1. RUMUS TRIGONOMETRI SUDUT RANGKAP

Yang dimaksud sudut rangkap adalah sudut trigonometri ruas kiri dua kali sudut trigonometri di sebelah kanan. Pada rumus di bawah ini sudutnya adalah α .

1. sin 2 α = 2 sin α cos α

2. a. cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α

b. cos 2 α = 2 cos 2 α - 1

c . cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α

3. tan 2 α = 2 tan α 1 - tan 2 α

Sudut rangkap 3 :

4. sin3α=3sinα-4sin3α

5. cos3α=4cos3α-3cosα


Bukti :

1. sin 2 α = 2 sin α cos α

sin 2 α = sin α + α

= sin α cos α + cos α sin α

= 2 sin α cos α

2. a. cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α

cos 2 α = cos α + α

= cos α cos α - sin α sin α

= cos 2 α - sin 2 α

b. cos 2 α = 2 cos 2 α - 1

dengan mengganti sin 2 α = 1 - cos 2 α pada cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α

didapat : cos 2 α = cos 2 α - 1 - cos 2 α

= 2 cos 2 α - 1

c . cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α

dengan mengganti cos 2 α = 1 - sin 2 α pada cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α

didapat : cos 2 α = 1 - sin 2 α - sin 2 α

= 1 - 2 sin 2 α

3. tan 2 α = 2 tan α 1 - tan 2 α

tan 2 α = tan α + α

= tan α + tan α 1 - tan α tan α

= 2 tan α 1 - tan 2 α

4. sin3α=3sinα-4sin3α

sin 3 α = sin 2 α + α

= sin 2 α cos α + cos 2 α sin α

= 2 sin α cos α cos α + 1 - 2 sin 2 α sin α

= 2 sin α cos 2 α + sin α - 2 sin 3 α

= 2 sin α 1 - sin 2 α + sin α - 2 sin 3 α

= 2 sin α - 2 sin 3 α + sin α - 2 sin 3 α

= 3 sin α - 4 sin 3 α




Gunakan :

sin 2 α = 2 sin α cos α

cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α

cos 2 α = 1 - sin 2 α

5. cos3α=4cos3α-3cosα

cos 3 α = cos 2 α + α

= cos 2 α cos α - sin 2 α sin α

= 2 cos 2 α - 1 cos α - 2 sin α cos α sin α

= 2 cos 3 α - cos α - 2 cos α sin 2 α

= 2 cos 3 α - cos α - 2 cos α 1 - cos 2 α

= 2 cos 3 α - cos α - 2 cos α + 2 cos 3 α

= 4 cos 3 α - 3 cos α




Gunakan :

sin 2 α = 2 sin α cos α

cos 2 α = 2 cos 2 α - 1

sin 2 α = 1 - cos 2 α

Contoh soal :

1. Diketahui tan x = 2 , maka tentukan tan 2 x dan tan 4 x ?

Jawab :

tan 2 x = 2 tan x 1 - tan 2 x = 2 2 1 - 2 2 = - 4 3

tan 4 x = 2 tan 2 x 1 - tan 2 2 x = 2 - 4 3 1 - - 4 3 2 × 9 9 = - 24 9 - 16 = 24 7

2. Diketahui sin x = 1 3 , tentukan cos 2 x dan cos 4 x ?

Jawab :

cos 2 x = 1 - 2 sin 2 x  

= 1 - 2 1 3 2  

= 7 9  

cos 4 x = 1 - 2 sin 2 2 x

= 1 - 2 7 9 2

= - 17 81

Sebagai contoh :


1.

Dengan menggunakan sudut rangkap, jabarkan sudut-sudut di bawah ini menjadi setengahnya

a. sin6x

c. tan4θ

e. sin3M

b. cos10A

d. cosα

f. tan40°

Lihat Penyelesaian
2.

Nyatakan trigonometri-trigonometri di bawah ini sudutnya dalam x

a. cos2x

c. sin2x

e. tan2x

b. cos4x

d. sin4x

f. tan4x

Lihat Penyelesaian
3.

Nyatakan trigonometri-trigonometri di bawah ini tanpa memuat pangkat

a. sin2A

c. cos2A

b. sin4A

d. cos4A


Lihat Penyelesaian
4.

Jika tanα=0,75 dan α sudut lancip, maka tentukan

a. sin2α

b. cos2α

c. tan2α


Lihat Penyelesaian
5.

Jika sinα=23 , dan α sudut tumpul maka tentukan nilai dari

a. sin2α

b. cos4α

c. cos8α

Lihat Penyelesaian
6.

Jika tanA=13 , tentukan nilai dari

a. tan2A

b. tan4A

c. tan8A

Lihat Penyelesaian
7.

Tentukan bentuk sederhana dari

a. sin4A-cos4Acos2A

b. sin2x+12+sin2x-12-32cos2x-12cos2x+1

Lihat Penyelesaian
8.

Jika θ adalah sudut lancip, dan sin2θ=0,44 , maka tentukan nilai dari

a. sinθ+cosθ

b. sin3θ+cos3θ

Lihat Penyelesaian
9.

Jika sinAcos2Acos4Acos8Acos16Acos32A=180secA , maka tentukan nilai dari

a. sin64A

b. cos128A

Lihat Penyelesaian
10.

Jika sin2A=110, dan 45°<A<90° , maka tentukan nilai dari 1sinA-1cosA ?


Lihat Penyelesaian
11.

Tentukan nilai maksimum dan minimum dari

  1. y = cos 2 x + 12 cos x

  2. y=5cos4x-10sin2x

Lihat Penyelesaian
12.

Jika cos4x+2cos22x+14sin2x+5=0 maka tentukan cos4x !

Lihat Penyelesaian