E. LUAS SEGITIGA DENGAN TEOREMA HERON

Luas segitiga ABC dengan panjang sisi ABC adalah a , b , dan c

L = s s - a s - b ( s - c ) (rumus Heron)

dengan s adalah setengah keliling segitiga.


Bukti : Rumus Heron

a + b + c = 2 s

Dengan mengingat :

cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 bc dan

sin 2 A + cos 2 A = 1 sinA=1-cos2A

L ABC = 1 2 bc sin A

L ABC = 1 2 bc sin A

= 1 2 bc 1 - cos 2 A

= 1 2 bc 1 + cos A 1 - cos A

= 1 4 2 bc 1 + b 2 + c 2 - a 2 2 bc 1 - b 2 + c 2 - a 2 2 bc

= 1 4 2 bc 2 1 + b 2 + c 2 - a 2 2 bc 1 - b 2 + c 2 - a 2 2 bc

= 1 4 2 bc + b 2 + c 2 - a 2 1 2 bc - b 2 + c 2 - a 2 1

= 1 4 b 2 + 2 bc + c 2 - a 2 a 2 - b 2 - 2 bc + c 2

= 1 4 b + c 2 - a 2 a 2 - b - c 2

= 1 4 b + c - a b + c + a a - b + c a + b - c

= 1 4 b + c + a - 2 a b + c + a a + b + c - 2 b a + b + c - 2 c

= 1 4 2 s - 2 a 2 s 2 s - 2 b 2 s - 2 c

= 1 4 2 s - a 2 s 2 s - b 2 s - c

= 1 4 16 s - a s s - b s - c

= 1 4 × 4 × s s - a s - b s - c

L = s s - a s - b s - c


Sebagai contoh :

1.

Tentukan luas segitiga-segitiga di bawah ini

a.

b.

Lihat Penyelesaian
2.

Diketahui segitiga ABC dengan panjang AB = 2 , BC = 2 2 , dan AC = 3 . Tentukan luas segitiga dengan menggunakan

a. rumus Heron

b. aljabar biasa

c. trigonometri

Lihat Penyelesaian