C. RUMUS TRIGONOMETRI SUDUT PERTENGAHAN

Yang dimaksud dengan sudut pertengahan adalah sudut trigonometri di sebelah kiri 1 2 dari sudut trigonometri di sebelah kanan, dalam hal ini sudutnya α .

1. cos 1 2 α = ± 1 + cos α 2

2. sin 1 2 α = ± 1 - cos α 2

3. tan 1 2 α = ± 1 + cos α 1 - cos α   atau   tan 1 2 α = ± 1 + cos α sin α   atau   tan 1 2 α = ± sin α 1 - cos α


Bukti :

1. cos 1 2 α = ± 1 + cos α 2

Dengan menggunakan rumus sudut rangkap cos 2 A = 2 cos 2 A - 1

Didapat cos 2 A + 1 = 2 cos 2 A

cos 2 A = 1 + cos 2 A 2

cos A = ± 1 + cos 2 A 2

Dengan mensubstitusikan A = 1 2 α

Didapat cos 1 2 α = ± 1 + cos α 2


2. sin 1 2 α = ± 1 - cos α 2

Dengan menggunakan rumus sudut rangkap cos 2 A = 1 - 2 sin 2 A

Didapat 2 sin 2 A = 1 - cos 2 A

sin 2 A = 1 - cos 2 A 2

sin A = ± 1 - cos 2 A 2

Dengan mensubstitusikan A = 1 2 α

Didapat sin 1 2 α = ± 1 - cos α 2


3. tan 1 2 α = ± 1 + cos α 1 - cos α   atau   tan 1 2 α = 1 + cos α sin α   atau   tan 1 2 α = sin α 1 - cos α

tan 1 2 α = sin 1 2 α cos 1 2 α

= ± 1 - cos α 2 ± 1 - cos α 2

= ± 1 - cos α 1 + cos α

tan 1 2 α = ± 1 - cos α 1 + cos α

= ± 1 - cos α 1 + cos α × 1 - cos α 1 - cos α

= ± 1 - cos α 2 1 - cos 2 α

= ± 1 - cos α 2 sin 2 α

= ± 1 - cos α sin α

= 1 - cos α sin α

tan 1 2 α = ± 1 - cos α 1 + cos α

= ± 1 - cos α 1 + cos α × 1 + cos α 1 + cos α

= ± 1 - cos 2 α 1 + cos α 2

= ± sin 2 α 1 + cos α 2

= ± sin α 1 + cos α

= sin α 1 + cos α


Sebagai contoh :


1.

Dengan menggunakan rumus sudut pertengahan, nyatakan bentuk-bentuk trigonometri di bawah ini sudutnya menjadi dua kalinya

a. sin22°

c. tan110°

e. cos5A

b. cos37°

d. sinx

f. tan2θ

Lihat Penyelesaian
2.

Tentukan nilai eksak dari

a. sin67,5°

c. tan75°

b. cos112,5°

d. tan157,5°

Lihat Penyelesaian
3.

Jika cosA=0,28 , dan 180°<A<360° , maka tentukan nilai dari

a. sin12A

b. cos12A

c. tan12A


Lihat Penyelesaian
4.

Dalam segitiga ABC, diketahui sinA=123 , dan cosB=-725.
Tentukan nilai dari cos12C ?


Lihat Penyelesaian
5.

Jika diketahui sinA=2xx2+1 dengan A sudut tumpul, maka tentukan nilai dari tanA2 ?


Lihat Penyelesaian