A. PENGERTIAN PERSAMAAN KUADRAT

Bentuk umum persamaan kuadrat adalah ax2+bx+c=0 dengan a0

a adalah koefisien x 2 , b adalah koefisien x , dan c adalah konstanta (tidak mengandung x )

Contoh : i) 2 x 2 + 3 x - 1 = 0 , ii) 4 x 2 - x = 0 , iii) x 2 - 9 = 0 iv) 10 x 2 = 0

Dua buah persamaan kuadrat dikatakan sama jika salah satu kelipatan yang lain.

Contoh : i) persamaan x 2 + 2 x - 5 = 0 sama dengan persamaan 10 x 2 + 20 x - 50 = 0

ii) persamaan 3 x 2 - x + 1 = 0 sama dengan persamaan 6 x 2 - 2 x + 2 = 0

iii) persamaan 6 x 2 + 4 x + 2 = 0 sama dengan persamaan 3 x 2 + 2 x + 1 = 0


Sebagai contoh :

1.

Persamaan-persamaan di bawah ini mana yang merupakan persamaan kuadrat ?

a. x - 1 x - 2 = x 2 + 10 x + 20

c. x x - 1 2 - x = x 3 + 2 x

b. ( 2 x + 3 ) 2 = 2 x 2 + 3 x - 11

d. x 3 + 2 x 2 - x = x ( x 2 - 2 )

Lihat Penyelesaian
2.

Jika p x 3 + p x 2 + 3 x - 4 = 2 x 3 - 3 x + p adalah persamaan kuadrat maka

a. tentukan nilai p

b. Nyatakan dalam x 2 + bx + c = 0


Lihat Penyelesaian
3.

Persamaan kuadrat x 2 + 2 k x + 3 x + 3 = k x 2 + 2 k jika dinyatakan dalam
ax 2 + bx + c = 0 dengan a = 1 , maka tentukan nilai dari 2 b - c ?


Lihat Penyelesaian

B. PENGERTIAN AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT

Akar-akar persamaan kuadrat adalah penyelesaian atau solusi dari persamaan kuadrat

Contoh : 2 atau -1 adalah akar-akar dari persamaan x 2 - x - 2 = 0

Kita ganti nilai x pada persamaan x 2 - x - 2 = 0 dengan akar-akarnya.

x = 2 2 2 - 2 - 2 = 4 - 2 - 2

= 0

x = - 1 - 1 2 - - 1 - 2 = 1 + 1 - 2

= 0

Sebagai contoh :

1.

Tunjukkan bahwa 5 atau - 12 adalah akar dari persamaan x 2 + 7 x - 60 = 0 ?


Lihat Penyelesaian
2.

Tunjukkan bahwa 1 bukan akar persamaan x 2 + x + 2 = 0 ?


Lihat Penyelesaian
3.

Jika 2 adalah akar dari persamaan a x 2 + 5 x - a = 0 maka tentukan nilai a ?


Lihat Penyelesaian
4.

Jika 2 atau 3 adalah akar dari persamaan x 2 + 2 px + q = qx + p - x + 1
maka tentukan nilai dari p dan q ?


Lihat Penyelesaian

C. MENCARI AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT

1. Dengan pemfaktoran

ax 2 + bx + c = 0 1 a ax + p ax + q = 0

ax - p = 0 atau ax - q = 0

x = p a atau x = q a

x - p x - q = 0 untuk a = 1

1 a ax - p ax - q = 0 untuk a 1

Sebagai contoh :

1.

Tentukan akar-akar persamaan

a. x 2 - 3 x - 10 = 0

c. x 2 + 11 x - 126 = 0

b. x 2 - x - 6 = 0

d. x 2 + 15 x + 36 = 0

Lihat Penyelesaian
2.

Tentukan akar-akar persamaan

a. x 2 - 3 x = 0

c. x 2 + 11 x = 0

b. 4 x 2 - x = 0

d. 12 x 2 + 15 x = 0


Lihat Penyelesaian
3.

Tentukan akar-akar persamaan

a. x 2 - 100 = 0

c. 2 x 2 - 50 = 0

b. x 2 - 36 = 0

d. 40 x 2 - 10 = 0


Lihat Penyelesaian
4.

Tentukan akar-akar persamaan

a. 2 x 2 - 3 x - 2 = 0

c. 5 x 2 + 32 x + 44 = 0

b. 7 x 2 - 11 x - 30 = 0

d. 4 x 2 + 12 x - 7 = 0


Lihat Penyelesaian
5.

Tentukan akar-akar persamaan

a. x - 1 x - 2 = x + 2

c. x - 3 = 18 x

b. ( x + 3 ) 2 = ( 2 x + 1 ) 2 + 7

d. 1 x + 1 + 1 x + 3 = 12 x + 1 ( x + 3 ) + 1 24


Lihat Penyelesaian

2. Melengkapkan kuadrat

Langkah-langkah mencari akar dari a x 2 + bx + c = 0

Langkah :

i) bagi masing-masing ruas dengan a, kemudian pindah ruas konstantanya didapat

x 2 + b a x = - c a

ii) tambahkan kedua ruas dengan b 2 a 2 sehingga didapat

x 2 + b a x + b 2 a 2 = - c a + b 2 a 2

iii) bentuk ii ekivalen dengan

( x + b 2 a ) 2 = - c a + b 2 4 a 2 ( x + b 2 a ) 2 = b 2 - 4 ac 4 a 2

iv) sehingga didapatkan akar-akarnya

x + b 2 a = ± b 2 - 4 ac 4 a 2 x 1 = - b 2 a + 1 2 a b 2 - 4 ac x 2 = - b 2 a - 1 2 a b 2 - 4 ac

Rumus ini dikenal dengan rumus ABC


Sebagai contoh :

6.

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat

a. x 2 - 6 = 0

b. x 2 + 6 x = 0

Lihat Penyelesaian
7.

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat

a. x 2 - 12 x + 11 = 0

b. x 2 + 5 x - 6 = 0


Lihat Penyelesaian
8.

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat

a. 3 x 2 + x - 4 = 0

b. 5 x 2 + 6 x + 1 = 0


Lihat Penyelesaian

3. Dengan Rumus ABC

Sebenarnya rumus abc adalah cara langsung dari melengkapkan kuadrat, sehingga persamaan kuadrat

a x 2 + bx + c = 0   akar-akarnya adalah x 1,2 = - b ± b 2 - 4 ac 2 a


Sebagai contoh :

9.

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat di bawah ini dengan rumus ABC

a. 4 x 2 + 11 x - 15 = 0

b. 2 x 2 + 15 x + 27 = 0

Lihat Penyelesaian
10.

Jika p dan q adalah akar-akar persamaan 2 x 2 - 6 x + 1 = 0 dengan p > q
maka sederhanakan nilai dari p q ?


Lihat Penyelesaian

D. DISKRIMINAN PERSAMAAN KUADRAT

Persamaan a x 2 + bx + c = 0 mempunyai akar-akar x 1,2 = - b ± b 2 - 4 ac 2 a

Jenis-jenis dari akar-akar persamaan a x 2 + bx + c = 0 bergantung dari nilai b 2 - 4 ac yang berada didalam akar tersebut. Sebagai ilustrasi

i) jika b 2 - 4 ac merupakan kuadrat sempurna dari bilangan rasional m, sebut saja
b 2 - 4 ac = m 2 , maka akan didapatkan kedua akarnya rasional.

ii) jika b 2 - 4 ac tidak bisa di hilangkan akarnya atau b 2 - 4 ac bilangan irasional maka akar-akarnya juga bilangan irasional.

Untuk mempermudah pembicaraan maka b 2 - 4 ac didefinisikan sebagai diskriminan persamaan kuadrat, jadi D = b 2 - 4 ac

Dengan menganalisis bahwa akar bilangan negatif bukan bilangan real , maka didapatkan

i) jika D > 0 maka akan diperoleh kedua akarnya real dan berbeda

ii) jika D = 0 maka akan diperoleh kedua akarnya kembar

iii) jika D < 0 maka akan diperoleh kedua akarnya tidak real

iv) jika D 0 maka persamaan kuadrat mempunyai akar real


Sebagai contoh :

1.

Persamaan kuadrat di bawah ini mana yang mempunyai akar real

a. x 2 + 2 x + 5 = 0

c. x 2 + 7 x + 2 = 0

b. x 2 + 1 = 0

d. 3 x 2 + 2 x - 1 = 0

Lihat Penyelesaian
2.

Jika persamaan kuadrat di bawah ini punya akar real, manakah yang akarnya merupakan bilangan rasional ?

a. 3 x 2 + x - 30 = 0

c. x 2 + x - 12 = 0

b. 5 x 2 + 3 x + 7 = 0

d. 9 x 2 + 3 x - 1 = 0

Lihat Penyelesaian
3.

Persamaan kuadrat k x 2 + 2 x + k = x 2 - 2 kx - 4 mempunyai akar kembar (real) ,
maka tentukan

a. Nilai k yang memenuhi

b. akar-akar kembarnya

Lihat Penyelesaian
4.

Persamaan kuadrat m x 2 + 3 x 2 + 2 mx + m = 5 mempunyai dua akar real berbeda,
tentukan nilai m ?


Lihat Penyelesaian
5.

Persamaan kuadrat m x 2 - 3 x 2 + 4 mx - 8 x + 4 m = 3 mempunyai akar real,
tentukan nilai m ?


Lihat Penyelesaian
6.

Persamaan kuadrat p x 2 - 3 x 2 + 6 px + 9 p = 0 tidak mempunyai akar real
maka tentukan nilai p ?


Lihat Penyelesaian

E. JUMLAH DAN HASILKALI AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT

Jika α dan β adalah akar dari persamaan ax 2 + bx + c = 0  maka  

i). berlaku a ( α ) 2 + b α + c = 0   dan   a ( β ) 2 + b β + c = 0

ii). persamaan ax 2 + bx + c = 0   identik dengan x 2 + b a x + c a = 0

kemudian dari x 2 + b a x + c a = x - α ( x - β )

= x 2 - α + β x + αβ

Dengan menyamakan kedua ruas didapatkan

b a = - ( α + β ) α + β = - b a    dan    c a = αβ αβ = c a


Sebagai contoh :

1.

Persamaan kuadrat x 2 + 3 x + 1 = 0 akarnya α dan β , tentukan

a. α 2 + 3 α

d. 1 + α ( 1 + β )

b. 2 β 2 + 6 β

e. αβ

c. 2 - α ( 2 - β )

f. α + β

Lihat Penyelesaian
2.

Persamaan kuadrat 2 x 2 - 6 x + 3 = 0 akarnya m dan n maka tentukan

a. m + n

d. 1 m + 1 n

b. mn

e. 1 m - 1 + 1 n - 1

c. m 2 n + m n 2

f. 2 m 3 - 6 m 2 - 3 n

Lihat Penyelesaian
3.

Persamaan kuadrat 3 x 2 + 6 x - 1 = 0 akar-akarnya p dan q maka tentukan

a. p 2 + q 2

c. p 4 + q 4

b. p 3 + q 3

d. p 5 + q 5

Lihat Penyelesaian

F. SIFAT-SIFAT AKAR PERSAMAAN KUADRAT

Persamaan kuadrat a x 2 + bx + c = 0 akarnya α dan β

1. mempunyai dua akar berlainan α = - β

Jadi α + β = 0 atau - b a = 0 atau b = 0

2. mempunyai dua akar yang saling berkebalikan α = 1 β

Jadi αβ = 1 atau c a = 1 atau a = c

3. kedua akarnya positif α + β > 0 dan αβ > 0

4. kedua akarnya negatif α + β < 0 dan αβ > 0

5. kedua akarnya berlawanan tanda (satu positif, satu negatif) αβ < 0


Sebagai contoh :

1.

Persamaan kuadrat k - 1 x 2 + 2 k + 5 x - 3 k = 0 akarnya saling berkebalikan, maka tentukan jumlah kedua akarnya ?


Lihat Penyelesaian
2.

Persamaan kuadrat m + 2 x 2 + 2 m - 6 x + m = 0 akarnya saling berlawanan, maka tentukan hasil kali kedua akarnya ?


Lihat Penyelesaian
3.

Salah satu akar persamaan 3 x 2 + 8 x + k = 0 adalah tiga kali akar yang lain , maka tentukan nilai k dan kedua akarnya ?


Lihat Penyelesaian
4.

Persamaan x 2 - 10 x + k + 2 = 0 mempunyai dua akar real yang positif, maka tentukan nilai k ?


Lihat Penyelesaian
5.

Persamaan x 2 + 2 x + p = 0 mempunyai dua akar real yang berlawanan tanda, tentukan batas nilai p ?


Lihat Penyelesaian

G. MENYUSUN PERSAMAAN KUADRAT BARU

Persamaann kuadrat yang akar-akarnya α dan β bisa dituliskan

x - α x - β = 0

Atau x 2 - α + β x + αβ = 0

Jadi dapat disimpulkan bahwa persamaan kuadrat yang akar-akarnya α dan β adalah

x 2 - jumlah ked ua akar x + hasil kali kedua akar = 0


Sebagai contoh :

1.

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya

a. 3  dan  -1

b. - 1 3   dan  2 5

c. - 4  dan  - 3 4

Lihat Penyelesaian
2.

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya

a. dua kali dari akar-akar persamaan x 2 + 4 x - 5 = 0

b. satu lebihnya dari akar-akar persamaan 2 x 2 + x - 3 = 0

c. kuadrat dari akar-akar persamaan x 2 - 4 = 0

Lihat Penyelesaian
3.

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya

a. dua kali dari akar-akar persamaan x 2 + 5 x - 4 = 0

b. satu lebihnya dari akar-akar persamaan 2 x 2 + 3 x - 1 = 0

c. kuadrat dari akar-akar persamaan x 2 + x - 1 = 0

Lihat Penyelesaian
4.

Persamaan kuadrat 2 x 2 - 4 x + 1 = 0 akar-akarnya m dan n , maka tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya

a. 2 m - 1  dan  2 n - 1

b. m + n  dan  mn

Lihat Penyelesaian
5.

Persamaan kuadrat x 2 - 2 x - 10 = 0 akar-akarnya α dan β , tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya

a. 2 α β - 3  dan  2 β α - 3

b. α 2 + β 2  dan  α 3 + β 3

Lihat Penyelesaian

Cara lain menyusun persamaan kuadrat baru adalah dengan penghapusan indeks, hanya saja cara ini terbatas, harus memenuhi “Kedua akarnya simetris dan setiap akar memuat satu variabel”


Sebagai contoh :

6.

Setiap dua bentuk dibawah ini mana yang simetris dan masing-masing memuat satu variabel

a. 2 α - 1  dan  2 β - 1

d. α 3 - 12 α - 1   dan  β 3 - 12 β - 1

b. m 2  dan  n 2

e. α - 2 β α + 1  dan  β - 2 α β + 1

c. 3 m - n  dan  3 n - m

f. mn  dan  m + n

Lihat Penyelesaian
7.

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya

a. dua kali dari akar-akar persamaan 2 x 2 + 7 x - 1 = 0

b. satu lebihnya dari akar-akar persamaan 3 x 2 + 4 x - 5 = 0

Lihat Penyelesaian
8.

Persamaan kuadrat x 2 + 2 x - 4 = 0 akar-akarnya m dan n , tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya

a. 2 m - 1 3  dan  2 n - 1 3

b. m 3 - 1 dan n 3 - 1

Lihat Penyelesaian

H. APLIKASI PERSAMAAN KUADRAT

Untuk menyelesaiakan permasalahan yang berhubungan dengan persamaan kuadrat, maka langkah terpenting harus bisa mengubah permasalahan menjadi bentuk persamaan kuadrat.


Sebagai contoh :

1.

Sebuah persegi panjang mempunyai keliling 44 cm, dan luasnya 72 cm2 , maka tentukan panjang diagonal persegi panjang ini?


Lihat Penyelesaian
2.

Hasil kali dua buah bilangan ganjil berurutan adalah 323, Tentukan jumlahnya ?


Lihat Penyelesaian
3.

Untuk sebuah acara pesta sebuah sekolah, setiap kelas harus iuran sebesar Rp 280.000,-. Kelas X A sudah menetapkan besar iuran yang akan ditanggung tiap siswa, karena terdapat 6 siswa yang tidak mampu maka setiap siswa yang mampu membayar harus menambah iuran sebesar Rp 6.000,-.
Tentukan jumlah siswa kelas X A ?


Lihat Penyelesaian