1. INTEGRAL PARSIAL

Teknik pengintegralan parsial adalah teknik yang dipakai untuk menyelesaikan beberapa soal integral perkalian dua buah fungsi yang tidak bisa di sederhanakan dan tidak bisa dikerjakan dengan cara subtitusi biasa.

Integral parsial adalah mempartisi (menjadikan beberapa bagian) soal yang akan diintegralkan.

Rumus integral parsial

u dv = uv - v du



contoh :

  1. Mencari hasil dari 2 x cos x dx

    Solusi :

    2 x u cos x dx dv = 2 x u sin x v - sin x v 2 dx du

    = 2 x sin x - 2 sin x dx

    = 2 x sin x + 2 cos x + c

    Keterangan :

    u = 2 x du=2dx

    dv = cos x dx v=sinx


  2. Mencari hasil dari 1 + x dx

    Solusi :

    Soal ini sebelum dikerjakan dengan integral parsial, harus di substitusi terlebih dahulu

    Misal y = x y 2 = x 2 ydy = dx

    1 + x dx = 1 + y 2 y dy

    = 2 y u 1 + y dy dv

    = 2 y u 2 3 1 + y 3 2 v - 2 3 1 + y 3 2 v 2 dy du

    = 4 3 y 1 + y 3 2 - 4 3 1 + y 3 2 dy

    = 4 3 y 1 + y 3 2 - 8 15 1 + y 5 2 + c     kembalikan y = x

    = 4 3 x 1 + x 3 2 - 8 15 1 + x 5 2 + c

    Keterangan :

    u = 2 y du=2dy

    dv = 1 + y 1 2 dx

    v=231+y32


Selain rumus integral parsial, masih ada integral parsial dengan cara tabulasi (Tanjalin):

Bentuk integral u dv dikerjakan dengan cara tabulasi adalah sebagai berikut :

Bagian u diturunkan, dan berhenti jika turunan ke n daru u adalah 0

Bagian dv diinetegral terus menerus tanpa menghasilkan konstanta.

Untuk lebih jelasnya perhatikan ilustrasi di bawah ini

contoh :

  1. x sin x dx =

    Jawab :

    Dengan cara biasa :

    Misal u = x du = dx

    dv = sin x dx v = - cos x

    x u sin x dx dv = x u ( - cos x ) v - ( - cos x ) v dx du

    = - x cos x + cos x dx

    = - x cos x + sin x + c


    Dengan cara Tanjalin :

    Integral Parsial

    = - x cos x + sin x + c


  2. Tentukan hasil dari 2 x 2 - 6 cos x + 2 dx

    Jawab :

    Cara pertama dengan cara biasa

    Misal u = 2 x 2 - 6

    du = 4 x dx

    dv = cos ( x + 2 ) dx

    v = sin ( x + 2 )

     

    misal U = 4 x

    dU = 4 dx

    dV = sin ( x + 2 )

    V = - cos ( x + 2 )

    ( 2 x 2 - 6 ) u cos x + 2 dx dv = 2 x 2 - 6 u sin ( x + 2 ) v - sin ( x + 2 ) v 4 x dx du

    = 2 x 2 - 6 sin x + 2 - 4 U sin x + 2 dx dV

    = 2 x 2 - 6 sin x + 2 - 4 U . [ - cos ( x + 2 ) ] V - - cos ( x + 2 ) V 4 dx dU

    = 2 x 2 - 6 sin x + 2 + 4 x cos x + 2 - 4 cos x + 2 dx

    = 2 x 2 - 6 sin x + 2 + 4 x cos x + 2 - 4 sin ( x + 2 ) + c

    = 2 x 2 - 10 sin x + 2 + 4 x cos x + 2 + c


    Cara kedua dengan cara tabulasi :

    2 x 2 - 6 cos x + 2 dx = 2 x 2 - 6 sin x + 2 + 4 x cos x + 2 - 4 sin x + 2 + c

    = 2 x 2 - 10 sin x + 2 + 4 x cos x + 2 + c

    Integral Parsial


Sebagai contoh :

1.

Tentukan hasil dari x sin 2 x dx dengan cara biasa dan cara Tanjalin!

Lihat Penyelesaian
2.

Tentukan hasil dari 8 x cos 4 x - π dx dengan cara biasa dan cara tabulasi !

Lihat Penyelesaian
3.

Tentukan hasil dari 90 x 2 3 x - 2 dx dengan cara biasa dan cara tabulasi !

Lihat Penyelesaian
4.

Tentukan hasil dari

  1. x 2 sin x dx

  2. 4 x 3 cos 2 x dx  

   
  1. x 2 2 x - 3 dx

  2. x 3 x + 4 dx

Lihat Penyelesaian

5.

Tentukan hasil dari

  1. 0 π 3 x 2 sin x cos x dx

  2. 0 π 4 2 x sin 2 x dx

Lihat Penyelesaian
6.

Tentukan hasil dari sin x dx

Lihat Penyelesaian
7.

Tentukan hasil dari xcosx dx

Lihat Penyelesaian
8.

Tentukan hasil dari

  1. x 5 x + 4 dx

  2. 01x5x+4dx

Lihat Penyelesaian
9.

Tentukan hasil dari

  1. sin 2 x 2 sin x - 1 dx

  2. π2π2sin2x2sinx-1dx

Lihat Penyelesaian
10.

Tentukan hasil dari

  1. x 11 x 6 + 36 dx

  2. 02x11x6+36dx

Lihat Penyelesaian
11.

Tentukan hasil dari

  1. x+xx dx

  2. 04x+xxdx

Lihat Penyelesaian
12.

Tentukan hasil dari 1+2x3 dx !

Lihat Penyelesaian
13.

Tentukan hasil dari arc  sin x dx

Lihat Penyelesaian
14.

Tentukan hasil dari x arc cos x dx

Lihat Penyelesaian
15.

Tentukan hasil dari

  1. arc cos 2 x dx

  2. arc sec 1 2 x dx

  3. arc sin 1 - 4 x 2 dx

   
  1. arc csc 1 1 - 4 x 2 dx

  2. arc tan 1 - 4 x 2 2 x dx

  3. arc cot 2 x 1 - 4 x 2 dx

Lihat Penyelesaian