E. RUMUS PENJUMLAHAN TRIGONOMETRI

1. sin A + sin B = 2 sin A + B 2 cos A - B 2

2. sin A - sin B = 2 cos A + B 2 sin A - B 2

3. cos A + cos B = 2 cos A + B 2 cos A - B 2

4. cos A - cos B = - 2 sin A + B 2 sin A - B 2


Bukti :

1. sin A + si n B = 2 sin A + B 2 cos A - B 2

Dari rumus perkalian ke penjumlahan diketahui

2 sin A   cos B = sin ( A + B ) + sin ( A - B )

Misal A + B = x ……(1) dan

A - B = y …… ..( 2)

Dari hasil substitusi kedua persamaan (1) dan (2) didapat A = x + y 2 dan B = x - y 2

Sehingga bentuk : 2 sin A   cos B = sin ( A + B ) + sin ( A - B )

Menjadi : 2 sin x + y 2 cos x - y 2 = sin x + sin y

sin x + sin y = 2 sin x + y 2 cos x - y 2

Rumus ini identik dengan : sin A + sin B = 2 sin A + B 2 cos A - B 2


2. sin A - sin B = 2 cos A + B 2 sin A - B 2

Dari rumus perkalian ke penjumlahan diketahui

2 cos A   sin B = sin ( A + B ) - sin ( A - B )

Misal A + B = x ……(1) dan

A - B = y ……..(2)

Dari hasil substitusi kedua persamaan (1) dan (2) didapat A = x + y 2 dan B = x - y 2

Sehingga bentuk : 2 cos A   sin B = sin ( A + B ) - sin ( A - B )

Menjadi : 2 cos x + y 2 sin x - y 2 = sin x - sin y

sin x - sin y = 2 cos x + y 2 sin x - y 2

Rumus ini identik dengan : sin A - sin B = 2 cos A + B 2 sin A - B 2


3. cos A + cos B = 2 cos A + B 2 cos A - B 2

Dari rumus perkalian ke penjumlahan diketahui

2 cos A   cos B = cos ( A + B ) + cos ( A - B )

Misal A + B = x ……(1) dan

A - B = y ……..(2)

Dari hasil substitusi kedua persamaan (1) dan (2) didapat A = x + y 2 dan B = x - y 2

Sehingga bentuk : 2 cos A   cos B = cos ( A + B ) + cos ( A - B )

Menjadi : 2 cos x + y 2 cos x - y 2 = cos x + cos y

cos x + cos y = 2 cos x + y 2 cos x - y 2

Rumus ini identik dengan : cos A + cos B = 2 cos A + B 2 cos A - B 2


4. cos A - cos B = - 2 sin A + B 2 sin A - B 2

Dari rumus perkalian ke penjumlahan diketahui

- 2 sin A   sin B = cos ( A + B ) - cos ( A - B )

Misal A + B = x ……(1) dan

A - B = y …… ..( 2)

Dari hasil substitusi kedua persamaan (1) dan (2) didapat A = x + y 2 dan B = x - y 2

Sehingga bentuk : - 2 sin A sin B = cos ( A + B ) - cos ( A - B )

Menjadi : - 2 sin x + y 2 sin x - y 2 = cos x - cos y

cos x - cos y = - 2 sin x + y 2 sin x - y 2

Rumus ini identik dengan : cos A - cos B = - 2 sin A + B 2 sin A - B 2


Sebagai contoh :


1.

Tentukan hasil dari

a. sin75°+sin15°

c. sin105°-sin15°

b. cos165°-cos75°

d. cos165°-cos75°

Lihat Penyelesaian
2.

Tentukan hasil dari

a. sin80°-sin40°sin20°

c. sin111°+ sin69°cos21°

b. cos70°+ cos50°cos10°

d. sin66°-sin6°cos36°

Lihat Penyelesaian
3.

Tentukan hasil dari

a. sin7π12+sinπ12

b. cos17π18+cos7π18cos5π18


Lihat Penyelesaian
4.

Tentukan Himpunan penyelesaian dari persamaan
sin2x+77°+sin2x+17°+32=0 , untuk 0<x<360° ?


Lihat Penyelesaian
5.

a. Tentukan bentuk sederhana dari sin7x+sin4x+sinxcos 7x+cos 4x+cosx ?


b. Kemudian tentukan nilai eksak dari sin78,75°+sin45°+sin11,25°cos78,75°+cos45°+cos11,25° ?


Lihat Penyelesaian