

Contoh :

  • i = 1 4 5 i = 5 1 + 5 2 + 5 3 + 5 4

    = 5 + 10 + 15 + 20

    = 50

  • k = 2 8 2 k k = 2 2 2 + 2 3 3 + 2 4 4 + 2 5 5 + 2 6 6 + 2 7 7 + 2 8 8

    = 2 + 8 3 + 4 + 32 5 + 32 3 + 128 7 + 32

    = 762105

  • m = - 1 88 4 m - 3 = 4 - 1 - 3 + 4 0 - 3 + 4 1 - 3 + + 4 88 - 3

    = - 7 + - 3 + 1 + + 349 88 - - 1 + 1 = 90 suku   deret aritmatika

    = 90 2 - 7 + 349

    = 15390

  • t = 0 3 2 - t = 3 2 - 0 + 3 2 - 1 + 3 2 - 2 + 3 2 - 3 + 3 2 - 4 +

    = 9 + 3 + 1 + 1 3 + 1 9 + ∞ suku deret geomteri takhingga

    = 9 1 - 1 3       S = a 1 - r

    = 27 2


Sebagai contoh :

1.

Tentukan hasil dari

a. i = 1 4 2 i

c. i = 10 15 5

e. c = - 2 1 ( 1 - c )

b. i = - 1 3 ( i 2 + 2 )

d. k = 8 8 3 k

f. i = 1 3 ( m 2 + 1 )

Lihat Penyelesaian
2.

Tentukan hasil dari

a. m = - 1 122 ( 3 m + 1 )

c. p = 1 n ( 6 p + 7 )

b. i = 7 77 123 - 2 i

d. k = 1 2 n ( 3 k - 1 )

Lihat Penyelesaian
3.

Tentukan hasil dari

a. i = 2 ( 4 2 - i )

b. i = 2 3 4 i - 2

Lihat Penyelesaian

4.

Tentukan hasil dari :

a. i = 3 87 sin 2

d. k = 1 50 C k 50

b. i = 1 89 log tan

e. k = 1 50 C k 50 C 50 - k 50

c. k = 1 45 log 1 + tan 8

f. m = 1 50 mC m 50

Lihat Penyelesaian
5.

Tulislah penjumlahan dibawah ini dengan notasi sigma

a. 1 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13

b. 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 + 9 - 10 + ... - 1000 + 1001

c. 1 + 2 3 + 3 5 + 4 7 + 5 9 + 6 11 + ... + 111 221

d. a 100 + a 99 b 3 + a 98 b 6 + a 97 b 9 + ... + a b 297 + b 300

e. 1 + 11 + 111 + ... + 11 ... 1 1000 suku

Lihat Penyelesaian
6.

Jika i = 1 44 2 i + k = m = 1 k 80 maka tentukan nilai dari y = k n 90 y - 4905 !


Lihat Penyelesaian

Sifat kelinieran sigma

1. a u i = a u i untuk sembarang konstanta a

2. u i + v i = u i + v i


Sifat pemecahan batas dan pengubahan batas

3. i = a b u i = i = a k u i + i = k + 1 b u i dengan a b c (sifat pemecahan batas)

4. i = a b u i = i = a + m b + m u i - m (sifat penambahan/pengurangan batas)

Contoh :

Diketahui p = 5 20 p 3 = 44000 maka tentukan hasil dari

  1. p = 5 20 2 p 3

  2. p = 5 20 2 p 3 - p

  3. p = 7 19 p 3

  4. p = 6 21 p 3 - 3 p 2 + 3 p - 1

Solusi :

  1. p = 5 20 2 p 3 = 2 p = 5 20 p 3   sifat 1 : kelinieran sigma

    = 2 44000  

    = 88000  

  1. p = 5 20 2 p 3 - p = 2 p = 5 20 p 3 - p = 5 20 p   sifat kelinieran sigma  

    = 2 44000 - 5 + 6 + 7 + + 20 16 suku

    = 88000 - 16 2 5 + 20

    = 87800

  1. p = 7 19 p 3 = p = 5 20 p 3 - p = 5 6 p 3 - p = 20 20 p 3   sifat 3 : pemecahan batas

    = 44000 - 5 3 + 6 3 - 20 3

    = 44000 - 341 - 8000

    = 35659

  1. p = 6 21 p 3 - 3 p 2 + 3 p - 1 = p = 6 21 p - 1 3   sifat 4 : pengubahan batas  

    = p = 6 - 1 21 - 1 p - 1 + 1 3

    = p = 5 20 p 3

    = 44000

Sebagai contoh :

7.

Dari persamaan di bawah ini mana yang benar ?

a. i = 3 100 ( 2 i + i 2 + 3 ) = i = 3 71 ( 2 i + i 2 + 3 ) + i = 72 100 ( 2 i + i 2 + 3 )

b. k = 1 5 3 k + 2 = 245 + k = 1 4 3 k + 2

c. p = 3 11 2 p + 3 = p = 1 9 2 ( p + 2 ) + 3

d. m = 2 20 6 m = m m = 2 20 6

e. y = - 3 11 4 y - 2 = y = - 4 10 4 y + 2

f. y = 1 100 2 y - 3 2 = 4 y = 1 100 y 2 + 9 y = 1 100 1

Lihat Penyelesaian
8.

Diketahui m = 1 87 m 2 = 223300 , maka tentukan

a. m = 1 87 3 m 2

b. m = 1 87 2 m 2 - 10

Lihat Penyelesaian
9.

Diketahui h = 5 115 h 3 = 44488800 , maka tentukan nilai dari

a. h = 1 116 h 3

b. h = 1 110 h + 5 3

Lihat Penyelesaian
10.

Diketahui i = 1 20 i 4 - 3 = 722606 , tentukan

a. i = 1 20 i 4

c. i = 1 20 ( i 4 + i )

b. i = 1 20 ( i 4 - 6 )

d. i = - 1 21 ( i 4 + 3 i - 2 )

Lihat Penyelesaian
11.

Jika k = 1 n 6 k + 2 = 3 n 2 + 5 n maka tunjukkan bahwa

  1. k = 1 n - 1 6 k + 2 = 3 n - 1 2 + 5 n - 1

  2. k = 1 n + 1 6 k + 2 = 3 n + 1 2 + 5 n + 1

Lihat Penyelesaian
12.

Jika y = 1 n 8 y = 8 7 8 n - 1 maka tunjukkan bahwa

  1. y = 1 n - 2 8 y = 8 7 8 n - 2 - 1

  2. y = 1 n + 1 8 y = 8 7 8 n + 1 - 1

Lihat Penyelesaian
13.

Jika i = 1 n i 3 = n 4 + 2 n 3 + n 2 4 maka tunjukkan i = 1 n + 1 i 3 = n + 1 4 + 2 n + 1 3 + n + 1 2 4

Lihat Penyelesaian
14.

Jika i = 1 n 1 16 i 2 - 8 i - 3 = n 4 n + 1 maka tunjukkan i = 1 n + 1 1 16 i 2 - 8 i - 3 = n + 1 4 n + 1 + 1

Lihat Penyelesaian
15.

Tunjukkan bahwa m = 1 2000 m 2 + 10 m + 30 = 10000 + m = 6 2005 m 2 ?


Lihat Penyelesaian

  1. INDUKSI MATEMATIKA

P(n) adalah pernyataan dalam n, benar untuk semua n anggota bilangan asli jika memenuhi

(i) p(1) benar

(ii) jika p(k) benar maka p(k+1) harus benar

Keterangan, dibaca untuk setiap, dibaca anggota, dan anggota bilangan asli.

Contohnya kita akan membuktikan untuk barisan dan deret:

1 2 + 2 2 + 3 3 + + n 2 = n 2 n + 1 n + 1 6 berlaku n N

Bukti : tulisan warna merah adalah keterangan

  1. Untuk n = 1

    Karena bentuknya deret maka untuk n = 1 artinya ruas kiri ambil satu suku, sedangkan ruas kanan n diganti 1

    1 2 = 1 2 + 1 1 + 1 6

    1 = 6 6 terbukti

  1. Untuk n = k dianggap benar

    Pada kasus n = k ini, pernyataan di anggap sebagai sesuatu yang sudah benar, dan harus dipakai untuk pembuktian n = k + 1

    1 2 + 2 2 + 3 3 + + k 2 = k 2 k + 1 k + 1 6

    Akan dibuktikan untuk n = k + 1 juga benar

    Arah pembuktian kita, dari pernyataan yang akan dibuktikan, jika ruas kiri ambil k + 1 suku, maka ruas kanan semua n harus menjadi k + 1

    Seperti ini : 1 2 + 2 2 + 3 3 + + k 2 + k + 1 2 = k + 1 2 k + 1 + 1 k + 1 + 1 6

    1 2 + 2 2 + 3 3 + + k 2 sampai k buah suku + k + 1 2 suku ke k + 1 = k 2 k + 1 k + 1 6 lihat di n = k + k + 1 2

    = k 2 k + 1 k + 1 6 + 6 k + 1 2 6

    = 1 6 k + 1 k 2 k + 1 + 6 k + 1

    = 1 6 k + 1 2 k 2 + 7 k + 6

    = 1 6 k + 1 2 k + 3 k + 2

    = k + 1 2 k + 1 + 1 k + 1 + 1 6 terbukti


Sebagai contoh :

1.

Buktikan bahwa 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 2 n - 1 = n 2 , berlaku nϵℵ

Lihat Penyelesaian

2.

Buktikan i = 1 n i 2 = 1 6 n 2 n + 1 n + 1 berlaku nϵℵ

Lihat Penyelesaian

3.

Buktikan bahwa 3 n - 1 habis dibagi 2, berlaku nϵℵ

Lihat Penyelesaian

4.

Buktikan bahwa 33 n - 17 n habis dibagi 16 , berlaku n N

Lihat Penyelesaian

5.

Bukikan bahwa i = 1 n C 2 i + 10 = C 3 n + 11 - C 3 11 , berlaku n N

Lihat Penyelesaian

6.

Buktikan bahwa i = 1 n 7 i = 7 n + 1 - 7 6 , berlaku n N

Lihat Penyelesaian

7.

Buktikan bahwa 1 + 8 + 27 + 64 + + n 3 = n n + 1 2 4 , berlaku n N

Lihat Penyelesaian

8.

Buktikan bahwa n n 6 - 1 habis dibagi 7 , berlaku n N

Lihat Penyelesaian

9.

Buktikan 1 3 × 7 + 1 7 × 11 + + 1 ( 4 n - 1 ) 4 n + 3 = n 12 n + 9 , berlaku n N

Lihat Penyelesaian

10.

Buktikan bahwa 1 2 1 × 3 + 2 2 3 × 5 + 3 2 5 × 7 + + n 2 2 n + 1 2 n - 1 = n ( n + 1 ) 2 ( 2 n + 1 ) , berlaku n N

Lihat Penyelesaian

11.

Buktikan i = 1 n 1 ( 5 i - 4 ) 5 i + 1 = n 5 n + 1 , berlaku n N

Lihat Penyelesaian

12.

Buktikan 1 × 1 ! + 2 × 2 ! + + n × n ! = n + 1 ! - 1 , berlaku n N

Lihat Penyelesaian

13.

Buktikan bahwa 4 × 16 × 64 × × 4 n = 2 n 2 + n , berlaku n N

Lihat Penyelesaian

14.

Buktikan bahwa 4 n + 1 + 5 2 n - 1 habis dibagi 21 , berlaku n N

Lihat Penyelesaian

15.

Buktikan bahwa 2 3 n + 1 habis dibagi 3 n + 1 , berlaku n N

Lihat Penyelesaian

16.

1 × 2 + 2 × 2 2 + 3 × 2 3 + + n × 2 n = 2 1 + n - 1 2 n , berlaku n N

Lihat Penyelesaian

17.

n+12<2n2 , berlaku untuknN dengan n3 ,

Lihat Penyelesaian

18.

Diketahui h n = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + + 1 n , contoh h 1 = 1 , h 2 = 1 + 1 2 , h 3 = 1 + 1 2 + 1 3 dan seterusnya.

Buktikan bahwa : n + h 1 + h 2 + h 3 + h 4 + + h n - 1 = nh n

Berlaku berlaku n N dengan n 2

Lihat Penyelesaian

19.

1 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 + + n 3 = 1 + 2 + 3 + 4 + + n 2 , berlaku n N

Lihat Penyelesaian

20.

1 2 - 2 2 + 3 2 - 4 2 + 5 2 - 6 2 + + ( - 1 ) n + 1 n 2 = - 1 n + 1 n ( n + 1 ) 2 , nϵN

Lihat Penyelesaian

21.

2903 n - 803 n - 464 n + 261 n habis dibagi 271 , berlaku n N

Lihat Penyelesaian

  1. TELESKOPING

Teleskoping di sini identik dengan melihat jarak yang sangat jauh seoalah-olah menjadi dekat. Dalam deret, yang dimaksud dengan Teleskoping adalah penjumlahan berhingga bilangan yang punya pola tertentu dan punya penyelesaian yang unik.

Penyelesaian unik yang di maksud adalah penjumlahan yang panjang dengan strategi aljabar mengubah penjumlahan berhingga di tengahnya bernilai 0 .

Contoh :

  1. Diketahui rumus suku ke n sebuah barisan adalah u n = 1 n + n + 1 maka tentukan jumlah jumlah 99 suku pertamanya !

    Jawab :

    Diketahui u n = 1 n + n + 1 , ditanya S 99

    u n = 1 n + n + 1 × n + 1 - n n + 1 - n

    = n + 1 - n n + 1 - n

    = n + 1 - n

    S 99 = u 1 + u 2 + u 3 + + u 98 + u 99

    = 1 2 + 1 + 1 3 + 2 + 1 4 + 3 + + 1 99 + 98 + 1 100 + 99

    = 2 - 1 + 3 - 2 + 4 - 3 + + 99 - 98 + 100 - 99

    = - 1 + 2 - 2 + 3 - 3 + + 99 - 99 j u m l a h n y a = 0 + 100

    = - 1 + 0 + 0 + + 0 + 100

    = - 1 + 10

    = 9

  1. Tentukan hasil dari 110+140+188+1154+1238+1340++195002+3500-2

    Jawab :

    S = 1 10 + 1 40 + 1 88 + 1 154 + 1 238 + 1 340 + + 1 9 500 2 + 3 500 - 2

    = n = 1 500 1 9 n 2 + 3 n - 2

    = n = 1 500 1 3 n - 1 3 n + 2

    = n = 1 500 1 3 1 3 n - 1 - 1 3 n + 2

    = 1 3 1 2 - 1 5 + 1 5 - 1 8 + 1 8 - 1 11 + 1 11 - 1 14 + + 1 1499 - 1 1502

    = 1 3 1 2 + - 1 5 + 1 5 + - 1 8 + 1 8 + - 1 11 + 1 11 + + - 1 1499 + 1 1499 j u m l a h n y a = 0 - 1 1502

    = 1 3 1 2 - 1 1502

    = 1 3 750 1502

    = 125 751

    Jadi 1 10 + 1 40 + 1 88 + 1 154 + 1 238 + 1 340 + + 1 9 500 2 + 3 500 - 2 = 125 751


Sebagai contoh :

1.

U n = n + 1 - n n 2 + n , Tentukan nilai dari S 323

Lihat Penyelesaian

2.

Tentukan hasil dari 1 3 + 13 + 1 13 + 23 + 1 23 + 33 + 1 33 + 43 + + 1 353 + 363

Lihat Penyelesaian

3.

Tentukan hasil dari 1 2 1 + 1 2 + 1 3 2 + 2 3 + 1 4 3 + 3 4 + + 1 400 399 + 399 400

Lihat Penyelesaian

4.

Tentukan hasil dari 1 3 + 1 15 + 1 35 + 1 63 + 1 99 + + 1 4 ( 100 ) 2 - 1

Lihat Penyelesaian

5.

Tentukan hasil dari 1 99 + 1 143 + 1 195 + 1 255 + 1 323 + 1 399 + + 1 4 600 2 + 32 600 + 63

Lihat Penyelesaian

6.

Tunjukkan bahwa 1 5 + 1 45 + 1 117 + 1 221 + 1 357 + + 1 16 n 2 - 8 n - 3 = n 4 n + 1

Lihat Penyelesaian

7.

Tunjukkan bahwa 1 55 + 1 187 + 1 391 + 1 667 + 1 1015 + + 1 36 n 2 + 24 n - 5 = n 30 n + 25

Lihat Penyelesaian

8.

Tunjukkan bahwa 1 2 1 × 3 + 2 2 3 × 5 + 3 2 5 × 7 + + n 2 2 n - 1 2 n + 1 = n ( n + 1 ) 2 ( 2 n + 1 )

Lihat Penyelesaian
9.

Tentukan hasil dari M = 1 1 + 1 1 + 2 + 1 1 + 2 + 3 + 1 1 + 2 + 3 + 4 + + 1 1 + 2 + 3 + 4 + + 2017

Lihat Penyelesaian
10.

Tentukan hasil dari sin 2 ° + sin 4 ° + sin 6 ° + sin 8 ° + sin 10 ° + + sin 88 °

Lihat Penyelesaian
11.

Diketahui rumus suku ke n sebuah barisan adalah U n = 4 n + 4 n 2 - 1 2 n + 1 + 2 n - 1 maka tentukan jumlah 312 suku pertamanya !

Lihat Penyelesaian
12.

Diketahui rumus suku ke n sebuah barisan adalah U n = 1 n 2 + 2 n + 1 3 + n 2 - 1 3 + n 2 - 2 n + 1 3 maka tentukan u 1 + u 3 + u 5 + u 7 + u 9 + + u 999

Lihat Penyelesaian
13.

Tentukan hasi dari 1 + 1 1 2 + 1 2 2 + 1 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 + 1 3 2 + 1 4 2 + + 1 + 1 99 2 + 1 100 2

Lihat Penyelesaian
14.

Tentukan hasil dari 2 + 3 2 1 ! + 2 ! + 3 ! + 4 ! + 3 + 4 2 2 ! + 3 ! + 4 ! + 5 ! + 4 + 5 2 3 ! + 4 ! + 5 ! + 6 ! + + 99 + 100 2 98 ! + 99 ! + 100 ! + 101 !

Lihat Penyelesaian
15.

Tentukan hasil dari 1 1 + 1 2 + 1 4 + 2 1 + 2 2 + 2 4 + 3 1 + 3 2 + 3 4 + + 1 1 + 25 2 + 25 4

Lihat Penyelesaian