A. KEJADIAN, DAN RUANG SAMPEL

Ruang sampel adalah himpunan semua kejadian dari sebuah percobaan, dilambangkan S .

Kejadian atau peristiwa adalah himpunan bagian dari ruang sampel, biasanya dilambangkan dengan huruf capital selain S.

Banyaknya semua kejadian atau banyaknya anggota sampel ditulis n ( S ) , sedangkan banyaknya kejadian A ditulis n ( A )

Misalnya : sebuah percobaan pelemparan sebuah dadu

Ruang sampelnya adalah himpunan semua munculnya mata dadu, S = 1,2 , 3,4 , 5,6

Kejadiannya bisa kita definisikan menjadi banyak sekali seperti

Kejadian munculnya bilangan prima, A = 2 , 3 , 5 n A = 3

Kejadian munculnya bilangan genap, B = 2 , 4 , 6 n B = 3

Kejadian munculnya bilangan kelipatan 3, C = 3 , 6 n C = 2

Dan seterusnya



Sebagai contoh :

1.

Dari satu set kartu bernomor dari 1 sampai dengan 12, diambil sebuah kartu. Jika Q adalah kejadian terambilnya kartu bernomor prima, maka tentukan

a. Himpunan ruang sampel

b. Himpunan kejadian Q

c. banyaknya anggota dari ruang sampel dan banyknya anggota dari Q

Lihat Penyelesaian
2.

Tiga buah huruf diambil dari penyusun kata “BADAN ”,

a. tentukan ruang sampel dan banyaknya anggota sampelnya ?

b. K ada lah kejadian terambilnya huruf N, maka tentukan himpunan K dan banyaknya anggota K ?

Lihat Penyelesaian
3.

Tiga buah uang logam di tos, anggap uang bersisi angka (A) dan gambar (G),

a. tentukan ruang sampel dan banyaknya anggota sampelnya

b. M adalah kejadian munculnya 2A,1G , maka tentukan himpunan M dan banyaknya anggota M

Lihat Penyelesaian
4.

Dua buah dadu di tos, (mata dadu bernomor 1 sampai 6)

a. tentukan ruang sampel dan banyaknya anggota sampelnya

b. P adalah kejadian munculnya jumlah dua mata dadu sama dengan 5 , maka tentukan himpunan P dan banyaknya anggota P

Lihat Penyelesaian

B. PELUANG SUATU KEJADIAN dan FREKUENSI HARAPAN

Peluang kejadian A didefinisikan dengan P A = n ( A ) n ( S )       (S = ruang sampel)

Peluang kejadian A adalah :

 

banyaknya kejadian dari A atau n ( A ) dibagi dengan banyaknya semua kejadian yang mungkin n ( S ) .

Peluang kejadian bukan A adalah P A ' = 1 - P ( A )



Sebagai contoh :

1.

Dari kata “BANJIR” disusun secara acak, tentukan peluang tersusunnya huruf vocal berkelompok ?

Lihat Penyelesaian
2.

Tentukan peluang munculnya

a. mata dadu bernomor prima jika sebuah dadu di tos ?

b. jumlah 2 mata dadu sama dengan 8 jika dua buah dadu di tos ?

c. Jumlah 3 mata dadu tidak sam a dengan 6, jika 3 mata dadu di tos ?

Lihat Penyelesaian
3.

Anggap uang logam bermuka angka dan gambar, tentukan peluang munculnya

a. 1 gambar dan 1 angka jika 2 uang logam di tos ?

b. 3 gambar dan 1 angka jika 4 uang logam di tos ?

Lihat Penyelesaian
4.

Dalam sebuah kotak terdapat 3 bola merah, 2 bola putih, dan 4 bola biru. Dari kotak tersebut diambil 3 bila secara acak, tentukan peluang terambilnya

a. 2 bola merah dan 1 bola biru

b. ketiganya bola biru

c . ada bola merah

Lihat Penyelesaian
5.

Dalam sebuah kotak terdapat 15 uang koin yang sama tetapi beberapa koin nominalnya berbeda. 15 koin tersebut terdiri dari uang pecahan 1 sen sampai 5 sen masing-masing 3 buah. Jika dari kotak tersebut diambil 3 uang logam secara acak, maka tentukan peluang terambilnya jumlah nominal 3 uang logam

a. sebesar 7 sen

b. bukan 14 sen

Lihat Penyelesaian
6.

Dari satu set kartu brigde diambil 2 buah kartu, tentukan peluang terambilnya

a. 2 kartu bergambar orang

b. dua kartu bernomor /kode kembar ( AA, 22, …,10 10, JJ, QQ, KK)

Lihat Penyelesaian
7.

Dari 10 lampu, 3 diantaranya rusak, jika diambil 3 lampu sekaligus tentukan peluang mendapatkan

a. 2 lampu bagus dan 1 lampu rusak

b. ketiga lampu tidak rusak

c. ada lampu yang rusak

Lihat Penyelesaian
8.

Dua puluh kartu diberi nomor 1 sampai 20, Jika dari kedua puluh kartu tersebut diambil 3 kartu secara acak, tentukan peluang terambilnya

a. 2 kartu bernomor genap dan 1 kartu bernomor ganjil

b. kartu bernomor bilangan prima

Lihat Penyelesaian


 

Frekuensi harapan dari sebuah kejadian A adalah rata-rata mendapatkan kejadian
A dari n buah percobaan

f h ( A ) = n × P ( A ) = n × P ( A )


f h ( A ) adalah frekuensi harapan dari sebuah kejadian A

n adalah banyaknya percobaan

P ( A ) adalah peluang kejadian A

Sebagai contoh :

9.

Adi membeli 5000 bibit ikan lele, Jika peluang lele hidup mencapai dewasa (4 bulan) adalah 0,65 maka berapa banyak lele yang diharapkan adi saat adi memanen lele setelah 4 bulan ?

Lihat Penyelesaian
10.

Dari setiap 10 lampu, rata-rata 1 tidak menyala. Jika seorang pedagang membeli 2000 lampu, maka berapa harapan lampu yang didapat bisa menyala ?

Lihat Penyelesaian
11.

Dua buah dadu dittos 180 kali, berapa kali harapan munculnya jumlah kedua mata dadu sama dengan 6 ?

Lihat Penyelesaian
12.

Empat buah uang logam dittos 80 kali, berapa kali harapan muncul keempat uang bermata sama (kembar) ?

Lihat Penyelesaian

C. PELUANG KEJADIAN MAJEMUK

Kejadian majemuk adalah gabungan dari beberapa kejadian, operasi pada kejadian majemuk adalah

a. irisan yang identik dengan kata “dan”

b. gabungan yang identik dengan kata “atau”

Misalnya :

Sebuah kartu diambil dari satu set kartu brigde, A adalah terambilnya kartu As, dan B adalah kejadian terambilnya kartu warna hitam, maka

  • Peluang terambilnya kartu As atau kartu berwarna hitam ditulis P ( A B )

  • Peluang terambilnya kartu As dan kartu berwarna hitam ditulis P ( A B )

Rumus umum kejadian majemuk adalah

P A B = P A + P B - P ( A B )

P A B C = P A + P B + P C - P A B - P A C - P B C + P ( A B C )

P A ' B ' = P ( A B ) ' dan P A ' B ' = P ( A B ) '



Sebagai contoh :

1.

Diketahui P A = 3 5 , P B = 1 2 , dan P A B = 1 3 , maka tentukan P ( A B ) ?

a. dengan diagram venn

b. dengan rumus

Lihat Penyelesaian
2.

Dari satu kelas yang jumlah muridnya 25 orang, 10 orang menyukai pelajaran matematika, 8 orang menyukai pelajaran fisika, dan 6 orang menyukai pelajaran matematika dan fisika. Jika dari kedua orang tersebut diambil 2 orang secara acak, tentukan peluang

a. Keduanya tidak menyukai satupun dari kedua mata pelajaran

b. keduanya hanya menyukai pelajaran matematika

c. keduanya menyukai pelajaran matematika atau fisika

Lihat Penyelesaian
3.

Kerjakan tanpa menggunakan diagram venn

Dari satu kelas yang jumlah muridnya 25 orang, 10 orang menyukai pelajaran matematika, 8 orang menyukai pelajaran fisika, dan 6 orang menyukai pelajaran matematika dan fisika. Jika d ari kedua orang tersebut dipilih 1 orang secara acak, tentukan peluang

a. orang tersebut tidak menyukai kedua mata pelajaran

b. orang tersebut hanya menyukai pelajaran matematika

c. orang tersebut menyukai matematika atau fisika

Lihat Penyelesaian


Dua kejadian A dan B saling lepas apabila kejadian yang satu tidak beririsan dengan kejadian yang lain, sehingga n A B = 0 yang akan berakibat P A B = 0

Jika A dan B saling lepas maka P A B = P A + P B

Jika A , B, dan C saling lepas maka P A B C = P A + P B + P C

Dua kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika kejadian yang satu tidak mempengaruhi kejadian yang lain. A dan B saling lepas
maka nAB=n(A)×n(B) akibatnya PAB=P(A)×P(B).

Jika A dan B saling bebas maka P A B = P A × P B

Jika A , B, dan C saling bebas maka P A B C = P A × P B × P C

(ingat kejadian saling bebas tidak ada kaitannya dengan kejadian saling lepas)

Sebagai contoh :

4.

Diketahui PA=23 , PB=14 , maka tentukan P(AB) apabila

a. A dan B tidak beririsan

b. Kejadian A dan B saling bebas

Lihat Penyelesaian
5.

a. Jika PA=25 , PB=12 , dan PAB=0,9, maka tunjukkan A dan B saling lepas ?

b. Jika PA=25 , PB=12 , dan PAB=0,7, maka tunjukkan A dan B saling bebas ?

Lihat Penyelesaian
6.

a. Diketahui A dan B saling lepas, PA'=25 , PAB=89 , maka tentukan P(B') ?

b. Diketahui A dan B saling bebas, PA'=35 , PA'B'=19, maka tentukan P(B) ?

Lihat Penyelesaian
7.

Dua buah dadu dittos, tentukan peluang munculnya jumlah dua mata dadu sama dengan 6 atau kedua mata dadu kembar

a. dengan menggunakan rumus

b. dengan melihat ruang sampelnya

Lihat Penyelesaian
8.

Sebuah dadu dan sebuah uang logam ditos, tentukan peluang munculnya mata dadu bernomor genap pada dadu atau sisi Angka pada uang

a. dengan menggunakan rumus

b. dengan melihat ruang sampelnya

Lihat Penyelesaian
9.

Dari satu set kartu bridge diambil sebuah kartu secara acak, tentukan peluang terambilnya

a. kartu As atau kartu bergambar orang

b. kartu As atau kartu berwarna merah

Lihat Penyelesaian
10.

Dua buah dadu ditos, tentukan peluang munculnya

a. jumlah kedua mata dadu sama dengan 7 dan kedua dadu kembar ?

b. jumlah kedua mata dadu sama dengan 7 atau kedua dadu kembar ?

c. jumlah kedua mata dadu lebih besar dari 10 dan dadu pertama muncul angka 5 ?

d. jumlah kedua mata dadu lebih besar dari 10 atau dadu pertama muncul angka 5 ?

Lihat Penyelesaian
11.

Dalam sebuah kotak terdapat 3 bola merah, 1 bola putih, 2 bola hitam, dan 4 biru. Dari kotak ini diambil 3 bola secara acak, maka tentukan peluang terambilnya

a. ketiga bola warna sama

b. ketiga bola warna berbeda

Lihat Penyelesaian
12.

Terdapat dua buah kotak, kotak pertama berisi 4 bola merah dan 2 bola putih, kotak kedua berisi 1 bola merah dan 6 bola putih. Jika dari masing-masing kotak diambil sebuah bola, tentukan peluang terambilnya kedua bola

a. berwarna sama

b. berwarna beda

Lihat Penyelesaian

D. KEJADIAN BERSYARAT

Kejadian bersyarat adalah kejadian yang satu mempengaruhi kejadian yang lain.

Kejadian A jika dengan syarat B adalah A B (kejadian A jika diketahuhi B telah terjadi)

P A B = P ( A B ) P ( B ) (peluang kejadian A dengan syarat B)

Jadi peluang kejadian A jika diketahui B sudah terjadi ditulis P A B



Sebagai contoh :

1.

Dua buah dadu dittos, tentukan peluang munculnya jumlah kedua mata dadu lebih besar dari 9 jika diketahui dadu pertama muncul mata 5

a. tanpa menggunakan rumus

b. dengan menggunakan rumus

Lihat Penyelesaian
2.

Empat buah koin di tos, tentukan peluang munculnya 3G,1A (tiga mata uang bersisi gambar dan sebuah mata uang bersisi angka) jika diketah ui uang kedua muncul sisi angka

a. tanpa menggunakan rumus

b. dengan menggunakan rumus

Lihat Penyelesaian
3.

Diketahui B | A = 0,4 , P A | B = 0,25 , dan P A = 0,25 maka tentukan

a. P ( A B )

b. P ( B )

c. P ( A B )

Lihat Penyelesaian
4.

Diketahui P A B = 0,6 , P B ' = 0,75 , dan P A B = 0,6 , maka tentukan

a. P ( A B )

b. P ( A )

c. P B A

Lihat Penyelesaian
5.

Peluang Adi mandi pagi jika diketahui ia terlambat ke sekolah adalah 0,75, Peluang Adi terlambat ke sekolah jika diketahui ia mandi pagi 0,66. Peluang Adi mandi pagi dan terlambat adalah 0,33. Tentukan

a. Peluang Adi mandi pagi

b. peluang Adi tidak terlambat sekolah

c. peluang Adi mandi pagi atau terlambat sekolah

Lihat Penyelesaian
6.

Peluang Ayah mancing jika diketahui libur kerja adalah 0,6, peluang Ayah mancing dan libur kerja a dalah 0,3, peluang ayah tidak ma ncing adalah 0,55. Tentukan peluang

a. Ayah tidak libur kerja

b. ayah libur jika diketahui ia mancing

c. peluang ayah mancing atau libur

Lihat Penyelesaian

E. PENGAMBILAN TANPA PENGEMBALIAN

Pengambilan sampel berulang tanpa pengembalian adalah kejadian bersyarat

P A B = P ( A B ) P ( B ) P A B = P ( B ) × P A B

P B A = P ( A B ) P ( A ) P A B = P ( A ) × P B A

Untuk pokok bahasan ini dalam menyelesaikan soal tidak harus menuliskan rumusnya terlebih dahulu.



Sebagai contoh :

1.

Sebuah kotak berisi 3 bola merah, 2 bola putih, dan 1 bola biru. Jika dari kotak tersebut diambil sebuah bola berturut-turut tiga kali dan setiap pengambilan tidak dikembalikan, tentukan peluang terambilnya

a. pertama bola merah, kedua dan ketiga bola putih

b. Pertama bola biru, kedua putih, dan ketiga bola merah

Lihat Penyelesaian
2.

Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 3 bola putih, dan 2 bola biru. Jika dari kotak tersebut diambil 2 bola berturut-turut 3 kali, tentukan peluang terambilnya pertama dua bola merah, kedua terambilnya bola putih dan biru, ketiga terambilnya dua bola putih apabila

a. setiap pengambilan bola dikembalikan

b. setiap pengambilan bola tidak dikembalikan

Lihat Penyelesaian

  1. DISTRIBUSI BINOMIAL

Sebuah percobaan akan mengakibatkan sebuah kejadian berhasil atau gagal, jadi jika dalam ruang sampel S didistribusikan ke dalam kejadian A atau A' (dalam 2 kejadian) maka disebut distribusi binomial.

Jika dalam n buah percobaan, maka peluang keberhasilan A sebanyak k kali adalah

P kA = C k n P ( A ) k P ( A' ) n - k

Atau lebih sederhana lagi :

Jika banyak percobaan n , peluang kejadian A berhasil p , dan peluang kejadian A gagal q maka peluang A berhasil k kali adalah

P kA = C k n . p k .q n - k



Sebagai contoh :

1.

Peluang Ronaldo mencetak gol lewat tendangan penalty adalah 0,8. Jika dalam 4 kali penalty tentukan peluang ronaldo mencetak tepat 3 goal

  1. Tanpa menggunakan rumus distribusi binomial

  2. Dengan menggunakan rumus distribusi binomial

Lihat Penyelesaian
2.

Tentukan peluang munculnya 7 sisi gambar dan 3 sisi angka pada pelemparan 10 koin

  1. Tanpa menggunakan rumus distribusi binomial

  2. Dengan menggunakan rumus distribusi binomial

Lihat Penyelesaian
3.

Dalam pesta ulang tahun, Nita mengundang 6 teman dekatnya. Peluang setiap temannya datang pada ulang tahun Nita adalah 0,9. Tentukan peluang

  1. Nita merayakan ulang tahun dengan 4 teman dekatnya

  2. Teman dekat yang diundang Nita ada yang tidak datang

Lihat Penyelesaian
4.

Agus dan 4 orang temannya secara independen masing-masing mempunyai peluang 25 untuk mendapatkan hadiah dalam sebuah acara. Tentukan peluang

  1. Dua dari 5 orang ini mendapat hadiah

  2. Agus dan seorang temannya mendapat hadiah

Lihat Penyelesaian
5.

Sebuah kantong terdapat 4 bola merah, 6 bola hijau, dan 2 bola biru Dari kantong tersebut diambil sebuah bola berturut-turut 4 kali dan setiap pengambilan bola dikembalikan lagi. Tentukan

  1. Peluang terambilnya 2 merah dari 4 kali pengambilan

  2. Maksimal 1 bola hijau dari 4 kali pengambilan.

Lihat Penyelesaian

Artikel Lebih Lanjut : DISTRIBUSI BINOMIAL