A. PENGERTIAN LIMIT DAN TEOREMA LIMIT

Pada himpunan tertutup 0,1 atau 0 x 1 kita bisa menentukan batas atas dan batas bawah dari interval tersebut, tetapi pada himpunan buka 0 , 1 atau 0 < x < 1 kita tidak bisa menentukan batas atas ataupun batas bawahnya karena kita tidak bisa menuliskan bilangan yang mendekati 0 atau 1 kecuali dengan menggunakan lim x 0 atau lim x 1

“Jika f x = x 2 - 4 x - 2 maka

f ( x mendekati   2 ) atau f ( lim x 2 ) bisa di tulis dengan lim x 2 x 2 - 4 x - 2 "



Sebagai contoh :

1.

Tentukan batas atas dari interval 0 < x < 1 ?


Lihat Penyelesaian
2.

Perhatikan ilustrasi di bawah ini

Jika a = b maka a - b = a 2 - b 2

a - b = a - b ( a + b ) dengan mencoret a - b kedua ruas

1 = a + b

Dua bilangan yang sama kalau dijumlah hasilnya selalu 1, ini tidaklah benar, jadi ada kesalahan, tentukan letak kesalahannya ?


Lihat Penyelesaian
3.

Diketahui f x = x 2 - 1 x - 1 , maka tentukan

a. f ( 1 )

b. f ( lim x 1 )


Lihat Penyelesaian
4.

Tentukan hasil dari

a. lim x 5 x 2 + x - 30 x - 5

b. lim x 1 x 2 + x - 30 x - 5

c. lim x 5 x 2 - x - 30 x - 5


Lihat Penyelesaian

Teorema Limit

Jika lim x a f ( x ) dan lim x a g ( x ) terdefinisi maka

1. lim x a f x + g ( x ) = lim x a f ( x ) + lim x a g ( x )

2. lim x a f x - g ( x ) = lim x a f ( x ) - lim x a g ( x )

3. lim x a f ( x ) × g ( x ) = lim x a f ( x ) × lim x a g ( x )

4. lim x a f ( x ) g ( x ) = lim x a f ( x ) lim x a g ( x ) , asalkan lim x a g ( x ) 0

5. lim x a f ( x ) g ( x ) = lim x a f ( x ) lim g ( x ) x a

6. lim x a f ( x ) n = lim x a f ( x ) n (akibat dari teorema limit ke 3)


B. LIMIT ALJABAR

Limit aljabar adalah limit x a dengan a adalah bilangan berhingga.

Penyelesaian limit aljabar untuk penyebut yang mendekati 0 adalah dengan pencoretan pembilang dan penyebut jika bisa.



Sebagai contoh :

1.

Tentukan hasil dari

a. lim x 2 x - 2 2 x 2 - 8

b. lim x 3 x x 2 - 3 x

c. lim x 2 x 2 + 11 x - 26 2 x 2 - x - 6

Lihat Penyelesaian
2.

Tentukan hasil dari

a. lim x 0 x 3 - 2 x 2 + 11 x 2 x 2 - x

b. lim x 0 x 10 - 2 x 6 + 11 x 5 x 15 - 2 x 5

c. lim x 0 x 4 - 3 x 3 + 5 x 2 2 x 4 - 2 x 2 + 3 x

Lihat Penyelesaian
3.

Tentukan hasil dari

a. lim x 4 3 x - 4 - 24 x 2 - 16

b. lim x - 2 5 x x 2 - x - 6 + 12 x 2 - 2 x - 8

c. lim x 3 1 x - 3 5 x 2 + x - 2 - 1 x - 1


Lihat Penyelesaian

Untuk persoalan limit yang menggunakan derajat lebih banyak, kita gunakan pembagian sintetis (horner) untuk membantu pemfaktorannya

Sebagai Contoh :

4.

Tentukan hasil dari lim x 5 x 3 + 2 x 2 - 30 x - 25 2 x 2 + x - 55 ?


Lihat Penyelesaian
5.

Tentukan hasil dari lim x - 2 x 2 + 11 x + 18 x 5 + 32 ?


Lihat Penyelesaian
6.

Tentukan hasil dari lim x 3 x 3 + x 2 + x - 39 x 4 + x - 84 ?


Lihat Penyelesaian

Untuk persoalan limit yang melibatkan bentuk akar, penyelesaiannya dengan perkalian bentuk sekawan terlebih dahulu.

Sebagai contoh :

7.

Tentukan hasil dari

a. lim x 5 x - 5 x - 1 - 2

b. lim x 4 2 x + 1 - x + 5 2 x - 8

c. lim x - 1 x + 1 2 - x + 5

Lihat Penyelesaian
8.

Tentukan hasil dari

a. lim x 1 x - 1 x - 3 - 2 x

b. lim x 2 2 x + 5 - x + 7 x 2 - 4

c. lim x 3 x 2 + 3 x - 18 5 - x 2 + 16

Lihat Penyelesaian
9.

Tentukan hasil dari

a. lim x 2 3 x + 3 - 2 x + 5 2 - x + 2

b. lim x - 1 x 2 + 15 - 4 2 x + 3 - x + 2


Lihat Penyelesaian

Untuk persoalan yang melibatkan bentuk akar seperti f ( x ) 3 atau f ( x ) 4 dan seterusnya , penyelesaiannya sedikit menggunakan pemfaktoran yang pernah kita pelajari di suku banyak.

Sebagai contoh :

10.

Tentukan hasil dari lim x 2 x - 2 x 3 - 2 3 ?


Lihat Penyelesaian
11.

Tentukan hasil dari lim x 1 x 2 3 - 3 x 3 + 2 x - 1 ?


Lihat Penyelesaian
12.

Tentukan hasil dari lim x 16 x 2 + x - 272 x 4 - 2 ?


Lihat Penyelesaian

Untuk persoalan limit yang melibatkan variable baru, penyelesaiannya dengan sedikit menggunakan teorama factor yang ada pada suku banyak


Sebagai Contoh :

13.

Jika lim x 2 x 2 + ax + b x 2 - 4 = 3 maka tentukan nilai dari a - 2 b ?


Lihat Penyelesaian
14.

Jika Jika lim x - 3 x 2 + ax + b x 2 - 9 = 2 dan lim x 3 ax 2 + bx + c x 2 - 4 = 3 maka tentukan nilai dari c ?


Lihat Penyelesaian
15.

Jika lim x 2 ax + 2 - bx - 6 x 2 - 4 = - 1 6 maka nilai a + 2 b = ...


Lihat Penyelesaian

C. LIMIT DITAKHINGGA

Limit ditakhingga adalah limit untuk variabelnya mendekati takhingga .

Bentuk jika dikecilkan dengan cara dibagi atau dipangkatkan dengan bilangan berhingga hasilnya tetap takhingga

  Jadi 1 100 , 1 10000 , 10 9999 , dan seterusnya hasilnya masih tetap takhingga

, 3 , 100 , dan seterusnya hasilnya masih tetap takhingga

Seberapapun besar bilangan berhingga jika dibagi dengan takhingga hasilnya mendekati 0

Jadi 1 , 1000 , 10 99999 , 10 999999 .. 9 100 , hasilnya tetap takhingga

Limit ditakhingga untuk bentuk fungsi pecahan tanpa ada pengurangan fungsi dengan derajat sama, teknis pengerjaannya langsung dibagi dengan pangkat tertinggi penyebut.

Yang dimaksud pangkat tertinggi adalah derajat tertinggi atau pangkat tertinggi dari variable yang digunakan.



Sebagai contoh :

1.

Tentukan hasil dari

a. lim x x 2 + 2 x 4 x 2 + 5

b. lim x 2 x 3 - x 2 + 2 x x 2 + 3 x - 4

c. lim x x 2 + 2 x - 2 x 4 + 2 x 3 - 3 x + 1

Lihat Penyelesaian
2.

Tentukan hasil dari

a. lim x x x - x + 1 x x + 2 x

b. lim x x x + 2 x - 5 x 2 + 5 x - 1

c. lim x x 3 + 2 x - 2 5 x - 2

Lihat Penyelesaian
3.

Tentukan hasil dari

a. lim x x 2 + 9 x 4 - 2 x + 7 x 2 + 6 x - 1

b. lim x x x + 2 x + 3 x x - 2 x 3 + 11 x 2 - 7 x + 2

c. lim x x 4 - 2 x + 1 x 4 + 2 x - 5

Lihat Penyelesaian
4.

Tentukan hasil dari lim x 2 x - 5 4 10 x 4 + 3 x 2 - 1 ?


Lihat Penyelesaian

Dari contoh di atas bisa kita simpulkan:

1) jika pangkat tertinggi baik pembilang dan penyebut tidak sama maka

hasilnya 0 untuk pangkat tertingginya lebih besar penyebut

dan + atau - atau tidak punya limit untuk pangkat tertingginya lebih besar pembilang

2) Jika pangkat tertingginya sama maka hasilnya adalah koefisien pangkat tertinggi pembilang dibagi dengan koefisien pangkat tertinggi penyebut.


Sebagai contoh :

5.

Tentukan hasil dari

a. lim x 5 x 3 + 2 x 2 + 2 x x 3 + 4 x 2 + 5

b. lim x 2 x 2 - 5 x + 1 x 2 + 7 x - 4

c. lim x x 2 + 2 x - 2 x 4 + 2 x 3 - 3 x + 1

Lihat Penyelesaian
6.

Tentukan hasil dari

a. lim x x x + 4 x 3 - 2 2 x x - x 2 + 1

b. lim x x 3 + 12 x - 1 x 2 + x 12 + 11 x

c. lim x x 2 + 8 x - 1 x 3 - 2 x + 5

Lihat Penyelesaian
7.

Tentukan hasil dari

a. lim x ( x + 2 ) 3 + 2 ( 3 x - 1 ) 3 5 x 3 + 6 x 2 + 7 x + 8

b. lim x 2 x - 5 2 3 x - 1 3 x 5 + 2 x + 7 5

c. lim x 3 x - 2 4 x 2 - x - 1 3 x + 2 3 2 x - 5 3

Lihat Penyelesaian
8.

Tentukan hasil dari

a. lim x x 2 + 3 x - 1 x + 2 - 3 x 2 + x - 5 3 x + 2

b. lim x 2 x 2 - x + 2 x + 5 + 3 - 2 x - 6 x 2 3 x + 4

Lihat Penyelesaian

Untuk limit di takhingga yang tidak berbentuk fungsi pecahan, teknik pengerjaannya dengan mengubah ke bentuk pecahan, biasanya dengan mengalikan bentuk sekawan.


Sebagai contoh :

9.

Tentukan hasil dari

a. lim x x 2 + 4 x + 3 - x 2 + 6 x - 1

b. lim x 4 x 2 + 4 x + 3 - 2 x + 10

c. lim x 3 x - x 2 + 4 x + 3


Lihat Penyelesaian
10.

Tentukan hasil dari

a. lim x x 4 + 4 x 2 + 2 - x 4 - x 2 + 4

b. lim x x 3 + 4 x 2 + x - 2 - x 3 - x 2 + 1


Lihat Penyelesaian

Beberapa rumus cepat untuk limit bentuk akar

1) lim x ax 2 + bx + c - a x 2 + px + q = b - p 2 a

2) lim x ax 2 n + b x n + c - a x 2 n + p x n + q = b - p 2 a


Sebagai contoh :

11.

Tentukan hasil dari

a. lim x x 2 + 3 x - 1 - x 2 - 6 x + 8

b. lim x 4 x 2 + 4 x + 3 - 2 x + 10

c. lim x 3 x + 11 - 9 x 2 + 4 x + 3

d. lim x x 4 + 4 x 2 + 2 - x 4 - x 2 + 4

e. lim x x 10 - 3 x 5 + 2 - x 10 + 2 x 5 + 4


Lihat Penyelesaian
12.

Tentukan hasil dari

a. lim x 4 x 2 - x 4 + 4 x 2 + 2 - 9 x 4 - x 2 + 4

b. lim x 4 x 2 + x - 2 - x 2 - 6 x + 1 - x

c. lim x x 2 + x - 25 x 2 - 6 x + 16 x 2 - 6 x


Lihat Penyelesaian

Untuk limit ditakhingga yang berbentuk pecahan dengan derajat tertinggi pembilang dan penyebut berbeda tetapi melibatkan pengurangan dua fungsi dengan derajat sama, teknik pengerjaannya dengan menyederhanakan terlebih dahulu dan biasanya juga dengan mengalikan bentuk sekawan .


Sebagai contoh :

13.

Tentukan hasil dari :

a. lim x x 3 x + 2 - x 3 x + 1 x + 2

b. lim x 1 x 3 x - x + 2


Lihat Penyelesaian
14.

Tentukan hasil dari

a. lim x x 3 + 2 x 2 - x - x 3 + 3 x 2 + 2 x + 3

c. lim x 9 x 4 + 2 x 3 - x - 3 x 2 + x x - 1

b. lim x x 4 + 2 x 3 - x - x 4 - 6 x 3 2 x + 5

d. lim x 4 x 2 + 3 - 4 x 2 - 1 2 x - 1

Lihat Penyelesaian

Untuk limit ditakhingga yang melibatkan fungsi pecahan eksponen, teknik pengerjaannya dengan membagi eksponen dengan pangkat tertinggi.


Sebagai contoh :

15.

Tentukan hasil dari

a. lim x 2 x + 1 2 x + 1 - 2

b. lim x 3 2 x 9 x + 1 - 10

c. lim x 2 x + 1 3 x - 2

Lihat Penyelesaian
16.

Tentukan hasil dari

a. lim x 2 x + 2 x + 1 + 2 x + 2 2 x - 2 x - 1

b. lim x 5 x + 3 x + 2 5 x - 5 x - 1 + 2 2 x - 1

Lihat Penyelesaian

D. LIMIT TRIGONOMETRI

Teorema limit trigonometri

lim x 0 sin x x = lim x 0 x sin x = 1 dan lim x 0 tan x x = lim x 0 x tan x = 1

Akibat dari teorema di atas

Jika f a = 0 maka lim x a sin f ( x ) = lim x a f ( x ) dan

lim x a tan f ( x ) = lim x a f ( x )



Sebagai contoh :

1.

Tentukan hasil dari

a. lim x 0 sin 5 x 2 x

b. lim x 0 3 x tan 10 x

c. lim x 2 sin ( 3 x - 6 ) x - 2

Lihat Penyelesaian
2.

Tunjukkan bahwa lim x a sin f x = lim x a f ( x ) untuk f a = 0

Lihat Penyelesaian
3.

Tentukan hasil dari

a. lim x 0 sin 2 3 x x tan 5 x

b. lim x 2 6 x - 12 + sin ( x - 2 ) x - 2 + tan ( 3 x - 6 )

c. lim x 1 sin 2 ( 3 x - 3 ) x 2 - x tan ( x - 1 )

Lihat Penyelesaian

Rumus-rumus trigonometri yang sering digunakan

  1. 1 - cos A = 2 sin 2 A 2

  2. 1 - cos 2 A = sin 2 A

  3. cos A - cos B = - 2 sin A + B 2 sin A - B 2

  4. sin A - sin B = 2 cos A + B 2 sin A - B 2

  5. cos 2 A = cos 2 A - sin 2 A

  1. sin 2 A = 2 sin A cos A

  2. cos 90 ° ± A = sinA

  3. cos 270 ° ± A = ± sinA

  4. cot 90 ° ± A = tanA

  5. cot 270 ° ± A = tanA


Sebagai contoh :

4.

Tentukan hasil dari

a. lim x 0 1 - cos 6 x x tan 2 x

d. lim x 0 sin π 4 + 4 x - sin π 4 - 4 x x

b. lim x 0 1 - cos 2 4 x 1 - cos 4 x

e. lim x π 4 cos 2 x sin x - cos x

c. lim x 0 cos π 3 + x - cos π 3 - x tan 5 x

f. lim x 0 sin 2 x - 2 sin x x 3

Lihat Penyelesaian
5.

Tentukan hasil dari

a. lim x π 2 cos x 4 x - 2 π

c. lim x π 2 π - 2 x cot x

b. lim x π 2 2 x - π sec 3 x

d. lim x π 6 cot 9 x x - π 6

Lihat Penyelesaian
6.

Tentukan hasil dari lim x 2 2 sin 2 x - 4 - sin ( 4 x - 8 ) x 2 - 4 - ( x 2 - 4 ) cos ( 10 x - 20 ) ?

Lihat Penyelesaian

E. LIMIT BILANGAN ALAMI e

Teorema

lim x 1 + 1 x x = e dan lim x 0 1 + x 1 x = e



Sebagai contoh :

1.

Tentukan hasil dari

a. lim x 1 + 1 2 x 5 x

b. lim x 1 - 2 x x

c. lim x 1 + 1 x 3 x

Lihat Penyelesaian
2.

Tentukan hasil dari

a. lim x 0 1 + 3 x 2 x

b. lim x 0 1 - x 3 1 4 x

c. lim x 0 1 + 4 x + 4 x 2 3 x

Lihat Penyelesaian

Rumus cepat :

  1. lim x f ( x ) 0 , lim x g ( x ) ± , dan lim x 1 + f ( x ) g ( x ) terdefinisi

    maka lim x 1 + f ( x ) g ( x ) = e lim x f ( x ) × g ( x )

  2. lim x 0 f ( x ) ± , lim x 0 g ( x ) 0 , dan lim x 0 1 + f ( x ) g ( x ) terdefinisi

    maka lim x 0 1 + f ( x ) g ( x ) = e lim x 0 f ( x ) × g ( x )


Sebagai contoh :

3.

Buktikan

Jika lim x f ( x ) 0 , lim x g ( x ) ± , dan lim x 1 + f ( x ) g ( x ) terdefinisi, maka lim x 1 + f ( x ) g ( x ) = e lim x f ( x ) × g ( x )

Lihat Penyelesaian
4.

Buktikan

Jika lim x 0 f ( x ) 0 , lim x 0 g ( x ) ± , dan dan lim x 0 1 + f ( x ) g ( x ) terdefinisi, maka lim x 0 1 + f ( x ) g ( x ) = e lim x 0 f ( x ) × g ( x )

Lihat Penyelesaian
5.

Tentukan hasil dari

a. lim x 1 + 8 x 1 4 x

c. lim x 0 1 + 6 x 4 x

b. lim x 1 - 1 3 x 12 x

d. lim x 0 1 - x 2 1 4 x

Lihat Penyelesaian

Kaitan limit bilangan e dengan limit aljabar ditakhingga


Sebagai contoh :

6.

Tentukan hasil dari

a. lim x 1 + 8 x x 6 + 2 x 4 - x 6 - 2 x 4

c. lim x x - 1 x + 2 5 x - 1 2 2 x + 5

b. lim x 1 - 1 2 x 3 x 2 + 6 x - 11 2 x + 5

d. lim x 3 x + 1 3 x - 5 2 x 5 + 4 x + 3 ( 2 x - 1 ) 2 ( x - 2 ) 2

Lihat Penyelesaian
7.

Tentukan hasil dari

a. lim x x 2 + 6 x - 1 x 2 + 2 x - 7 x 4 + 3 x 3 + 2 - x 4 - 2 x 3 + x

b. lim x x 3 + 6 x 2 - 1 x 3 + 2 x - 3 x x + 2 x - 1 2 x + 1 - 2 x - 1

Lihat Penyelesaian

Kaitan limit bilangan e dengan limit trigonometri


Sebagai contoh :

8.

Tentukan hasil dari

a. lim x 0 1 + x 2 x sin 2 3 x

c. lim x 0 1 + 3 x sin 6 x 1 - cos 4 x

b. lim x 0 1 - 2 x 1 sin 3 x

d. lim x 0 1 - 10 x + 25 x 2 cos 3 x sin 6 x

Lihat Penyelesaian
9.

Tentukan hasil dari

a. lim x 0 1 - 2 x cos 2 x - cos x sin 2 x - 2 sin x

b. lim x 0 9 x 2 + 6 x + 1 x 3 + 3 x 2 - 5 x 2 cos 5 x - cos 3 x - cos x

Lihat Penyelesaian

F. KONTINUITAS

f ( x ) kontinu di x = a jika lim x a + f ( x ) = lim x a - f x = f ( a )

Keterangan :

x a + artinya x mendekati a dari kanan

x a - artinya x mendekati a dari kiri

Tidak kontinu sama artinya dengan diskontinu



Sebagai contoh :

1.

Pada gambar di atas ini, dimana f(x) diskontinu

Lihat Penyelesaian
2.

Dimana f x diskontinu untuk fungsi dibawah ini

a. f x = 1 2 x 2 - 2 x

b. f x = x - 1 x 2 - 1

c. f x = x + 2

Lihat Penyelesaian

Semua fungsi yang berbentuk sukubanyak (polinom) kontinu Untuk fungsi pecahan f ( x ) akan diskontinu pada pembuat nol penyebut Untuk fungsi lain seperti bentuk akar, f ( x ) akan diskontinu di luar natural domainnya


Sebagai contoh :

3.

Dimana f x = 2 x + 3 x 2 + 5 x x - 4 x + 3 x 4 - 2 x < 4 x < - 2 diskontinu ?

Lihat Penyelesaian
4.

Jika f x = 2 x + a x 2 + ax + b 6 - x x 2 0 x < 2 x < 0 , dan f ( x ) kontinu di semua titik, maka tentukan nilai dari 5 a - b ?

Lihat Penyelesaian
5.

Jika f x = 2 x + 4 x 2 + 5 x x 2 + 25 2 a - 10 x a x < a x < - 10 kontinu di x = a tetapi diskontinu di x = - 10 , maka tentukan nilai dari a ?

Lihat Penyelesaian

G. LIMIT SEBAGAI PENGANTAR TURUNAN

Turunan dari f ( x ) adalah f ' ( x ) didefinisikan f ' x = lim h 0 f x + h - f ( x ) h

Perhatikan ilustrasi di bawah ini :

Turunan gradien

M AB = y x = f x + h - f ( x ) x + h - x = f x + h - f ( x ) h

Untuk jarak AB yang sedekat mungkin atau h0

Jadi f'x=limh0fx+h-f(x)h



Sebagai contoh :

1.

Tentukan f ' ( x ) jika

a. f x = sin x

b. f x = cos x

Lihat Penyelesaian
2.

Tentukan f ' ( x ) jika

a. f x = x 2

b. f x = x

Lihat Penyelesaian
3.

Tentukan f ' ( x ) jika f x = ln x ?

Lihat Penyelesaian
4.

Tunjukkan jika f x = x n maka f ' x = n x n - 1

Lihat Penyelesaian
5.

Tunjukkan f ' a = lim x a f x - f ( a ) x - a ?

Lihat Penyelesaian