1. INDUKSI MATEMATIKA

P(n) adalah pernyataan dalam n, benar untuk semua n anggota bilangan asli jika memenuhi

(i) p(1) benar

(ii) jika p(k) benar maka p(k+1) harus benar

Keterangan, dibaca untuk setiap, dibaca anggota, dan anggota bilangan asli.

Contohnya kita akan membuktikan untuk barisan dan deret:

1 2 + 2 2 + 3 3 + + n 2 = n 2 n + 1 n + 1 6 berlaku n N

Bukti : tulisan warna merah adalah keterangan

  1. Untuk n = 1

    Karena bentuknya deret maka untuk n = 1 artinya ruas kiri ambil satu suku, sedangkan ruas kanan n diganti 1

    1 2 = 1 2 + 1 1 + 1 6

    1 = 6 6 terbukti

  1. Untuk n = k dianggap benar

    Pada kasus n = k ini, pernyataan di anggap sebagai sesuatu yang sudah benar, dan harus dipakai untuk pembuktian n = k + 1

    1 2 + 2 2 + 3 3 + + k 2 = k 2 k + 1 k + 1 6

    Akan dibuktikan untuk n = k + 1 juga benar

    Arah pembuktian kita, dari pernyataan yang akan dibuktikan, jika ruas kiri ambil k + 1 suku, maka ruas kanan semua n harus menjadi k + 1

    Seperti ini : 1 2 + 2 2 + 3 3 + + k 2 + k + 1 2 = k + 1 2 k + 1 + 1 k + 1 + 1 6

    1 2 + 2 2 + 3 3 + + k 2 sampai k buah suku + k + 1 2 suku ke k + 1 = k 2 k + 1 k + 1 6 lihat di n = k + k + 1 2

    = k 2 k + 1 k + 1 6 + 6 k + 1 2 6

    = 1 6 k + 1 k 2 k + 1 + 6 k + 1

    = 1 6 k + 1 2 k 2 + 7 k + 6

    = 1 6 k + 1 2 k + 3 k + 2

    = k + 1 2 k + 1 + 1 k + 1 + 1 6 terbukti


Sebagai contoh :

1.

Buktikan bahwa 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 2 n - 1 = n 2 , berlaku nϵℵ

Lihat Penyelesaian

2.

Buktikan i = 1 n i 2 = 1 6 n 2 n + 1 n + 1 berlaku nϵℵ

Lihat Penyelesaian

3.

Buktikan bahwa 3 n - 1 habis dibagi 2, berlaku nϵℵ

Lihat Penyelesaian

4.

Buktikan bahwa 33 n - 17 n habis dibagi 16 , berlaku n N

Lihat Penyelesaian

5.

Bukikan bahwa i = 1 n C 2 i + 10 = C 3 n + 11 - C 3 11 , berlaku n N

Lihat Penyelesaian

6.

Buktikan bahwa i = 1 n 7 i = 7 n + 1 - 7 6 , berlaku n N

Lihat Penyelesaian

7.

Buktikan bahwa 1 + 8 + 27 + 64 + + n 3 = n n + 1 2 4 , berlaku n N

Lihat Penyelesaian

8.

Buktikan bahwa n n 6 - 1 habis dibagi 7 , berlaku n N

Lihat Penyelesaian

9.

Buktikan 1 3 × 7 + 1 7 × 11 + + 1 ( 4 n - 1 ) 4 n + 3 = n 12 n + 9 , berlaku n N

Lihat Penyelesaian

10.

Buktikan bahwa 1 2 1 × 3 + 2 2 3 × 5 + 3 2 5 × 7 + + n 2 2 n + 1 2 n - 1 = n ( n + 1 ) 2 ( 2 n + 1 ) , berlaku n N

Lihat Penyelesaian

11.

Buktikan i = 1 n 1 ( 5 i - 4 ) 5 i + 1 = n 5 n + 1 , berlaku n N

Lihat Penyelesaian

12.

Buktikan 1 × 1 ! + 2 × 2 ! + + n × n ! = n + 1 ! - 1 , berlaku n N

Lihat Penyelesaian

13.

Buktikan bahwa 4 × 16 × 64 × × 4 n = 2 n 2 + n , berlaku n N

Lihat Penyelesaian

14.

Buktikan bahwa 4 n + 1 + 5 2 n - 1 habis dibagi 21 , berlaku n N

Lihat Penyelesaian

15.

Buktikan bahwa 2 3 n + 1 habis dibagi 3 n + 1 , berlaku n N

Lihat Penyelesaian

16.

1 × 2 + 2 × 2 2 + 3 × 2 3 + + n × 2 n = 2 1 + n - 1 2 n , berlaku n N

Lihat Penyelesaian

17.

n+12<2n2 , berlaku untuknN dengan n3 ,

Lihat Penyelesaian

18.

Diketahui h n = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + + 1 n , contoh h 1 = 1 , h 2 = 1 + 1 2 , h 3 = 1 + 1 2 + 1 3 dan seterusnya.

Buktikan bahwa : n + h 1 + h 2 + h 3 + h 4 + + h n - 1 = nh n

Berlaku berlaku n N dengan n 2

Lihat Penyelesaian

19.

1 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 + + n 3 = 1 + 2 + 3 + 4 + + n 2 , berlaku n N

Lihat Penyelesaian

20.

1 2 - 2 2 + 3 2 - 4 2 + 5 2 - 6 2 + + ( - 1 ) n + 1 n 2 = - 1 n + 1 n ( n + 1 ) 2 , nϵN

Lihat Penyelesaian

21.

2903 n - 803 n - 464 n + 261 n habis dibagi 271 , berlaku n N

Lihat Penyelesaian