1. BENTUK a cos x + b sin x = k cos x - α

a cos x + b sin x = k cos x - α

Dengan k = a 2 + b 2 dan tan α = b a

Jika a > 0 , b > 0 maka α di kuadran I

Jika a > 0 , b < 0 maka α di kuadran IV

Jika a < 0 , b > 0 maka α di kuadran II

Jika a < 0 , b < 0 maka α di kuadran III

Bukti :

Jika acosx+bsinx=kcosx-α maka k=a2+b2 dan tanα=ba

a cos x + b sin x = k cos x - α

= k cos x cos α + sin x sin α

Bandingkan ruas kiri dan ruas kanan

Koefisien dari cos x a = k cos α

Koefisien dari sin x b = k sin α

b = k sin α a = k cos α b a = tan α ¯ ÷

b 2 = k 2 sin 2 α a 2 = k 2 cos 2 α a 2 + b 2 = k 2 cos 2 α + sin 2 α ¯ +

a 2 + b 2 = k 2 atau k = a 2 + b 2


Perhatikan contoh di bawah ini :

  1. Ubah 6 cos x - 2 3 sin x ke dalam bentuk k cos x - α !

    Jawab :

    6 cos x - 2 3 sin x = k cos x - α

    k = a 2 + b 2       a = 6 dan b = - 2 3

    = 6 2 + - 2 3 2

    = 36 + 12

    = 4 3

    tan α = b a = - 2 3 6 = - 1 3 3   kuadran I V sebab k o e f i s i e n cos x + k o e f i s i e n sin x     -

    α = - 30 ° + 360 ° = 330 °

    Jadi 6 cos x - 2 3 sin x = 4 3 cos x - 330 °

  1. Tentukan himpunan penyelesaian dari cos 2 x + sin 2 x = 1 , untuk 0 x 360 ° !

    Jawab :

    cos 2 x + sin 2 x = k cos 2 x - α

    k = a 2 + b 2     a = 1 dan b = 1

    = 1 2 + 1 2

    = 2

    tan α = b a = 1 1 = 1   kuadran I sebab k o e f i s i e n cos x + k o e f i s i e n sin x     +

    α = 45 °

    Jadi cos 2 x + sin 2 x = 1

    2 cos 2 x - 45 ° = 1

    cos 2 x - 45 ° = 1 2 2

    cos 2 x - 45 ° = cos 45 °

    2 x - 45 ° = 45 ° + k 360 ° 2 x - 45 ° = - 45 ° + k 360 °

    2 x = 90 ° + k 360 ° 2 x = k 360 °

    x = 45 ° + k 180 ° x = k 180 °

    x = 0 ° ,   45 ° ,   180 ° ,   225 ° ,   360 °  

  1. Tentukan nilai maksimum y = 3 sin 2 x + 8 sin 2 x !

    Jawab :

    y = 3 sin 2 x + 8 sin 2 x     sin 2 x = 1 2 - 1 2 cos 2 x

    = 3 sin 2 x + 8 1 2 - 1 2 cos 2 x  

    = 3 sin 2 x - 4 cos 2 x + 4 3 sin 2 x - 4 cos 2 x = 5 cos 2 x - α

    = 5 cos 2 x - α + 4

    Karena nilai maksimum dari cos 2 x - α = 1 maka

    y m a x = 5 1 + 4

    = 9


Sebagai contoh :

1.

Nyatakan dalam bentuk k cos x - α untuk bentuk-bentuk di bawah ini

a. cos x + sin x

c. sin x - cos x

b. cos x - sin x

d. cos x - sin x

Lihat Penyelesaian
2.

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan

  1. 3 cos 2 x - sin 2 x = 1
    untuk 0 < x < 360 °

  2. cos 2 x + 60 ° + 4 sin x + 30 ° cos x + 30 ° cos 30 ° + 2 = 0
    untuk 0 x 360 °

Lihat Penyelesaian
3.

Tentukan nilai maksimum dan minimum dari

  1. y = 3 cos 2 x + 15 sin 2 x - 10 sin 2 x

  2. y = 8 cos 2 x - 5 sin 2 x + 8 cos 2 x

Lihat Penyelesaian
4.

Tentukan batas nilai m supaya persamaan trigonometri di bawah ini dapat diselesaikan

a. 4 sin x - 3 cos x = 3 - 4 m

b. 5 sin 3 x + 12 cos 3 x = m 2 + 6 m - 5


Lihat Penyelesaian
5.

Tentukan nilai maksimum dan minimum dari

a. y = 15 sin 5 x - 8 cos 5 x + 3

b. y = sin x + cos x 2 + 2 cos 60 ° cos 2 x


Lihat Penyelesaian