1. DERET GEOMETRI KONVERGEN

Sebuah barisan dikatakan konvergen apabila barisan barisan tersebut menuju ke sebuah nilai tertentu.

Untuk barisan geometri yang konvergen nilai tertentu tersebut adalah 0.

Untuk deret geometri konvergen limit jumlah tak hingganya (jumlah semua sukunya) adalah

S = a 1 - r dengan r < 1 , r 0

Atau : - 1 < r < 1 dan r 0


Contoh :

  1. Tentukan hasil dari

    a. 81 + 54 + 36 + 24 + 16 +

    b. 8 - 4 + 2 - 1 + 1 2 - 1 4 + 1 8 - 1 16 +

    c. p = - 1 4 3 - p

    Jawab :

    a. 81 + 54 + 36 + 24 + 16 +

    suku pertamanya a = 81 dan rasionya adalah r = 54 81 = 2 3

    S = a 1 - r S = 81 1 - 2 3 jadi S = 243

    Sehingga : 81 + 54 + 36 + 24 + 16 + = 243

    b. 8 - 4 + 2 - 1 + 1 2 - 1 4 + 1 8 - 1 16 +

    suku pertamanya a = 8 dan rasionya adalah r = - 4 8 = - 1 2

    S = a 1 - r S = 8 1 - - 1 2 jadi S = 16 3

    Sehingga : 8 - 4 + 2 - 1 + 1 2 - 1 4 + 1 8 - 1 16 + = 16 3

    c. p = - 1 4 3 - p = 4 3 1 + 4 3 0 + 4 3 - 1 + 4 3 - 2 +

    = 4 3 + 1 + 3 4 + 9 16 +  

    deret geometri kovergen dengan a = 4 3 dan r = 3 4

    = 4 3 1 - 3 4   S = a 1 - r

    = 16 3

  1. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 10 meter, setiap kali memantul ketinggiannya akan berkurang 20%, tentukan panjang lintasan bola sampai berhenti !

    Jawab :

    DERET GEOMETRI TAK HINGGA

    Panjang lintasan = 10 + 2 8 + 6,4 +

    = 10 + 2 8 1 - 0,8     S = a 1 - r dengan a = 8 dan r = 0,8

    = 10 + 2 40

    = 90 meter

  1. Diketahui deret geometri konvergen dengan limit jumlah tak hingganya adalah 256 dan jumlah semua suku bernomor ganjil adalah 1024 7 . Tentukan jumlah 4 suku pertamanya !

    Jawab :

    Deret geometri : a + ar + a r 2 + a r 3 + a r 4 + a r 5 + a r 6 +

    limit jumlah tak hingganya adalah 256

    a 1 - r = 256      atau a = 256 1 - r

    jumlah semua suku bernomor ganjil adalah

    1024 7 a 1 - r 2 = 1024 7      atau a = 1024 7 1 - r 2

    Suku-suku bernomor ganjilnya : a + a r 2 + a r 4 + a r 6 +

    Jadi a = 256 1 - r a = 1024 7 1 - r 1 + r ( 1 ) ( 2 )

    Dengan membagi persamaan 2 dengan persamaan 1 didapat :

    1 = 4 7 1 + r 1 = 4 7 + 4 7 r

    4 7 r = 3 7 didapat r = 3 4

    Dengan mensubstitusikan r = 3 4 ke persamaan a = 256 1 - r didapat a = 64

    S 4 = 64 + 48 + 36 + 27

    = 175

  1. Tentukan batas nilai x agar : x + 1 + x 2 - 1 + x 2 - 1 x - 1 + merupakan deret geometri konvergen !

    Jawab :

    x + 1 u 1 + x 2 - 1 u 2 + x 2 - 1 x - 1 u 3 +

    Rasionya : r = u 2 u 1 = x 2 - 1 x + 1 = x + 1 x - 1 x + 1 = x - 1

    Syarat deret geometri konvergen adalah - 1 < r < 1 dan r 0

    • Syarat pertama - 1 < r < 1

      - 1 < x - 1 < 1      kedua ruas ditambah 1

      0 < x < 2

    • Syarat kedua : r 0

      x - 1 0

      x 0

      Jadi batas nilai x adalah : 0 < x < 2 , dan x 1

Sebagai contoh :

1.

Barisan dikatakan konvergen jika nilai barisan ini menuju ke sebuah nilai tertentu. Beberapa buah barisan ini, mana yang merupakan barisan geometri konvergen ?

a. 4, 2, 1, 1 2 , 1 4 , ...

c. 1 , 2 , 4 , 8 , 16 , ...

b. 256, -192, 144, -108, 81, ...

d. 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 , 5 6 , 6 7 , ...

Lihat Penyelesaian
2.

Tentukan jumlah tak hingga dari deret geometri dibawah ini

a. 4 + 2 + 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + ...

b. 27 - 9 + 3 - 1 + 1 3 - 1 9 + ...

c. 256 - 128 2 + 128 - 64 2 + 64 - 32 2 + 32 -

d. 1.2 + 0,02 + 0,002 + 0,0002 + 0,00002 + 0,000002 +

Lihat Penyelesaian
3.

Tentukan limit jumlah tak hingga dari deret geometri jika diketahui

  1. Jumlah n suku pertamanya adalah S n = 6 1 - 1 2 n

  2. Rumus suku ke n nya adalah u n = 3 n + 1 2 2 n - 1

Lihat Penyelesaian
4.

Tentukan limit jumlah tak hinnga dari deret geometri di bawah ini jika diketahui

  1. S 4 = 150 dan S 8 = 200

  2. U 3 = 500 dan U 6 = 32

Lihat Penyelesaian
5.

Untuk x k 2 π dengan k bilangan bulat maka tunjukkan

  1. cos x + sin x cos x + sin 2 x cos x + sin 3 x cos x + = 1 + sin x cos x

  2. sin x + sin x cos x + sin x cos 2 cos 2 x + sin x cos 3 cos 3 x + = csc x + cot x

Lihat Penyelesaian
6.

Tentukan batas nilai x agar deret geometri di bawah ini konvergen

  1. 3 + 6 x + 1 + 12 x + 1 2 + 24 x + 1 3 + 48 x + 1 4 +

  2. 4 x 2 + 4 x + 1 + 2 x + 1 + 1 + 1 2 x + 1 + 1 4 x 2 + 4 x + 1 +

  3. log x + 2 + log 2 x + 2 + log 3 x + 2 + log 4 x + 2 +

Lihat Penyelesaian
7.

Tentukan batas nilai m yang memenuhi, jika diketahui

  1. deret geometri konvergen dengan suku pertamanya m dan limit jumlah tak hingganya adalah 10

  2. deret geometri konvergen dengan suku pertamanya 12 - 2 m dan limit jumlah tak hingganya adalah 6

Lihat Penyelesaian
8.

Deret geometri konvergen dengan limit jumlah takhingganya 81 4 dan jumlah semua suku bernomor genapnya - 81 8 , Tentukan suku kelimanya !


Lihat Penyelesaian
9.

Jika 2 x , x - 5 , 33 - x adalah tiga suku pertama barisan geometri yang konvergen, maka tentukan limit jumlah tak hingganya !


Lihat Penyelesaian
10.

Tentukan hasil dari

  1. 1 3 + 2 9 + 3 27 + 4 81 + 5 243 + 6 729 + 7 2187 + ...

  2. 1 4 + 3 16 + 5 64 + 7 256 + 9 1024 +

  3. 1 5 - 4 25 + 7 125 - 10 625 + 13 3125 -

Lihat Penyelesaian
11.

Jika α dan β adalah akar-akar dari persamaan 3 x 2 - 6 x + 1 = 0 , maka tentukan limit jumlah tak hingga dari deret

  1. α + β + α 2 β + α β 2 + α 3 β + α β 3 + α 4 β + α β 4 +

  2. α 2 + β 2 + α 2 + β 2 α + β + α 2 + β 2 α + β 2 + α 2 + β 2 α + β 3 + α 2 + β 2 α + β 4 + α 2 + β 2 α + β 5 +

Lihat Penyelesaian
12.

Jika a , bc ¯ artinya a , bcbcbcbcbcbcbcbcbcbcb dengan tak hingga pengulangan bc maka tentukan nilai dari

a. 3 , 12 ¯

b. 6,1 234 ¯

Lihat Penyelesaian
13.

Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian tertentu, dan setiap kali memantul ketinggiannya berkurang 25 % , Jika panjang seluruh lintasan bola sampai berhenti adalah 56 m , maka tentukan tinggi pantulan ketiga !

Lihat Penyelesaian
14.

Diketahui segitiga pertama adalah segitiga samasisi dengan keliling 18 cm , di dalam segitiga tersebut dibuat sebuah segitiga kedua di mana titik-titik sudut segitiga kedua berada di tengah masing masing sisi segitiga pertama. Di dalam segitiga kedua terdapat segitiga ketiga dengan pola yang sama dengan segitiga kedua yang berada di segitiga pertama. Dan seterusnya dibuat segitiga keempat, kelima,... dengan pola sama. Tentukan luas seluruh segitiga yang terbentuk !

Lihat Penyelesaian
15.

Pada lingkaran berjari-jari 20 cm didalamnya dibuat segitiga sama sisi yang titik sudutnya terletak pada lingkaran, kemudian pada segitiga sama sisi dibuat lingkaran kedua yang menyinggung sisi-sisi segitiga, kemudian pada lingkaran kedua dibuat segitiga sama sisi yang kedua dimana titik sudutnya terletak pada lingkaran kedua. Proses ini dilanjutkan terus menerus, maka tentukan jumlah luas semua lingkaran dan semua segitiga !

Lihat Penyelesaian