A. PENDAHULUAN ATURAN COS dan SIN

Pada materi “TRIGONOMETRI I” dipelajari nilai-nilai trigonometri atau pun panjang sisi dari segitiga siku-siku. Untuk menyelesaikan permasalahan pada segitiga yang bukan siku-siku, akan lebih cepat dengan menggunakan aturan sinus atau aturan cosinus.

Sebagai pengantar, akan di sajikan contoh-contoh menyelesaikan berberapa persoalan dengan menggunakan dalil-dalil pada segitiga siku-siku.


Sebagai contoh :

1.

Pada gambar segitiga di samping ini, panjang sisi di depan sudut 30° adalah 43, dan panjang sisi di depan sudut θ adalah 12.

Tentukan nilai dari sinθ?

Lihat Penyelesaian
2.

Pada gambar segitiga di samping ini, adalah segitiga dengan panjang rusuk berturut-turut 10, 17, dan 21 satuan.

Tentukan nilai dari cosα?

Lihat Penyelesaian
3.

Pada gambar segitiga di samping ini, adalah segitiga dengan panjang rusuk yang mengapit sudut 60° adalah 8, dan 10 satuan.

Tentukan nilai dari Luas segitiga di samping ?


Lihat Penyelesaian

B. ATURAN SINUS

Pada trigonometri I telah dibahas tentang perbandingan trigonometri yang berlaku pada segitiga siku-siku.

Untuk segitiga sembarang, pada segitiga ABC berlaku :

a sin A = b sin B = c sin C

atau

sin A a = sin B b = sin C c

Keterangan :

a adalah panjang sisi di depan titik sudut A

b adalah panjang sisi di depan titik sudut B

c adalah panjang sisi di depan titik sudut C

Jadi aturan sinus adalah : perbandingan panjang sisi-sisi segitiga sebanding dengan perbandingan sudut-sudut di hadapannya.

Bukti :

Pada ADC : sinA=tb t=b sinA

Pada BDC : sinB=ta t=a sinB

Dengan menyamakan kedua nilai t didapat :

b   sin A = a   sin B atau asinA=bsinB …(1)

Pada ABE : sinA=hc h=csinA

Pada BCE : sinC=ha h=asinC

Dengan menyamakan kedua nilai h didapat :

c   sin A = a   sin C atau asinA=csinC (2)

Jadi pada segitiga pertama didapat a sin A = b sin B …(1) dan pada segitiga kedua asinA=csinC (2)

Jadi : asinA=bsinB=csinC

Dan jika perbandingannya dibalik akan didapat sin A a = sin B b = sin C c


Sebagai contoh :

1.

Pada gambar di bawah ini, tentukan nilai dari sin P sin Q

a.

b.

Lihat Penyelesaian
2.

Pada segitiga di bawah ini, tentukan nilai dari sin θ ?

a.

b.

Lihat Penyelesaian
3.

Pada segitiga di bawah ini, tentukan nilai dari tan α ?

a.

b.


Lihat Penyelesaian
4.

Pada segitiga di bawah ini tentukan nilai ?

a.

b.


Lihat Penyelesaian
5.

Pada gambar di bawah ini, jika AB = 12 maka tentukan panjang AD dan CD ?

Gunakan :

sin 105 ° = 1 4 6 + 2

sin 15 ° = 1 4 6 - 2


Lihat Penyelesaian
6.

Pada gambar di bawah ini, CD = BD, AB = 12, dan sin75°=146+2 maka tentukan panjang BC dan ED ?


Lihat Penyelesaian
7.

Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi AB = 10, cos A = 2 7 10 , dan cos C = 1 5 21 . Tentukan panjang sisi BC ?


Lihat Penyelesaian
8.

Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi a = 6 , b = 11 , dan c = 13 . Dari titik A dibuat garis bagi sehingga memotong sisi BC di titik D . Tentukan panjang BD dan CD ?


Lihat Penyelesaian
9.

Diketahui segitiga ABC dengan panjang a = 5 , b = 6 , dan c = 7 . Dari titik B dibuat garis berat dan memotong sisi AB di titik D . Maka tentukan nilai dari sin ABD sin ∡CBD ?


Lihat Penyelesaian
10.

Jika keliling dari segi- 6 beraturan adalah 12 satuan, maka tentukan panjang jari-jari lingkaran dalam dan jari-jari lingkaran luarnya ?


Lihat Penyelesaian
11.

Jika dalam segitiga ABC berlaku sin 2 A + sin 2 B = sin 2 C , maka tentukan besarnya sudut C ?


Lihat Penyelesaian

C. ATURAN COSINUS

Selain aturan sinus, pada segitiga sembarang juga berlaku aturan cosinus yaitu :

Untuk segitiga sembarang, pada segitiga ABC berlaku :

a 2 = b 2 + c 2 - 2 bc cos A

b 2 = a 2 + c 2 - 2 ac cos B

c 2 = a 2 + b 2 - 2 ab cos C

cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 bc cos B = a 2 + c 2 - b 2 2 ac cos C = a 2 + b 2 - c 2 2 ab

Bukti aturan cosinus :

Pada gambar di samping :

Pada segitiga ADC t2=b2-x2

Pada segitiga BDC t2=a2-c-x2

Pada segitiga ADC cosA=xb x = b cos A

Dengan menyamakan kedua nilai t 2 didapat :

b 2 - x 2 = a 2 - c - x 2

b 2 - x 2 = a 2 - c 2 + 2 cx - x 2

b 2 + c 2 - 2 cx = a 2

Jadi : a2=b2+c2-2cx

a 2 = b 2 + c 2 - 2 c ( b cos A )

a 2 = b 2 + c 2 - 2 bc cos A terbukti.

Untuk b2=a2+c2-2accosBc2=a2+b2-2abcosC silahkan pembaca buktikan sendiri.


Sebagai contoh :

1.

Tentukan nilai x pada gambar di bawah ini

a.

b.

c.

Lihat Penyelesaian
2.

Untuk segitiga-segitiga di bawah ini, tentukan nilai dari cos α + cos β ?

a.

b.

Lihat Penyelesaian
3.

Pada gambar di bawah ini, diketahui panjang AD=8,CD=10, CE=16, EB=4, dan ED=10. Tentukan nilai dari

a. cosα

b. panjang AB


Lihat Penyelesaian
4.

Pada gambar di bawah ini, BDadalah garis berat segitigaABC. Jika panjang AB=12,AD=10, danBD=8 maka tentukan nilai dari

a. cosα

b. panjang sisiBC


Lihat Penyelesaian
5.

Pada gambar di bawah ini, segiempat ABCD dengan keempat titik sudutnya terletak pada lingkaran. Jika panjang AB=6, BC=8, CD=5, dan AD=10, tetukan

a. cosB

b. panjang BD


Lihat Penyelesaian
6.

Pada gambar di bawah ini, Trapesium ABCD dengan panjang , AB = 20, AB = 12, CD = 10,dan AD = 10, tentukan panjang diagonalnyaAC ?


Lihat Penyelesaian
7.

Sebuah jajaran genjang panjang sisinya 8 dan 7 satuan. Jika panjang diagonal yang panjang adalah 13 maka tentukan panjang diagonal yang pendek ?


Lihat Penyelesaian
8.

Tentukan keliling segi-12 beraturan dengan jari-jari lingkaran luarnya 10 ?


Lihat Penyelesaian
9.

Pada koordinat kartesius, koordinat titik A(2,1), B(4,2), dan C(5,10). Tentukan besar sudut BAC ?


Lihat Penyelesaian
10.

Buktikan dalil stewart di bawah ini

Dalil stewart :

l 2 = a 2 c 1 + b 2 c 2 - c 1 c 2 c


Lihat Penyelesaian

D. LUAS SEGITIGA

Luas segitiga adalah setengah dari hasil kali dua sisi yang berdekatan dikalikan sin sudut yang diapit oleh kedua sisi tersebut.

Luas segitiga

L = 1 2 ab   sin C (sisi a dan b mengapit sudut C )

L = 1 2 bc   sin A (sisi b dan c mengapit sudut A )

L = 1 2 ac   sin B (sisi a dan c mengapit sudut B )

Bukti :

Pada gambar di samping, luas segitiga ABC adalah

L = 1 2 alas × tinggi

= 1 2 ct (pada segitiga ADC, sinA=tb )

= 1 2 cb   sin A (jadi =bsinA )

= 1 2 bc   sin A

Dengan cara yang sama, pada segitiga BDC berlaku sin B = t a

Sehingga L = 1 2 ct bisa diubah menjadi L=12ca  sinB

L = 1 2 ac   sin B

Untuk bukti dari =12absinC , silahkan pembaca buktikan.


Luas segitiga jika diketahui dua sudut dan sebuah sisi yang diapit oleh dua sudut tersebut adalah sebagai berikut :

Luas segitiga

L = c 2 sin A   sin B 2 sin C (∡A dan ∡B mengapit sisi AB)

L = b 2 sin A   sin C 2 sin B (∡A dan ∡C mengapit sisi AC)

L = a 2 sin B   sin C 2 sin A (∡B dan ∡C mengapit sisi BC)

Bukti :

Dari rumus luas segitiga yang sebelumnya, diketahui L=12bc  sinAL=12ac  sinB (1)(2)

Kalikan kedua persamaan, sehingga diperoleh

L 2 = 1 4 ab c 2 sin A   sin B ….(3)

Karena luas segitiga bisa ditulis L=12ab  sinC ab=2LsinC .(4)

Substitusikan persamaan (4) ke persamaan (3) akan diperoleh

L 2 = 1 4 2 L sin C c 2 sin A   sin B masing-masing ruas dibagi L

L = c 2 sin A   sin B 2 sin C

Untuk bukti 2 rumus yang lain diserahkan ke pembaca.


Sebagai contoh :

1.

Buktikan luas segitiga sama sisi dengan panjang sisinya x adalah L=14x23?


Lihat Penyelesaian
2.

Tentukan luas segitiga-segitiga pada gambar di bawah ini ?

a.

b.

Lihat Penyelesaian
3.

Diketahui segitiga ABC, dengan panjang AB=5, BC=13, dan AC=32, tentukan

a. cosA

b. sinA

c. Luas segitigaABC

Lihat Penyelesaian
4.

Diketahui segitiga ABC, dengan panjang AB=4, AC=3, dan Luas segitiga ABC adalah 33 satuan luas, maka tentukan

a. sinA

b. cosA

c. panjang sisi BC

Lihat Penyelesaian
5.

Sebuah lantai ruang tamu sebuah rumah terpasang 200 buah keramik segienam beraturan dengan panjang rusuk segienamnya adalah 10 cm, maka tentukan luas dari ruang tamu tersebut ?


Lihat Penyelesaian
6.

Keliling segidelapan beraturan adalah 32 cm, maka tentukan luasnya ?


Lihat Penyelesaian
7.

Luas sebuah belah ketupat dengan panjang rusuk 10 satuan adalah 503 satuan luas, maka tentukan panjang kedua diagonalnya ?


Lihat Penyelesaian
8.

Tentukan luas segiempat pada gambar di bawah ini ?


Lihat Penyelesaian

E. LUAS SEGITIGA DENGAN TEOREMA HERON

Luas segitiga ABC dengan panjang sisi ABC adalah a , b , dan c

L = s s - a s - b ( s - c ) (rumus Heron)

dengan s adalah setengah keliling segitiga.


Bukti : Rumus Heron

a + b + c = 2 s

Dengan mengingat :

cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 bc dan

sin 2 A + cos 2 A = 1 sinA=1-cos2A

L ABC = 1 2 bc sin A

L ABC = 1 2 bc sin A

= 1 2 bc 1 - cos 2 A

= 1 2 bc 1 + cos A 1 - cos A

= 1 4 2 bc 1 + b 2 + c 2 - a 2 2 bc 1 - b 2 + c 2 - a 2 2 bc

= 1 4 2 bc 2 1 + b 2 + c 2 - a 2 2 bc 1 - b 2 + c 2 - a 2 2 bc

= 1 4 2 bc + b 2 + c 2 - a 2 1 2 bc - b 2 + c 2 - a 2 1

= 1 4 b 2 + 2 bc + c 2 - a 2 a 2 - b 2 - 2 bc + c 2

= 1 4 b + c 2 - a 2 a 2 - b - c 2

= 1 4 b + c - a b + c + a a - b + c a + b - c

= 1 4 b + c + a - 2 a b + c + a a + b + c - 2 b a + b + c - 2 c

= 1 4 2 s - 2 a 2 s 2 s - 2 b 2 s - 2 c

= 1 4 2 s - a 2 s 2 s - b 2 s - c

= 1 4 16 s - a s s - b s - c

= 1 4 × 4 × s s - a s - b s - c

L = s s - a s - b s - c


Sebagai contoh :

1.

Tentukan luas segitiga-segitiga di bawah ini

a.

b.

Lihat Penyelesaian
2.

Diketahui segitiga ABC dengan panjang AB = 2 , BC = 2 2 , dan AC = 3 . Tentukan luas segitiga dengan menggunakan

a. rumus Heron

b. aljabar biasa

c. trigonometri

Lihat Penyelesaian