A. RUMUS DASAR JUMLAH DAN SELISIH SUDUT TRIGONOMETRI

  1. cos α - β = cos α   cos β + sin α   sin β

  2. cos α + β = cos α   cos β - sin α   sin β

  3. sin α + β = sin α   cos β + cos α   sin β

  4. sin α - β = sin α   cos β - cos α   sin β

  5. tan α + β = tan α + tan β 1 - tan α   tan β

  6. tan α - β = tan α - tan β 1 + tan α   tan β


Bukti:

1. cos α - β = cos α   cos β + sin α   sin β




Pada gambar di samping, panjang
OA = OB = r

< AOQ = β , < BOP = α

Maka < AOB = α - β

Pada gambar di atas, dengan menggunakan rumus jarak dua titik Ax1,y1 dan Bx2,y2

AB 2 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2

= r cos α - r cos β 2 + r sin α - r sin β 2

= r 2 cos 2 α - 2 r 2 cos α   cos β + r 2 cos 2 β + r 2 sin 2 α - 2 r 2 sin α   sin β + r 2 sin 2 β

= r 2 cos 2 α + sin 2 α + cos 2 β + sin 2 β - 2 cos α   cos β - 2 sin α   sin β

= r 2 1 + 1 - 2 cos α   cos β + sin α   sin β ingat : cos2α+sin2α=1

= r 2 2 - 2 cos α   cos β + sin α   sin β


Dan menggunakan aturan cosinus pada segitiga AOB, di dapat

AB 2 = OA 2 + OB 2 - 2 OA × OB   cos α - β

= r 2 + r 2 - 2 r × r   cos α - β

= 2 r 2 - 2 r 2   cos α - β

= r 2 2 - 2 cos ( α - β )


Dengan menyamakan kedua ruas didapat

r22-2cosα cosβ+sinα sinβ=r22-2cos(α-β) kedua ruas dibagi r2

2 - 2 cos α   cos β + sin α   sin β = 2 - 2   cos ( α - β )         kedua ruas dikurangi 2

- 2 cos α   cos β + sin α   sin β = - 2 cos ( α - β )                 kedua ruas dibagi -2

cos ( α - β ) = cos α   cos β + sin α   sin β terbukti


2. cos α + β = cos α cos β - sin α sin β

Bukti :

Dari rumus nomor 1 : cos(α-β)=cosα cosβ+sinα sinβ

misal α=x dan β=-y maka

cos(x-(-y))=cosx cos-y+sinx sin(-y)

cos ( x + y ) = cos x   cos y + sin x - sin ( y )

= cos x   cos y - sin x   sin ( y )

Jadi cos(x+y)=cosx cosy-sinx siny

Rumus ini identik dengan : cosα+β =cosα cosβ-sinα sinβ


3. sin α + β = sin α   cos β + cos α   sin β

Bukti :

Dari rumus nomor 2 : cos(α+β)=cosα cosβ-sinα  sinβ

Misal α=90°+x dan β=y

cos ( 90 ° + x + y ) = cos 90 ° + x   cos y - sin 90 ° + x   sin ( y )

cos 90 ° + x + y = cos 90 ° + x   cos y - sin 90 ° + x     sin ( y )

- sin x + y = - sin x   cos y - cos x   sin ( y )       kedua ruas kalikan -1

sin x + y = sin x   cos y + cos x   sin ( y )

= sin x   cos y + cos x   sin y

Rumus ini identik dengan : sinα+β =sinα cosβ+cosα sinβ


4. sin α - β = sin α   cos β - cos α   sin β

Bukti :

Dari rumus nomor 3 : sin(α+β)=sinα cosβ+cosα sinβ

Misal α=x dan β=-y

sin ( x + ( - y ) ) = sin x   cos ( - y ) + cos x   sin ( - y )

sin ( x - y ) = sin x   cos y + cos x - sin x

= sin x   cos y - cos x   sin y

Rumus ini identik dengan : sinα-β =sinα cosβ-cosα sinβ


5. tan α + β = tan α + tan β 1 - tan α   tan β

Bukti :

tan α + β = sin α + β cos α + β

= sin α   cos β + cos α   sin β cos α   cos β - sin α   sin β       pembilang dan penyebut dibagi cos α   cos β

= sin α   cos β cos α   cos β + cos α   sin β cos α   cos β cos α   cos β cos α   cos β - sin α   sin β cos α   cos β

= tan α + tan β 1 - tan α   tan β       terbukti


6. tan α - β = tan α - tan β 1 + tan α   tan β

Bukti :

tan α - β = sin α - β cos α - β

= sin α   cos β - cos α   sin β cos α   cos β + sin α   sin β       pembilang dan penyebut dibagi cos α   cos β

= sin α   cos β cos α   cos β - cos α   sin β cos α   cos β cos α   cos β cos α   cos β + sin α   sin β cos α   cos β

= tan α - tan β 1 + tan α   tan β       terbukti


Sebagai contoh :

1.

Jabarkan bentuk-bentuk trigonometri di bawah ini

a. cos2x-y

c. sin4A+B

e. tanM+3N

b. cosx+3y

d. sin2A-7B

f. tan5M-N

Lihat Penyelesaian
2.

Jabarkan dan sederhanakan bentuk-bentuk trigonometri di bawah ini

a. cosπ3-y

c. sin2α+π6

e. tanπ4+3θ

b. cosx+π4

d. sinπ3-3β

f. tan2γ-π3

Lihat Penyelesaian
3.

Sederhanakan bentuk-bentuk di bawah ini

a. cos3x-2ycosy+sin3x-2ysiny

b. sin2α-βcosβ+cos2α-βsinβ

c. tan5x-tan4x1+tan5xtan4x


Lihat Penyelesaian
4.

Sederhanakan dan tentukan hasil dari

a. cos44°cos16°-sin44°sin16°

b. sin56°cos11°-sin56°cos11°

c. tan23°+tan221-tan23°tan22°


Lihat Penyelesaian
5.

Tentukan nilai eksak dari

a. sin15°

c. sin75°

b. cos105°

d. tan75°

Lihat Penyelesaian
6.

Jika sin13°=x dan cos13°=y , maka nyatakan bentuk-bentuk di bawah ini dalam x dan y

a. sin43°

c. cos55°cos8°+sin55°sin8°

b. cos58°

d. tan59°-tan27°1+tan59°tan27°

Lihat Penyelesaian
7.

Tentukan hasilnya dan rasionalkan penyebutnya dari tan20°-tan5°1+tan20°tan5° ?


Lihat Penyelesaian
8.

Diketahui sinA=35 untuk π2<A<3π2, tentukan hasil dari

a. cosA+π4

b. tanπ4-A

Lihat Penyelesaian
9.

Diketahui tanA=1,875 , dan secB=2,6 , dengan π<A<2π dan π<B<2π.
Tentukan

a. cosA-B

b. sinB-A

c. tanA+B

Lihat Penyelesaian
10.

Diketahui sinA+B=0,96, dan cosA=0,6 dengan A lancip, dan A+B tumpul.
Tentukan nilai dari cosB ?


Lihat Penyelesaian
11.

Diketahui sinA=52929, dan cosB=-53434, dengan A dan B sudut tumpul.
Tentukan nilai dari

a. tanπ4-A

b. tanA+B

Lihat Penyelesaian
12.

Diketahui x+y=120°, cosy=1213 dengan y sudut lancip, tentukan tanx ?


Lihat Penyelesaian
13.

Jika cosx+45°=3cosx-45° , maka tentukan cotx ?


Lihat Penyelesaian
14.

Tentukan nilai dari tanx jika

a. sinx+π3=cosx-π6

b. 3sinx+π3=2cosx-π6

Lihat Penyelesaian
15.

Jika tanA+B=3, dan tanB=2, maka tentukan nilai dari tanA ?


Lihat Penyelesaian
16.

Jika sinA+BsinA-B=3 , maka tentukan hasil dari tanAtanB ?


Lihat Penyelesaian
17.

Jika A=B+C, tunjukkan tanAtanBtanC=tanA-tanB-tanC ?


Lihat Penyelesaian
18.

Jika tan2x+y=3, dan tanx-y=2 , maka tentukan hasil dari

a. tan3x

b. tan3y

Lihat Penyelesaian
19.

Jika tanx=3 , dan sinx-y=2cos(y-x), maka tentukan nilai dari tany ?


Lihat Penyelesaian
20.

Tentukan hasil dari

a. cos15°+sin15°cos15°-sin15°

b. cos96°+sin96°tan48°

Lihat Penyelesaian
21.

Jika cosAcosB=13 dan cosA+B=14 , maka tentukan hasil dari

a. tanAtanB

b. cosA-B

Lihat Penyelesaian
22.

Jika A+B=π3 , dan sinAsinB=16 , maka tentukan nilai dari tanA-B ?


Lihat Penyelesaian
23.

Dalam segitiga ABC berlaku sinA=12 , dan cosB=-35 , maka tentukan sinC ?


Lihat Penyelesaian
24.

Diketahui α+β+γ=90°, cosα=45, dan cosβ=1517. Jika α,β,γ sudut lancip maka
tentukan sinγ ?


Lihat Penyelesaian
25.

Jika dalam segitiga ABC berlaku tanA+tanB=3tanC , maka tentukan nilai dari tanAtanB ?


Lihat Penyelesaian
26.

Diketahui sinA+cosB=1,1cosA-sinB=1,2 maka tentukan nilai dari sinA-B ?


Lihat Penyelesaian
27.

Tentukan hasil dari sin40°-sin35°2+cos40°+cos35°2 ?


Lihat Penyelesaian
28.

Tentukan hasil dari sin33°+cos18°2+cos33°-sin18°2 ?


Lihat Penyelesaian
29.

Jika sinA+cosB=1,6 , sin(A-B)=35 , maka tentukan sinB-cosA ?


Lihat Penyelesaian
30.

Diketahui A, B, C, dan D adalah sudut lancip, dengan sinA=12, cosB=12 , sinC=13
dan cosD=14. Tentukan hasil dari cosA+B-C-D ?


Lihat Penyelesaian