A. RUMUS DASAR JUMLAH DAN SELISIH SUDUT TRIGONOMETRI

  1. cos α - β = cos α   cos β + sin α   sin β

  2. cos α + β = cos α   cos β - sin α   sin β

  3. sin α + β = sin α   cos β + cos α   sin β

  4. sin α - β = sin α   cos β - cos α   sin β

  5. tan α + β = tan α + tan β 1 - tan α   tan β

  6. tan α - β = tan α - tan β 1 + tan α   tan β


Bukti:

1. cos α - β = cos α   cos β + sin α   sin β




Pada gambar di samping, panjang
OA = OB = r

< AOQ = β , < BOP = α

Maka < AOB = α - β

Pada gambar di atas, dengan menggunakan rumus jarak dua titik Ax1,y1 dan Bx2,y2

AB 2 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2

= r cos α - r cos β 2 + r sin α - r sin β 2

= r 2 cos 2 α - 2 r 2 cos α   cos β + r 2 cos 2 β + r 2 sin 2 α - 2 r 2 sin α   sin β + r 2 sin 2 β

= r 2 cos 2 α + sin 2 α + cos 2 β + sin 2 β - 2 cos α   cos β - 2 sin α   sin β

= r 2 1 + 1 - 2 cos α   cos β + sin α   sin β ingat : cos2α+sin2α=1

= r 2 2 - 2 cos α   cos β + sin α   sin β


Dan menggunakan aturan cosinus pada segitiga AOB, di dapat

AB 2 = OA 2 + OB 2 - 2 OA × OB   cos α - β

= r 2 + r 2 - 2 r × r   cos α - β

= 2 r 2 - 2 r 2   cos α - β

= r 2 2 - 2 cos ( α - β )


Dengan menyamakan kedua ruas didapat

r22-2cosα cosβ+sinα sinβ=r22-2cos(α-β) kedua ruas dibagi r2

2 - 2 cos α   cos β + sin α   sin β = 2 - 2   cos ( α - β )         kedua ruas dikurangi 2

- 2 cos α   cos β + sin α   sin β = - 2 cos ( α - β )                 kedua ruas dibagi -2

cos ( α - β ) = cos α   cos β + sin α   sin β terbukti


2. cos α + β = cos α cos β - sin α sin β

Bukti :

Dari rumus nomor 1 : cos(α-β)=cosα cosβ+sinα sinβ

misal α=x dan β=-y maka

cos(x-(-y))=cosx cos-y+sinx sin(-y)

cos ( x + y ) = cos x   cos y + sin x - sin ( y )

= cos x   cos y - sin x   sin ( y )

Jadi cos(x+y)=cosx cosy-sinx siny

Rumus ini identik dengan : cosα+β =cosα cosβ-sinα sinβ


3. sin α + β = sin α   cos β + cos α   sin β

Bukti :

Dari rumus nomor 2 : cos(α+β)=cosα cosβ-sinα  sinβ

Misal α=90°+x dan β=y

cos ( 90 ° + x + y ) = cos 90 ° + x   cos y - sin 90 ° + x   sin ( y )

cos 90 ° + x + y = cos 90 ° + x   cos y - sin 90 ° + x     sin ( y )

- sin x + y = - sin x   cos y - cos x   sin ( y )       kedua ruas kalikan -1

sin x + y = sin x   cos y + cos x   sin ( y )

= sin x   cos y + cos x   sin y

Rumus ini identik dengan : sinα+β =sinα cosβ+cosα sinβ


4. sin α - β = sin α   cos β - cos α   sin β

Bukti :

Dari rumus nomor 3 : sin(α+β)=sinα cosβ+cosα sinβ

Misal α=x dan β=-y

sin ( x + ( - y ) ) = sin x   cos ( - y ) + cos x   sin ( - y )

sin ( x - y ) = sin x   cos y + cos x - sin x

= sin x   cos y - cos x   sin y

Rumus ini identik dengan : sinα-β =sinα cosβ-cosα sinβ


5. tan α + β = tan α + tan β 1 - tan α   tan β

Bukti :

tan α + β = sin α + β cos α + β

= sin α   cos β + cos α   sin β cos α   cos β - sin α   sin β       pembilang dan penyebut dibagi cos α   cos β

= sin α   cos β cos α   cos β + cos α   sin β cos α   cos β cos α   cos β cos α   cos β - sin α   sin β cos α   cos β

= tan α + tan β 1 - tan α   tan β       terbukti


6. tan α - β = tan α - tan β 1 + tan α   tan β

Bukti :

tan α - β = sin α - β cos α - β

= sin α   cos β - cos α   sin β cos α   cos β + sin α   sin β       pembilang dan penyebut dibagi cos α   cos β

= sin α   cos β cos α   cos β - cos α   sin β cos α   cos β cos α   cos β cos α   cos β + sin α   sin β cos α   cos β

= tan α - tan β 1 + tan α   tan β       terbukti


Sebagai contoh :

1.

Jabarkan bentuk-bentuk trigonometri di bawah ini

a. cos2x-y

c. sin4A+B

e. tanM+3N

b. cosx+3y

d. sin2A-7B

f. tan5M-N

Lihat Penyelesaian
2.

Jabarkan dan sederhanakan bentuk-bentuk trigonometri di bawah ini

a. cosπ3-y

c. sin2α+π6

e. tanπ4+3θ

b. cosx+π4

d. sinπ3-3β

f. tan2γ-π3

Lihat Penyelesaian
3.

Sederhanakan bentuk-bentuk di bawah ini

a. cos3x-2ycosy+sin3x-2ysiny

b. sin2α-βcosβ+cos2α-βsinβ

c. tan5x-tan4x1+tan5xtan4x


Lihat Penyelesaian
4.

Sederhanakan dan tentukan hasil dari

a. cos44°cos16°-sin44°sin16°

b. sin56°cos11°-sin56°cos11°

c. tan23°+tan221-tan23°tan22°


Lihat Penyelesaian
5.

Tentukan nilai eksak dari

a. sin15°

c. sin75°

b. cos105°

d. tan75°

Lihat Penyelesaian
6.

Jika sin13°=x dan cos13°=y , maka nyatakan bentuk-bentuk di bawah ini dalam x dan y

a. sin43°

c. cos55°cos8°+sin55°sin8°

b. cos58°

d. tan59°-tan27°1+tan59°tan27°

Lihat Penyelesaian
7.

Tentukan hasilnya dan rasionalkan penyebutnya dari tan20°-tan5°1+tan20°tan5° ?


Lihat Penyelesaian
8.

Diketahui sinA=35 untuk π2<A<3π2, tentukan hasil dari

a. cosA+π4

b. tanπ4-A

Lihat Penyelesaian
9.

Diketahui tanA=1,875 , dan secB=2,6 , dengan π<A<2π dan π<B<2π.
Tentukan

a. cosA-B

b. sinB-A

c. tanA+B

Lihat Penyelesaian
10.

Diketahui sinA+B=0,96, dan cosA=0,6 dengan A lancip, dan A+B tumpul.
Tentukan nilai dari cosB ?


Lihat Penyelesaian
11.

Diketahui sinA=52929, dan cosB=-53434, dengan A dan B sudut tumpul.
Tentukan nilai dari

a. tanπ4-A

b. tanA+B

Lihat Penyelesaian
12.

Diketahui x+y=120°, cosy=1213 dengan y sudut lancip, tentukan tanx ?


Lihat Penyelesaian
13.

Jika cosx+45°=3cosx-45° , maka tentukan cotx ?


Lihat Penyelesaian
14.

Tentukan nilai dari tanx jika

a. sinx+π3=cosx-π6

b. 3sinx+π3=2cosx-π6

Lihat Penyelesaian
15.

Jika tanA+B=3, dan tanB=2, maka tentukan nilai dari tanA ?


Lihat Penyelesaian
16.

Jika sinA+BsinA-B=3 , maka tentukan hasil dari tanAtanB ?


Lihat Penyelesaian
17.

Jika A=B+C, tunjukkan tanAtanBtanC=tanA-tanB-tanC ?


Lihat Penyelesaian
18.

Jika tan2x+y=3, dan tanx-y=2 , maka tentukan hasil dari

a. tan3x

b. tan3y

Lihat Penyelesaian
19.

Jika tanx=3 , dan sinx-y=2cos(y-x), maka tentukan nilai dari tany ?


Lihat Penyelesaian
20.

Tentukan hasil dari

a. cos15°+sin15°cos15°-sin15°

b. cos96°+sin96°tan48°

Lihat Penyelesaian
21.

Jika cosAcosB=13 dan cosA+B=14 , maka tentukan hasil dari

a. tanAtanB

b. cosA-B

Lihat Penyelesaian
22.

Jika A+B=π3 , dan sinAsinB=16 , maka tentukan nilai dari tanA-B ?


Lihat Penyelesaian
23.

Dalam segitiga ABC berlaku sinA=12 , dan cosB=-35 , maka tentukan sinC ?


Lihat Penyelesaian
24.

Diketahui α+β+γ=90°, cosα=45, dan cosβ=1517. Jika α,β,γ sudut lancip maka
tentukan sinγ ?


Lihat Penyelesaian
25.

Jika dalam segitiga ABC berlaku tanA+tanB=3tanC , maka tentukan nilai dari tanAtanB ?


Lihat Penyelesaian
26.

Diketahui sinA+cosB=1,1cosA-sinB=1,2 maka tentukan nilai dari sinA-B ?


Lihat Penyelesaian
27.

Tentukan hasil dari sin40°-sin35°2+cos40°+cos35°2 ?


Lihat Penyelesaian
28.

Tentukan hasil dari sin33°+cos18°2+cos33°-sin18°2 ?


Lihat Penyelesaian
29.

Jika sinA+cosB=1,6 , sin(A-B)=35 , maka tentukan sinB-cosA ?


Lihat Penyelesaian
30.

Diketahui A, B, C, dan D adalah sudut lancip, dengan sinA=12, cosB=12 , sinC=13
dan cosD=14. Tentukan hasil dari cosA+B-C-D ?


Lihat Penyelesaian

  1. RUMUS TRIGONOMETRI SUDUT RANGKAP

Yang dimaksud sudut rangkap adalah sudut trigonometri ruas kiri dua kali sudut trigonometri di sebelah kanan. Pada rumus di bawah ini sudutnya adalah α .

1. sin 2 α = 2 sin α cos α

2. a. cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α

b. cos 2 α = 2 cos 2 α - 1

c . cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α

3. tan 2 α = 2 tan α 1 - tan 2 α

Sudut rangkap 3 :

4. sin3α=3sinα-4sin3α

5. cos3α=4cos3α-3cosα


Bukti :

1. sin 2 α = 2 sin α cos α

sin 2 α = sin α + α

= sin α cos α + cos α sin α

= 2 sin α cos α

2. a. cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α

cos 2 α = cos α + α

= cos α cos α - sin α sin α

= cos 2 α - sin 2 α

b. cos 2 α = 2 cos 2 α - 1

dengan mengganti sin 2 α = 1 - cos 2 α pada cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α

didapat : cos 2 α = cos 2 α - 1 - cos 2 α

= 2 cos 2 α - 1

c . cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α

dengan mengganti cos 2 α = 1 - sin 2 α pada cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α

didapat : cos 2 α = 1 - sin 2 α - sin 2 α

= 1 - 2 sin 2 α

3. tan 2 α = 2 tan α 1 - tan 2 α

tan 2 α = tan α + α

= tan α + tan α 1 - tan α tan α

= 2 tan α 1 - tan 2 α

4. sin3α=3sinα-4sin3α

sin 3 α = sin 2 α + α

= sin 2 α cos α + cos 2 α sin α

= 2 sin α cos α cos α + 1 - 2 sin 2 α sin α

= 2 sin α cos 2 α + sin α - 2 sin 3 α

= 2 sin α 1 - sin 2 α + sin α - 2 sin 3 α

= 2 sin α - 2 sin 3 α + sin α - 2 sin 3 α

= 3 sin α - 4 sin 3 α




Gunakan :

sin 2 α = 2 sin α cos α

cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α

cos 2 α = 1 - sin 2 α

5. cos3α=4cos3α-3cosα

cos 3 α = cos 2 α + α

= cos 2 α cos α - sin 2 α sin α

= 2 cos 2 α - 1 cos α - 2 sin α cos α sin α

= 2 cos 3 α - cos α - 2 cos α sin 2 α

= 2 cos 3 α - cos α - 2 cos α 1 - cos 2 α

= 2 cos 3 α - cos α - 2 cos α + 2 cos 3 α

= 4 cos 3 α - 3 cos α




Gunakan :

sin 2 α = 2 sin α cos α

cos 2 α = 2 cos 2 α - 1

sin 2 α = 1 - cos 2 α

Contoh soal :

1. Diketahui tan x = 2 , maka tentukan tan 2 x dan tan 4 x ?

Jawab :

tan 2 x = 2 tan x 1 - tan 2 x = 2 2 1 - 2 2 = - 4 3

tan 4 x = 2 tan 2 x 1 - tan 2 2 x = 2 - 4 3 1 - - 4 3 2 × 9 9 = - 24 9 - 16 = 24 7

2. Diketahui sin x = 1 3 , tentukan cos 2 x dan cos 4 x ?

Jawab :

cos 2 x = 1 - 2 sin 2 x  

= 1 - 2 1 3 2  

= 7 9  

cos 4 x = 1 - 2 sin 2 2 x

= 1 - 2 7 9 2

= - 17 81

Sebagai contoh :


1.

Dengan menggunakan sudut rangkap, jabarkan sudut-sudut di bawah ini menjadi setengahnya

a. sin6x

c. tan4θ

e. sin3M

b. cos10A

d. cosα

f. tan40°

Lihat Penyelesaian
2.

Nyatakan trigonometri-trigonometri di bawah ini sudutnya dalam x

a. cos2x

c. sin2x

e. tan2x

b. cos4x

d. sin4x

f. tan4x

Lihat Penyelesaian
3.

Nyatakan trigonometri-trigonometri di bawah ini tanpa memuat pangkat

a. sin2A

c. cos2A

b. sin4A

d. cos4A


Lihat Penyelesaian
4.

Jika tanα=0,75 dan α sudut lancip, maka tentukan

a. sin2α

b. cos2α

c. tan2α


Lihat Penyelesaian
5.

Jika sinα=23 , dan α sudut tumpul maka tentukan nilai dari

a. sin2α

b. cos4α

c. cos8α

Lihat Penyelesaian
6.

Jika tanA=13 , tentukan nilai dari

a. tan2A

b. tan4A

c. tan8A

Lihat Penyelesaian
7.

Tentukan bentuk sederhana dari

a. sin4A-cos4Acos2A

b. sin2x+12+sin2x-12-32cos2x-12cos2x+1

Lihat Penyelesaian
8.

Jika θ adalah sudut lancip, dan sin2θ=0,44 , maka tentukan nilai dari

a. sinθ+cosθ

b. sin3θ+cos3θ

Lihat Penyelesaian
9.

Jika sinAcos2Acos4Acos8Acos16Acos32A=180secA , maka tentukan nilai dari

a. sin64A

b. cos128A

Lihat Penyelesaian
10.

Jika sin2A=110, dan 45°<A<90° , maka tentukan nilai dari 1sinA-1cosA ?


Lihat Penyelesaian
11.

Tentukan nilai maksimum dan minimum dari

  1. y = cos 2 x + 12 cos x

  2. y=5cos4x-10sin2x

Lihat Penyelesaian
12.

Jika cos4x+2cos22x+14sin2x+5=0 maka tentukan cos4x !

Lihat Penyelesaian

C. RUMUS TRIGONOMETRI SUDUT PERTENGAHAN

Yang dimaksud dengan sudut pertengahan adalah sudut trigonometri di sebelah kiri 1 2 dari sudut trigonometri di sebelah kanan, dalam hal ini sudutnya α .

1. cos 1 2 α = ± 1 + cos α 2

2. sin 1 2 α = ± 1 - cos α 2

3. tan 1 2 α = ± 1 + cos α 1 - cos α   atau   tan 1 2 α = ± 1 + cos α sin α   atau   tan 1 2 α = ± sin α 1 - cos α


Bukti :

1. cos 1 2 α = ± 1 + cos α 2

Dengan menggunakan rumus sudut rangkap cos 2 A = 2 cos 2 A - 1

Didapat cos 2 A + 1 = 2 cos 2 A

cos 2 A = 1 + cos 2 A 2

cos A = ± 1 + cos 2 A 2

Dengan mensubstitusikan A = 1 2 α

Didapat cos 1 2 α = ± 1 + cos α 2


2. sin 1 2 α = ± 1 - cos α 2

Dengan menggunakan rumus sudut rangkap cos 2 A = 1 - 2 sin 2 A

Didapat 2 sin 2 A = 1 - cos 2 A

sin 2 A = 1 - cos 2 A 2

sin A = ± 1 - cos 2 A 2

Dengan mensubstitusikan A = 1 2 α

Didapat sin 1 2 α = ± 1 - cos α 2


3. tan 1 2 α = ± 1 + cos α 1 - cos α   atau   tan 1 2 α = 1 + cos α sin α   atau   tan 1 2 α = sin α 1 - cos α

tan 1 2 α = sin 1 2 α cos 1 2 α

= ± 1 - cos α 2 ± 1 - cos α 2

= ± 1 - cos α 1 + cos α

tan 1 2 α = ± 1 - cos α 1 + cos α

= ± 1 - cos α 1 + cos α × 1 - cos α 1 - cos α

= ± 1 - cos α 2 1 - cos 2 α

= ± 1 - cos α 2 sin 2 α

= ± 1 - cos α sin α

= 1 - cos α sin α

tan 1 2 α = ± 1 - cos α 1 + cos α

= ± 1 - cos α 1 + cos α × 1 + cos α 1 + cos α

= ± 1 - cos 2 α 1 + cos α 2

= ± sin 2 α 1 + cos α 2

= ± sin α 1 + cos α

= sin α 1 + cos α


Sebagai contoh :


1.

Dengan menggunakan rumus sudut pertengahan, nyatakan bentuk-bentuk trigonometri di bawah ini sudutnya menjadi dua kalinya

a. sin22°

c. tan110°

e. cos5A

b. cos37°

d. sinx

f. tan2θ

Lihat Penyelesaian
2.

Tentukan nilai eksak dari

a. sin67,5°

c. tan75°

b. cos112,5°

d. tan157,5°

Lihat Penyelesaian
3.

Jika cosA=0,28 , dan 180°<A<360° , maka tentukan nilai dari

a. sin12A

b. cos12A

c. tan12A


Lihat Penyelesaian
4.

Dalam segitiga ABC, diketahui sinA=123 , dan cosB=-725.
Tentukan nilai dari cos12C ?


Lihat Penyelesaian
5.

Jika diketahui sinA=2xx2+1 dengan A sudut tumpul, maka tentukan nilai dari tanA2 ?


Lihat Penyelesaian

D. RUMUS PERKALIAN TRIGONOMETRI

Pada sub bab ini akan dibahas dari perkalian trigonometri menjadi penjumlahan atau pengurangan.

1. 2 sin A   cos B = sin A + B + sin A - B

2. 2 cos A   sin B = sin A + B - sin A - B

3. 2 cos A   cos B = cos A + B + cos A - B

4. 2 sin A   sin B = - cos A + B + cos A - B


Bukti :

1. 2 sin A   cos B = sin A + B + sin A - B

sin A + B = sin A   cos B + cos A   sin B sin A - B = sin A   cos B - cos A   sin B sin ( A + B ) + sin ( A - B ) = 2 sin A   cos B ¯ +


2. 2 cos A   sin B = sin A + B - sin A - B

sin A + B = sin A   cos B + cos A   sin B sin A - B = sin A   cos B - cos A   sin B sin ( A + B ) - sin ( A - B ) = 2 cos A   sin B ¯ -


3. 2 cos A   cos B = cos A + B + cos A - B

cos A + B = cos A   cos B - sin A   sin B cos A - B = cos A   cos B + sin A   sin B cos ( A + B ) + cos ( A - B ) = 2 cos A   cos B ¯ +


4. 2 sin A   sin B = - cos A + B + cos A - B

cos A + B = cos A   cos B - sin A   sin B cos A - B = cos A   cos B + sin A   sin B cos ( A + B ) + cos ( A - B ) = - 2 sin A   sin B ¯ -


Sebagai contoh :


1.

Sederhanakan bentuk-bentuk trigonometri di bawah ini

a. 2sin70°cos20°-sin50°

c. cos77°sin43°+cos60°sin34°

b. 2cos85°cos25°-cos110°

d. 10sin55°sin5°-5sin50°

Lihat Penyelesaian
2.

Tentukan hasil dari

a. 2sin37,5°cos7,5°

c. sin82,5°sin37,5°

b. 10cos52,5°cos7,5°

d. 6cos187,5°sin37,5°

Lihat Penyelesaian
3.

Tentukan hasil dari

a. 8cos75°sin15°

c. 2sin165°sin105°

b. 4sin165°cos75°

d. cos105°cos 15°


Lihat Penyelesaian
4.

Sederhanakan bentuk-bentuk trigonometri di bawah ini

a. 2cos46°+xcos44°+x-2sinx+46°cosx-46°

b. 6sin(55°+x)cos35°-x-3sin(20°+2x)


Lihat Penyelesaian
5.

Tentukan hasil dari sin54°sin18° ?


Lihat Penyelesaian

E. RUMUS PENJUMLAHAN TRIGONOMETRI

1. sin A + sin B = 2 sin A + B 2 cos A - B 2

2. sin A - sin B = 2 cos A + B 2 sin A - B 2

3. cos A + cos B = 2 cos A + B 2 cos A - B 2

4. cos A - cos B = - 2 sin A + B 2 sin A - B 2


Bukti :

1. sin A + si n B = 2 sin A + B 2 cos A - B 2

Dari rumus perkalian ke penjumlahan diketahui

2 sin A   cos B = sin ( A + B ) + sin ( A - B )

Misal A + B = x ……(1) dan

A - B = y …… ..( 2)

Dari hasil substitusi kedua persamaan (1) dan (2) didapat A = x + y 2 dan B = x - y 2

Sehingga bentuk : 2 sin A   cos B = sin ( A + B ) + sin ( A - B )

Menjadi : 2 sin x + y 2 cos x - y 2 = sin x + sin y

sin x + sin y = 2 sin x + y 2 cos x - y 2

Rumus ini identik dengan : sin A + sin B = 2 sin A + B 2 cos A - B 2


2. sin A - sin B = 2 cos A + B 2 sin A - B 2

Dari rumus perkalian ke penjumlahan diketahui

2 cos A   sin B = sin ( A + B ) - sin ( A - B )

Misal A + B = x ……(1) dan

A - B = y ……..(2)

Dari hasil substitusi kedua persamaan (1) dan (2) didapat A = x + y 2 dan B = x - y 2

Sehingga bentuk : 2 cos A   sin B = sin ( A + B ) - sin ( A - B )

Menjadi : 2 cos x + y 2 sin x - y 2 = sin x - sin y

sin x - sin y = 2 cos x + y 2 sin x - y 2

Rumus ini identik dengan : sin A - sin B = 2 cos A + B 2 sin A - B 2


3. cos A + cos B = 2 cos A + B 2 cos A - B 2

Dari rumus perkalian ke penjumlahan diketahui

2 cos A   cos B = cos ( A + B ) + cos ( A - B )

Misal A + B = x ……(1) dan

A - B = y ……..(2)

Dari hasil substitusi kedua persamaan (1) dan (2) didapat A = x + y 2 dan B = x - y 2

Sehingga bentuk : 2 cos A   cos B = cos ( A + B ) + cos ( A - B )

Menjadi : 2 cos x + y 2 cos x - y 2 = cos x + cos y

cos x + cos y = 2 cos x + y 2 cos x - y 2

Rumus ini identik dengan : cos A + cos B = 2 cos A + B 2 cos A - B 2


4. cos A - cos B = - 2 sin A + B 2 sin A - B 2

Dari rumus perkalian ke penjumlahan diketahui

- 2 sin A   sin B = cos ( A + B ) - cos ( A - B )

Misal A + B = x ……(1) dan

A - B = y …… ..( 2)

Dari hasil substitusi kedua persamaan (1) dan (2) didapat A = x + y 2 dan B = x - y 2

Sehingga bentuk : - 2 sin A sin B = cos ( A + B ) - cos ( A - B )

Menjadi : - 2 sin x + y 2 sin x - y 2 = cos x - cos y

cos x - cos y = - 2 sin x + y 2 sin x - y 2

Rumus ini identik dengan : cos A - cos B = - 2 sin A + B 2 sin A - B 2


Sebagai contoh :


1.

Tentukan hasil dari

a. sin75°+sin15°

c. sin105°-sin15°

b. cos165°-cos75°

d. cos165°-cos75°

Lihat Penyelesaian
2.

Tentukan hasil dari

a. sin80°-sin40°sin20°

c. sin111°+ sin69°cos21°

b. cos70°+ cos50°cos10°

d. sin66°-sin6°cos36°

Lihat Penyelesaian
3.

Tentukan hasil dari

a. sin7π12+sinπ12

b. cos17π18+cos7π18cos5π18


Lihat Penyelesaian
4.

Tentukan Himpunan penyelesaian dari persamaan
sin2x+77°+sin2x+17°+32=0 , untuk 0<x<360° ?


Lihat Penyelesaian
5.

a. Tentukan bentuk sederhana dari sin7x+sin4x+sinxcos 7x+cos 4x+cosx ?


b. Kemudian tentukan nilai eksak dari sin78,75°+sin45°+sin11,25°cos78,75°+cos45°+cos11,25° ?


Lihat Penyelesaian

  1. BENTUK a cos x + b sin x = k cos x - α

a cos x + b sin x = k cos x - α

Dengan k = a 2 + b 2 dan tan α = b a

Jika a > 0 , b > 0 maka α di kuadran I

Jika a > 0 , b < 0 maka α di kuadran IV

Jika a < 0 , b > 0 maka α di kuadran II

Jika a < 0 , b < 0 maka α di kuadran III

Bukti :

Jika acosx+bsinx=kcosx-α maka k=a2+b2 dan tanα=ba

a cos x + b sin x = k cos x - α

= k cos x cos α + sin x sin α

Bandingkan ruas kiri dan ruas kanan

Koefisien dari cos x a = k cos α

Koefisien dari sin x b = k sin α

b = k sin α a = k cos α b a = tan α ¯ ÷

b 2 = k 2 sin 2 α a 2 = k 2 cos 2 α a 2 + b 2 = k 2 cos 2 α + sin 2 α ¯ +

a 2 + b 2 = k 2 atau k = a 2 + b 2


Perhatikan contoh di bawah ini :

  1. Ubah 6 cos x - 2 3 sin x ke dalam bentuk k cos x - α !

    Jawab :

    6 cos x - 2 3 sin x = k cos x - α

    k = a 2 + b 2       a = 6 dan b = - 2 3

    = 6 2 + - 2 3 2

    = 36 + 12

    = 4 3

    tan α = b a = - 2 3 6 = - 1 3 3   kuadran I V sebab k o e f i s i e n cos x + k o e f i s i e n sin x     -

    α = - 30 ° + 360 ° = 330 °

    Jadi 6 cos x - 2 3 sin x = 4 3 cos x - 330 °

  1. Tentukan himpunan penyelesaian dari cos 2 x + sin 2 x = 1 , untuk 0 x 360 ° !

    Jawab :

    cos 2 x + sin 2 x = k cos 2 x - α

    k = a 2 + b 2     a = 1 dan b = 1

    = 1 2 + 1 2

    = 2

    tan α = b a = 1 1 = 1   kuadran I sebab k o e f i s i e n cos x + k o e f i s i e n sin x     +

    α = 45 °

    Jadi cos 2 x + sin 2 x = 1

    2 cos 2 x - 45 ° = 1

    cos 2 x - 45 ° = 1 2 2

    cos 2 x - 45 ° = cos 45 °

    2 x - 45 ° = 45 ° + k 360 ° 2 x - 45 ° = - 45 ° + k 360 °

    2 x = 90 ° + k 360 ° 2 x = k 360 °

    x = 45 ° + k 180 ° x = k 180 °

    x = 0 ° ,   45 ° ,   180 ° ,   225 ° ,   360 °  

  1. Tentukan nilai maksimum y = 3 sin 2 x + 8 sin 2 x !

    Jawab :

    y = 3 sin 2 x + 8 sin 2 x     sin 2 x = 1 2 - 1 2 cos 2 x

    = 3 sin 2 x + 8 1 2 - 1 2 cos 2 x  

    = 3 sin 2 x - 4 cos 2 x + 4 3 sin 2 x - 4 cos 2 x = 5 cos 2 x - α

    = 5 cos 2 x - α + 4

    Karena nilai maksimum dari cos 2 x - α = 1 maka

    y m a x = 5 1 + 4

    = 9


Sebagai contoh :

1.

Nyatakan dalam bentuk k cos x - α untuk bentuk-bentuk di bawah ini

a. cos x + sin x

c. sin x - cos x

b. cos x - sin x

d. cos x - sin x

Lihat Penyelesaian
2.

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan

  1. 3 cos 2 x - sin 2 x = 1
    untuk 0 < x < 360 °

  2. cos 2 x + 60 ° + 4 sin x + 30 ° cos x + 30 ° cos 30 ° + 2 = 0
    untuk 0 x 360 °

Lihat Penyelesaian
3.

Tentukan nilai maksimum dan minimum dari

  1. y = 3 cos 2 x + 15 sin 2 x - 10 sin 2 x

  2. y = 8 cos 2 x - 5 sin 2 x + 8 cos 2 x

Lihat Penyelesaian
4.

Tentukan batas nilai m supaya persamaan trigonometri di bawah ini dapat diselesaikan

a. 4 sin x - 3 cos x = 3 - 4 m

b. 5 sin 3 x + 12 cos 3 x = m 2 + 6 m - 5


Lihat Penyelesaian
5.

Tentukan nilai maksimum dan minimum dari

a. y = 15 sin 5 x - 8 cos 5 x + 3

b. y = sin x + cos x 2 + 2 cos 60 ° cos 2 x


Lihat Penyelesaian