A. KOMBINATORIK DENGAN CARA MANUAL (LOGIKA)

Kombinatorik adalah ilmu yang mempelajari tentang menghitung banyaknya cara, atau banyaknya kemungkinan.

Dalam menghitung banyaknya kemungkinan, ada rumus permutasi dan kombinasi, selain itu harus di selesaikan dengan menggunakan cara manual atau dengan gabungan ketiga cara ini.

Penghitungan banyak cara dengan cara manual adalah penghitungan dengan trik-trik tertentu atau dengan dihitung satu persatu dari seluruh kemungkinan yang ada.



Sebagai contoh :

1.

Pada gambar diatas, tanda panah menunjukkan jalan searah, berapa banyak cara melakukan perjalanan berbeda dari kota A ke kota D ?


Lihat Penyelesaian
2.

Berapa banyaknya cara berbeda melakukan perjalanan dari A ke B, jika hanya diperbolehkan ke kanan dan ke bawah saja ?


Lihat Penyelesaian
3.

Tentukan banyaknya persegi berbeda yang bisa dibuat pada gambar di samping ini ?


Lihat Penyelesaian

B. ATURAN PENGISIAN TEMPAT TERSEDIA

Aturan pengisian tempat tersedia penghitungan banyaknya kemungkinan dengan menggunakan tempat-tempat dengan aturan pengisiannya sesuai dengan model soalnya.

Selain aturan pengisian tempat tersedia, bisa juga menggunakan tabel silang dan pohon faktor yang contohnya akan dijelaskan di contoh soal dan penyelesaiannya.

Untuk bilangan yang terdiri dari n angka, tidak boleh ada angka 0 di depan, sebagai ilustrasi

Bilangan 0345 adalah bilangan yang bukan terdiri dari 4 angka, karena ada angka 0 di depan, jadi 0345 sama artinya dengan 345 yang hanya terdiri dari 3 angka.



Sebagai contoh :

1.

Tentukan banyaknya cara menyusun kata MODERN jika huruf pertama dan terakhir harus konsonan ?


Lihat Penyelesaian
2.

Tentukan banyaknya bilangan yang terdiri dari 3 angka yang disusun dari angka-angka 0,1,2,3,4,5 dan 7 jika

a. angkanya boleh berulang

b. angkanya tidak boleh berulang


Lihat Penyelesaian
3.

Tentukan banyaknya bilangan ganjil terdiri dari 4 angka berbeda yang di susun dari angka-angka 0,1,2,3,4,5,6,7 dan 8 ?


Lihat Penyelesaian
4.

Tentukan banyaknya bilangan kelipatan 5 terdiri dari tiga angka berbeda yang disusun dari angka 0 sampai dengan 9 ?


Lihat Penyelesaian
5.

Budi mempunyai 3 celana jeans yang berbeda, 5 kaos berbeda, dan 2 topi yang berbeda.

  1. Berapa banyak cara Budi tampil beda (anggap budi selalu memakai celana jeans, kaos, dan topi) ?

  2. Gambarkan semua kemungkinannya ?


Lihat Penyelesaian

C. PERMUTASI (Kata Dasar : Menyusun , Merangkai)

Permutasi adalah susunan yang memperhatikan urutan

Definisi : n ! = n × n - 1 × n - 2 × n - 3 × × 3 × 2 × 1 untuk n bilangan asli

0 ! = 1 (definisi)

1 ! = 1

3 ! = 3 × 2 × 1

2 ! = 1 × 2

8 ! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1

P r n = n ! ( n - r ) ! penulisan lain nPr atau P ( n , r )

Penghitungan dengan cara cepat, setelah rumus di atas disederhanakan :

P 2 4 = 4 × 3

P 4 10 = 10 × 9 × 8 × 7

P 3 7 = 7 × 6 × 5

P 5 20 = 20 × 19 × 18 × 17 × 16

Secara umum rumus P r n = n ! ( n - r ) ! = n n - 1 ( n - r + 1 )

Dan P n n = n ! contoh : P 10 10 = 10 ! , P 6 6 = 6 !



Sebagai contoh :

1.

Tentukan hasil dari

a. P 3 8

c. 20 ! 18 !

b. P 5 20 + P 5 19 P 3 19

d. n ! n - 2 !

Lihat Penyelesaian
2.

Jika 3 P 3 n = 14 P 2 n + 1 maka tentukan P 2 n ?

Lihat Penyelesaian
3.

Jika 2 P 4 2 n + 1 = 57 P 4 n maka tentukan nilai 14 P 3 n 3 P 3 2 n - 4

Lihat Penyelesaian

Teknik perhitungan dengan permutasi

  1. Banyaknya cara menyusun r unsur dari n unsur berbeda yang tersedia adalah P r n

    Contoh: Banyaknya cara menyusun 3 huruf dari kata KLIWON adalah P 3 6

  2. Banyaknya cara menyusun semua dari n unsur yang memuat beberapa unsur sebanyak k , l , m , adalah n ! k ! l ! m !

    Contoh : Banyaknya menyusun kata SUSUSAPI adalah 8 ! 3 ! . 2 !

  3. Banyaknya cara menyusun n unsur berbeda secara melingkar (siklis) adalah
    ( n - 1 ) !

    Contoh : menyusun huruf ABCDE secara siklis adalah 5 - 1 ! = 4 !

  4. Banyaknya menyusun r unsur dari n unsur berbeda dan boleh berulang adalah n r

    Contoh : Banyaknya bilangan terdiri dari 3 angka yang di susun dari angka 1 sampai dengan 5 dan boleh memuat angka yang sama adalah 5 3

4.

Tulislah semua kemungkinan kemudian cocokkan dengan rumus permutasi ?

a. Menyusun huruf ABC

b. Menyusun 2 huruf dari kata LAZIO

c. Menyusun huruf ABCD secara siklis

Lihat Penyelesaian
5.

Tulislah semua kemungkinan kemudian cocokkan dengan rumus

a. menyusun 2 huruf dari huruf-huruf A,B,C, dan D boleh berulang

b . menyusun 3 huruf dari huruf-huruf A, dan B boleh berulang

Lihat Penyelesaian
6.

Tentukan banyaknya

a. cara menyusun 3 huruf dari kata KOPERASI

b. cara menyusun kata AKSIOMAID

c. cara menyusun kata MILANO secara siklis

d. bilangan 3 angka yang disusun dari angka 1 sampai 7 dan angkanya boleh berulang

Lihat Penyelesaian
7.

Tentukan banyak cara menyusun kata MANIFESTO jika

a. posisi bebas

b. huruf vocal dan konsonan berselang seling

c. huruf konsonan berkelompok

d. huruf vocal dan konsonan masing-masing berkelompok

Lihat Penyelesaian

D. KOMBINASI (Kata Dasar : Mengambil , Memilih)

Kombinasi adalah susunan yang tidak memperhatikan urutan

Definisi : C r n = n ! r ! ( n - r ) !

Contoh : C 3 7 = 7 ! 3 ! ( 7 - 3 ) ! = 7 ! 3 ! 4 ! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 3 × 2 × 1 × ( 4 × 3 × 2 × 1 ) = 7 × 6 × 5 1 × 2 × 3 = 35

Strategi menghitung kombinasi

C 2 8 = 8 × 7 ( dari 8 dijabarkan 2 kali ) 1 × 2 ( dari 1 dijabarkan 2 kali ) = 28 , C 3 10 = 10 × 9 × 8 1 × 2 × 3 , C 2 20 = 20 × 19 1 × 2

C 3 10 = C 7 10 , C 26 30 = C 4 30 , C 998 1000 = C 2 1000

Secara umum C r n = n n - 1 ( n - r + 1 ) 1 × 2 × × r



Sebagai contoh :

1.

Tentukan hasil dari

a. C 3 10 + C 2 6

c. C 5 20 × 5 ! - P 5 20

b. C 3 9 - P 3 9

d. C r n × r ! - P r n

Lihat Penyelesaian
2.

Tentukan C 2 n jika

a. C 3 n = C 4 n

b. 11 P 3 n = 6 C 3 2 n

Lihat Penyelesaian
3.

Tunjukkan bahwa C r n = C n - r n dan kemudian hitunglah

a. C 48 50

b. C 3 100 - C 97 100

Lihat Penyelesaian

Cara menghitung banyak cara dengan kombinasi

  • Banyaknya cara mengambil/memilih r unsur dari n unsur berbeda yang tersedia adalah C r n

    Contoh : banyaknya cara mengambil 4 huruf dari kata KOPERASI adalah C 4 8

Sebagai Contoh :

4.

Tulislah semua kemungkinan kemudian cocokkan dengan rumus

a. mengambil 2 huruf dari kata ABCDE

b. memilih 4 huruf dari kata VIETNAM

Lihat Penyelesaian
5.

Tentukan banyaknya cara

  1. memilih 3 orang dari siswa kelas X A yang berjumlah 25 orang untuk ikut mewakili lomba debat bahasa Indonesia

  2. memilih 5 orang dari 6 orang laki-laki dan 4 orang perempuan jika disyaratkan paling banyak 2 orang perempuan yang terpilih.

Lihat Penyelesaian
6.

Tentukan banyaknya cara

  1. membagi 4 orang menjadi 2 kelompok, dan masing-masing kelompok 2 orang

  2. membagi 5 orang menjadi 2 kelompok yang terdiri dari 2 orang dan 3 orang.

  3. membagi 9 mainan yang berbeda kepada 3 orang secara adil

Lihat Penyelesaian
7.

Seorang manajer dangdut membawa 5 penyanyi wanita dan 4 penyanyi pria, karena keterbatasan waktu hanya akan ditampilkan 6 orang penyanyi, tentukan banyaknya cara memilih yang tampil jika

  1. yang ditampilkan bebas.

  2. yang tampil maksimal 2 penyanyi pria.

Lihat Penyelesaian
8.

Dari 8 buah titik yang terletak pada sebuah lingkaran, tentukan

  1. banyaknya garis yang dapat dibuat.

  2. banyaknya segitiga berbeda yang dapat dibuat.

Lihat Penyelesaian
9.

Tentukan banyaknya diagonal yang dapat dibentuk dari segi enam beraturan

Lihat Penyelesaian
10.

Tentukan banyaknya segitiga yang dapat dibentuk dari segi 10 beraturan tetapi tidak boleh menggunakan sisi-sisi segi 10 tersebut

Lihat Penyelesaian
11.

Berapa banyaknya bilangan terdiri dari 3 angka abc ̅ jika

  1. a < b < c

  2. a > b > c

  3. a b c

Lihat Penyelesaian

E. GABUNGAN MANUAL,PENGISIAN TEMPAT, PERMUTASI , dan KOMBINASI

Beberapa teori di atas hanya bisa menghitung untuk soal-soal yang masih sederhana, jika semakin kompleknya soal, maka kita gunakan gabungan dari cara manual, pengisian tempat, permutasi, dan kombinasi

Sebagai ilustrasi

1. Bagaimana jika kita diminta menyusun 4 huruf dari kata MATEMATIKA

2. Bagaimana jika kita diminta mengambil 3 huruf dari pembentuk kata SUSUSAPI

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal dibawah ini



Sebagai contoh :

1.

Tentukan banyak cara memilih 3 orang dari sebuah kelas yang mempunyai jumlah murid sebanyak 30 orang untuk dijadikan ketua, wakil, dan bendahara ?


Lihat Penyelesaian
2.

Tentukan banyak cara mengambil 3 huruf dari pembentuk kata SUSUSAPI ?


Lihat Penyelesaian
3.

Tentukan banyak cara menyusun 4 huruf dari kata MATEMATIKA ?


Lihat Penyelesaian
4.

Tentukan banyak cara menyusun kata BARCELONA jika huruf vocal tidak ada yang berdampingan ?


Lihat Penyelesaian
5.

Berapa banyak cara menyusun 5 huruf dari kata PYRAMID jika huruf Y dan I tidak boleh berdampingan ?


Lihat Penyelesaian

F. PENJABARAN BINOM

Penjabaran binom adalah penjabaran bentuk pemangkatan dari dua buah bilangan.

a + b 2 = a 2 + 2 ab + b 2

a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 + b 3

a + b 4 = a 4 + 4 a 3 b + 6 a 2 b 2 + 4 ab 3 + b 4

a + b n = i = 0 n C i n . a n - i . b i



Sebagai contoh :

1.

Tentukan hasil dari 2 x - 3 5


Lihat Penyelesaian
2.

Tentukan koefisien x 2 pada 2 x - 3 5 ?


Lihat Penyelesaian

(Materi selanjutnya di bahas di bab PENJABARAN BINOM)