C. ATURAN COSINUS

Selain aturan sinus, pada segitiga sembarang juga berlaku aturan cosinus yaitu :

Untuk segitiga sembarang, pada segitiga ABC berlaku :

a 2 = b 2 + c 2 - 2 bc cos A

b 2 = a 2 + c 2 - 2 ac cos B

c 2 = a 2 + b 2 - 2 ab cos C

cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 bc cos B = a 2 + c 2 - b 2 2 ac cos C = a 2 + b 2 - c 2 2 ab

Bukti aturan cosinus :

Pada gambar di samping :

Pada segitiga ADC t2=b2-x2

Pada segitiga BDC t2=a2-c-x2

Pada segitiga ADC cosA=xb x = b cos A

Dengan menyamakan kedua nilai t 2 didapat :

b 2 - x 2 = a 2 - c - x 2

b 2 - x 2 = a 2 - c 2 + 2 cx - x 2

b 2 + c 2 - 2 cx = a 2

Jadi : a2=b2+c2-2cx

a 2 = b 2 + c 2 - 2 c ( b cos A )

a 2 = b 2 + c 2 - 2 bc cos A terbukti.

Untuk b2=a2+c2-2accosBc2=a2+b2-2abcosC silahkan pembaca buktikan sendiri.


Sebagai contoh :

1.

Tentukan nilai x pada gambar di bawah ini

a.

b.

c.

Lihat Penyelesaian
2.

Untuk segitiga-segitiga di bawah ini, tentukan nilai dari cos α + cos β ?

a.

b.

Lihat Penyelesaian
3.

Pada gambar di bawah ini, diketahui panjang AD=8,CD=10, CE=16, EB=4, dan ED=10. Tentukan nilai dari

a. cosα

b. panjang AB


Lihat Penyelesaian
4.

Pada gambar di bawah ini, BDadalah garis berat segitigaABC. Jika panjang AB=12,AD=10, danBD=8 maka tentukan nilai dari

a. cosα

b. panjang sisiBC


Lihat Penyelesaian
5.

Pada gambar di bawah ini, segiempat ABCD dengan keempat titik sudutnya terletak pada lingkaran. Jika panjang AB=6, BC=8, CD=5, dan AD=10, tetukan

a. cosB

b. panjang BD


Lihat Penyelesaian
6.

Pada gambar di bawah ini, Trapesium ABCD dengan panjang , AB = 20, AB = 12, CD = 10,dan AD = 10, tentukan panjang diagonalnyaAC ?


Lihat Penyelesaian
7.

Sebuah jajaran genjang panjang sisinya 8 dan 7 satuan. Jika panjang diagonal yang panjang adalah 13 maka tentukan panjang diagonal yang pendek ?


Lihat Penyelesaian
8.

Tentukan keliling segi-12 beraturan dengan jari-jari lingkaran luarnya 10 ?


Lihat Penyelesaian
9.

Pada koordinat kartesius, koordinat titik A(2,1), B(4,2), dan C(5,10). Tentukan besar sudut BAC ?


Lihat Penyelesaian
10.

Buktikan dalil stewart di bawah ini

Dalil stewart :

l 2 = a 2 c 1 + b 2 c 2 - c 1 c 2 c


Lihat Penyelesaian